解析幾何中的數學思想

摘要：本文著重介紹了函數思想、數形結合思想、轉化與化歸思想、分類討論思想、方程思想、參數思想這幾種貫穿解析幾何求解問題的數學思想，并分析了它們在解題中的應用及影響。

關鍵詞：解析幾何 數學思想

數學思想是數學的靈魂，數學方法是數學的行為，如果在傳授知識的同時引導學生利用數學思想方法去解決問題，必定會獲得良好的教學效果。

一、函數思想

在函數思想中，對應是它的本質特征，自變量的變化處于主導地位，所以函數思想的實質是運用聯系和變化的觀點，提出數學對象之間的數量關系，并用映射給予嚴格的形式。

例1.在拋物線y=4x上求一點，使該點到直線y=4x-5的距離最短。

分析：用點到直線間的距離公式建立目標函數，再運用函數性質解答。設A（x，4x2）為所求的點，再利用函數的有關性質（如求函數最值）確定其參數的取值范圍。

二、數形結合思想

數形結合思想的實質是把屬性結合起來考查，斟酌問題的具體情形，把圖形性質的問題轉化為數量關系的問題，將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，或者把數量關系的問題轉化為圖形性質的問題。

例2.若實數x、y滿足方程x2+y2-2x+4y=0，求x-2y的最大值和最小值。

分析：令x-2y=b

由x2+y2-2x+4y=0可知（x-1）2+（y+2）2=5，可看成過圓上的點作斜率為1/2的平行直線系，求縱截距的范圍。利用數形結合的思想讓已知條件形象生動化，大大節省了解題時間。

三、化歸思想

它是通過各種變換方法，如分析法、反證法、待定系數法、構造法等，換一個角度或一種觀點來考慮原問題，使原問題更易于解決。

例3.拋物線y2=x與圓（x-a）2+

y2=1有四個交點，求實數a的取值范圍。

分析：因為y2=x，則x≥0。問題可轉化為關于x的二次方程有2個正根的問題，并設為x1，x2，利用韋達定理和判別式得出a的取值范圍。

四、分類討論思想

它是一種依據數學對象本質屬性的相同點和差異點，將數學對象區分為不同種類，分別研究每一類，得出每一類的結論。

例4.在xoy平面上給定曲線y2=x，設點A（a，0）a∈R，曲線上的點到點A的距離的最小值為f（a），求f（a）的函數表達式。

分析：這是求兩點間距離的最小值問題。先用公式建立目標函數，把它轉化為二次函數在x≥0條件下的最小值問題，而引起對參數a的取值討論。

五、方程思想

運用數學的符號化語言，能將問題中已知量和未知量（或參變量）之間的數量關系抽象為方程（組）、不等式等數學模型，然后通過對方程（組）、不等式的變換求出未知量的值。

例5.如圖1所示，自點A（-3，3）發出的光線L射到x軸上，被x軸反射，其反射光線所在直線與圓x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光線L所在直線的方程。

分析：設L和x軸的交點為B（b，0），則 。根據光學反射定律可知，反射光線的斜率為，所以可求反射光線所在直線，又由相切得圓心到直線距離等于半徑，構造方程算出b。

六、參數思想

通過必要的運算和推理，建立目標變量與參數的某種聯系，最后再消去參數，只保留目標變量而獲解。

例6.一條直線被兩直線L1： 4X+Y+6=0，L2：3X-5Y-6=0截得的線段的中點恰好是坐標原點，求該直線的方程。

分析：設所求直線與L1，L2的交點分別是A、B，設A（x0，y0），利用中點是原點算出點B的坐標，再分別將A、B的坐標分別代入兩直線方程中。

除了上述幾種數學思想方法之外， 解析幾何中數學思想方法還有不等式、整體化、類比推理、射影、對稱、一般化與特殊化、類與不變量思想等。教師在教學中應注重揭示各章節的思想方法，正所謂“授人以魚，不如授人以漁”。

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（作者單位：福建省仙游縣現代中學）