例舉函數(shù)存在性問題

存在性問題是函數(shù)問題的重要內(nèi)容，也是高考函數(shù)參數(shù)問題的重要思維形態(tài)。用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)存在性問題已成為近年高考的熱點(diǎn)，它融函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式知識于一體，以函數(shù)知識為載體、以導(dǎo)數(shù)為工具來研究函數(shù)的性質(zhì)，包括函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值，涉及數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸的思想等重要的高中數(shù)學(xué)思想，具有較強(qiáng)的綜合性，能考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

例1.（2012年高考（湖南理））已知函數(shù)f（x）=eax-x （a≠0），在函數(shù)f（x）的圖像上取定兩點(diǎn)A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））（x1k成立？若存在，求x0的取值范圍；若不存在，請說明理由。

解：由題意可知， ，

令

則 ，

。

令a（x2-x1）=t，F(xiàn)（t）=et-t-1 ，則F'（t）=et-1 。

當(dāng)t<0 時，F(xiàn)'（t）<0，F(xiàn)（t）單調(diào)遞減；

當(dāng)t>0時，F(xiàn)'（t）>0，F(xiàn)（t）單調(diào)遞增。

∵a>0，x2-x1>0 ，t>0，

∴F（t）>F（0）=0，即et-t-1>0。

從而得出： ，

又∵ ， ，

所以φ（x1）<0，φ（x2）>0。

∵ 函數(shù)y=φ（x）在區(qū)間[x1，x2]上是連續(xù)的函數(shù)，

∴存在x0∈（x1，x2）使φ（x0）=0，

φ'（x）=a2eax >0，φ（x）單調(diào)遞增，

故c是唯一的，且 。

故當(dāng)且僅當(dāng) 時，f '（x0）>k 。

綜上所述，存在x0∈（x1，x2），使f '（x0）>k成立，且x0 的取值范圍為 。

點(diǎn)評：通過構(gòu)造函數(shù)， 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值來進(jìn)行分析判斷，體現(xiàn)出分類討論思想、函數(shù)與方程的思想。

例2.（2013南昌市調(diào)研）已知函數(shù)f（x）=（x2-3x+3）ex，當(dāng)x∈[a，b]時，函數(shù)f（x）的值域也為[a，b]，則稱這樣的區(qū)間為保值區(qū)間。設(shè)g（x）=f（x）+（x-2）ex，試問函數(shù)g（x）在（1，+∞）上是否存在保值區(qū)間？若存在，求出一個保值區(qū)間；若不存在，說明理由。

解：由題意可知，g（x）=（x2-3x+3）ex+（x-2）ex=（x-1）2ex

∴g'（x）=（x2-1）ex。

假設(shè)函數(shù)g（x）在（1，+∞）上存在保值區(qū)間[a，b]，

∵x>1時， g'（x）>0，g（x）為增函數(shù)，

∴ ，即 ，也即方程（x-1）2ex=x有兩個大于1的相異實(shí)根。

等價于 交點(diǎn)個數(shù)的問題，設(shè) ，

∴ ，當(dāng)x>1，f '（x）<0。

∴ ，（x-1）2>0 。因?yàn)橹挥幸粋€交點(diǎn)，所以函數(shù)g（x）在（1，+∞）上不存在這樣的保值區(qū)間。

點(diǎn)評：通過研究函數(shù)的性質(zhì)單調(diào)性、最值解決問題，將方程根轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像交點(diǎn)的問題，滲透了數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化與化歸的思想。

（作者單位：江西省南昌市鐵路第一中學(xué)）