例舉函數存在性問題

存在性問題是函數問題的重要內容，也是高考函數參數問題的重要思維形態。用導數解決函數存在性問題已成為近年高考的熱點，它融函數、導數、不等式知識于一體，以函數知識為載體、以導數為工具來研究函數的性質，包括函數的單調性、極值和最值，涉及數形結合思想、分類討論思想、函數與方程思想、轉化與化歸的思想等重要的高中數學思想，具有較強的綜合性，能考查學生分析問題和解決問題的能力。

例1.（2012年高考（湖南理））已知函數f（x）=eax-x （a≠0），在函數f（x）的圖像上取定兩點A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））（x1k成立？若存在，求x0的取值范圍；若不存在，請說明理由。

解：由題意可知， ，

令

則 ，

。

令a（x2-x1）=t，F（t）=et-t-1 ，則F'（t）=et-1 。

當t<0 時，F'（t）<0，F（t）單調遞減；

當t>0時，F'（t）>0，F（t）單調遞增。

∵a>0，x2-x1>0 ，t>0，

∴F（t）>F（0）=0，即et-t-1>0。

從而得出： ，

又∵ ， ，

所以φ（x1）<0，φ（x2）>0。

∵ 函數y=φ（x）在區間[x1，x2]上是連續的函數，

∴存在x0∈（x1，x2）使φ（x0）=0，

φ'（x）=a2eax >0，φ（x）單調遞增，

故c是唯一的，且 。

故當且僅當 時，f '（x0）>k 。

綜上所述，存在x0∈（x1，x2），使f '（x0）>k成立，且x0 的取值范圍為 。

點評：通過構造函數， 利用導數研究函數的單調性和最值來進行分析判斷，體現出分類討論思想、函數與方程的思想。

例2.（2013南昌市調研）已知函數f（x）=（x2-3x+3）ex，當x∈[a，b]時，函數f（x）的值域也為[a，b]，則稱這樣的區間為保值區間。設g（x）=f（x）+（x-2）ex，試問函數g（x）在（1，+∞）上是否存在保值區間？若存在，求出一個保值區間；若不存在，說明理由。

解：由題意可知，g（x）=（x2-3x+3）ex+（x-2）ex=（x-1）2ex

∴g'（x）=（x2-1）ex。

假設函數g（x）在（1，+∞）上存在保值區間[a，b]，

∵x>1時， g'（x）>0，g（x）為增函數，

∴ ，即 ，也即方程（x-1）2ex=x有兩個大于1的相異實根。

等價于 交點個數的問題，設 ，

∴ ，當x>1，f '（x）<0。

∴ ，（x-1）2>0 。因為只有一個交點，所以函數g（x）在（1，+∞）上不存在這樣的保值區間。

點評：通過研究函數的性質單調性、最值解決問題，將方程根轉化為函數圖像交點的問題，滲透了數形結合和轉化與化歸的思想。

（作者單位：江西省南昌市鐵路第一中學）