解析幾何中的數(shù)學(xué)思想

摘要：本文著重介紹了函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想、方程思想、參數(shù)思想這幾種貫穿解析幾何求解問題的數(shù)學(xué)思想，并分析了它們?cè)诮忸}中的應(yīng)用及影響。

關(guān)鍵詞：解析幾何 數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)的行為，如果在傳授知識(shí)的同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)思想方法去解決問題，必定會(huì)獲得良好的教學(xué)效果。

一、函數(shù)思想

在函數(shù)思想中，對(duì)應(yīng)是它的本質(zhì)特征，自變量的變化處于主導(dǎo)地位，所以函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)是運(yùn)用聯(lián)系和變化的觀點(diǎn)，提出數(shù)學(xué)對(duì)象之間的數(shù)量關(guān)系，并用映射給予嚴(yán)格的形式。

例1.在拋物線y=4x上求一點(diǎn)，使該點(diǎn)到直線y=4x-5的距離最短。

分析：用點(diǎn)到直線間的距離公式建立目標(biāo)函數(shù)，再運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)解答。設(shè)A（x，4x2）為所求的點(diǎn)，再利用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)（如求函數(shù)最值）確定其參數(shù)的取值范圍。

二、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)質(zhì)是把屬性結(jié)合起來考查，斟酌問題的具體情形，把圖形性質(zhì)的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題，將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，或者把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的問題。

例2.若實(shí)數(shù)x、y滿足方程x2+y2-2x+4y=0，求x-2y的最大值和最小值。

分析：令x-2y=b

由x2+y2-2x+4y=0可知（x-1）2+（y+2）2=5，可看成過圓上的點(diǎn)作斜率為1/2的平行直線系，求縱截距的范圍。利用數(shù)形結(jié)合的思想讓已知條件形象生動(dòng)化，大大節(jié)省了解題時(shí)間。

三、化歸思想

它是通過各種變換方法，如分析法、反證法、待定系數(shù)法、構(gòu)造法等，換一個(gè)角度或一種觀點(diǎn)來考慮原問題，使原問題更易于解決。

例3.拋物線y2=x與圓（x-a）2+

y2=1有四個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

分析：因?yàn)閥2=x，則x≥0。問題可轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次方程有2個(gè)正根的問題，并設(shè)為x1，x2，利用韋達(dá)定理和判別式得出a的取值范圍。

四、分類討論思想

它是一種依據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對(duì)象區(qū)分為不同種類，分別研究每一類，得出每一類的結(jié)論。

例4.在xoy平面上給定曲線y2=x，設(shè)點(diǎn)A（a，0）a∈R，曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)A的距離的最小值為f（a），求f（a）的函數(shù)表達(dá)式。

分析：這是求兩點(diǎn)間距離的最小值問題。先用公式建立目標(biāo)函數(shù)，把它轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在x≥0條件下的最小值問題，而引起對(duì)參數(shù)a的取值討論。

五、方程思想

運(yùn)用數(shù)學(xué)的符號(hào)化語言，能將問題中已知量和未知量（或參變量）之間的數(shù)量關(guān)系抽象為方程（組）、不等式等數(shù)學(xué)模型，然后通過對(duì)方程（組）、不等式的變換求出未知量的值。

例5.如圖1所示，自點(diǎn)A（-3，3）發(fā)出的光線L射到x軸上，被x軸反射，其反射光線所在直線與圓x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光線L所在直線的方程。

分析：設(shè)L和x軸的交點(diǎn)為B（b，0），則 。根據(jù)光學(xué)反射定律可知，反射光線的斜率為，所以可求反射光線所在直線，又由相切得圓心到直線距離等于半徑，構(gòu)造方程算出b。

六、參數(shù)思想

通過必要的運(yùn)算和推理，建立目標(biāo)變量與參數(shù)的某種聯(lián)系，最后再消去參數(shù)，只保留目標(biāo)變量而獲解。

例6.一條直線被兩直線L1： 4X+Y+6=0，L2：3X-5Y-6=0截得的線段的中點(diǎn)恰好是坐標(biāo)原點(diǎn)，求該直線的方程。

分析：設(shè)所求直線與L1，L2的交點(diǎn)分別是A、B，設(shè)A（x0，y0），利用中點(diǎn)是原點(diǎn)算出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再分別將A、B的坐標(biāo)分別代入兩直線方程中。

除了上述幾種數(shù)學(xué)思想方法之外， 解析幾何中數(shù)學(xué)思想方法還有不等式、整體化、類比推理、射影、對(duì)稱、一般化與特殊化、類與不變量思想等。教師在教學(xué)中應(yīng)注重揭示各章節(jié)的思想方法，正所謂“授人以魚，不如授人以漁”。

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（作者單位：福建省仙游縣現(xiàn)代中學(xué)）