欣賞數(shù)學(xué)思想之美

文學(xué)的最高境界是美的境界，而數(shù)學(xué)也具有詩(shī)歌和散文的內(nèi)在氣質(zhì)，達(dá)到文學(xué)性的方面，達(dá)到一定境界后，也能體會(huì)和享受到數(shù)學(xué)之美。

“數(shù)學(xué)思想”是數(shù)學(xué)的靈魂，研究一些數(shù)學(xué)思想方法，將會(huì)使你站在一個(gè)嶄新的高度去審視問(wèn)題，去體會(huì)數(shù)學(xué)之美。只有熟練地掌握數(shù)學(xué)思想和方法，才能使你在解答高考綜合題時(shí)左右逢源，游刃有余。

因有兄弟學(xué)校到我校交流學(xué)習(xí)，筆者被安排開(kāi)一節(jié)觀摩課，考慮到學(xué)生對(duì)函數(shù)知識(shí)的一輪復(fù)習(xí)已結(jié)束，因此這節(jié)課設(shè)計(jì)著重放在函數(shù)——方程——不等式三者間的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決一類(lèi)函數(shù)最值問(wèn)題，進(jìn)而體會(huì)轉(zhuǎn)化思想在函數(shù)中的應(yīng)用。現(xiàn)將本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)反思呈現(xiàn)如下，

一、教學(xué)實(shí)錄（片段）

1問(wèn)題的提出及解法探究

例1：已知函數(shù)，求函數(shù)的值域？

生： （題目一出，有一個(gè)學(xué)生立馬報(bào)答案）

師：厲害！請(qǐng)問(wèn)你用什么方法做的？

生：分子分母同除，再用基本不等式求。

師：好！但是這個(gè)函數(shù)定義域?yàn)镽，同除要注意先討論的函數(shù)值，用基本不等式求解時(shí)也要對(duì)正、負(fù)值討論。（板書(shū)出正確過(guò)程）

還有其他方法嗎？

生：導(dǎo)數(shù)法。（有同學(xué)表示此題用導(dǎo)數(shù)比較繁瑣）

讓學(xué)生動(dòng)手算，并比較與之前方法的利弊。

生：用求導(dǎo)有點(diǎn)復(fù)雜，寫(xiě)值域時(shí)也易犯錯(cuò)，要注意才能得出正確結(jié)論。還是基本不等式計(jì)算簡(jiǎn)單。

師：分析的很好！其實(shí)很多函數(shù)問(wèn)題不一定都用導(dǎo)數(shù)來(lái)做，不過(guò)同學(xué)們往往也不太喜歡分類(lèi)討論，還有計(jì)算更快的辦法嗎？

學(xué)：（有的沉思，有的交流，看到學(xué)生沒(méi)有響應(yīng)，教師及時(shí)點(diǎn)撥。）

師：方法一我們把函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式問(wèn)題，那么還能轉(zhuǎn)化成什么呢？函數(shù)通常與哪些知識(shí)可以相互間轉(zhuǎn)化？

生：函數(shù)—方程—不等式。

師：很好！我們說(shuō)函數(shù)不一定是函數(shù)，其實(shí)函數(shù)—方程—不等式甚至代數(shù)式等很多時(shí)候都是對(duì)立統(tǒng)一的，可以相互轉(zhuǎn)化。那么現(xiàn)在要轉(zhuǎn)化成什么呢？

生：化為一元二次方程，因?yàn)檫@個(gè)函數(shù)定義域?yàn)椋シ帜负蟀押瘮?shù)轉(zhuǎn)化為方程對(duì)任意的都成立，即方程恒有實(shí)根。當(dāng)時(shí)，有實(shí)根，當(dāng)時(shí)，，綜上。

師：發(fā)現(xiàn)的好，也注意對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)的討論。這種解法就運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想。

2變式訓(xùn)練，引申拓展

變式1：是否存在實(shí)數(shù)，使得最大值為9，最小值為1？若存在，求出的值。

請(qǐng)學(xué)生分析變式1與例1的區(qū)別在哪里？（學(xué)生討論）

生：例1是函數(shù)已知，求值域，而變式1中函數(shù)未知，值域已知，反過(guò)來(lái)求。

師：那這個(gè)問(wèn)題和前面的問(wèn)題又有什么相同之處嗎？若有，怎樣利用剛才解決問(wèn)題的辦法？

生：求導(dǎo)太繁，還是轉(zhuǎn)化成一元二次方程好。

師：請(qǐng)個(gè)學(xué)生幫我們化下式子。

生：把它轉(zhuǎn)化成。時(shí)，，此時(shí)函數(shù)不能同時(shí)存在最大和最小值，因此，且即（*）。

師：可怎么把最大是9，最小是1用進(jìn)去呢？

生：最大是9，最小是1就是，即（*）的解集，因此1和9是（*）對(duì)應(yīng)的方程的兩根，由韋達(dá)定理可以解和都為5

師：分析的很透徹，對(duì)一元二次不等式的解集掌握的也很好。（板書(shū)過(guò)程）不過(guò)我們做題不是得出答案就好，最好把解出的和代回去檢驗(yàn)下，這樣一來(lái)保證正確率，二來(lái)反思下做題過(guò)程中所用到的數(shù)學(xué)思想等。

請(qǐng)學(xué)生來(lái)總結(jié)這兩個(gè)題。

生：我們拿到函數(shù)題第一想法就是求導(dǎo)做，其實(shí)有些題轉(zhuǎn)化成不等式、方程可能更簡(jiǎn)便。

二、教后反思

高三復(fù)習(xí)教學(xué)中，要緊扣教材，夯實(shí)基礎(chǔ)，以基礎(chǔ)題型的復(fù)習(xí)和基本數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法的訓(xùn)練為主，注重課本例題研究，盡量從多方面、多角度進(jìn)行思考和探索，做到一題多解、多提一解，不斷積累并總結(jié)解題的經(jīng)驗(yàn)和方法。課堂上要舍得花時(shí)間讓學(xué)生去探索、討論，引導(dǎo)學(xué)生注重對(duì)題后的反思、回顧、引申，要讓學(xué)生經(jīng)歷探索、比較歸納，提煉出一般解題方法。高三復(fù)習(xí)課要求老師真正讓學(xué)生的思維動(dòng)起來(lái)，教學(xué)設(shè)計(jì)上要鋪設(shè)探究性通道，讓學(xué)生自己去領(lǐng)悟隱含于題中的數(shù)學(xué)思想，并自覺(jué)地運(yùn)用到今后的解題中去，最終達(dá)到用思想指導(dǎo)方法的思維習(xí)慣。這樣的課堂才會(huì)高效，才能拓展學(xué)生的思維，提升能力。

（作者單位：浙江省舟山市普陀第三中學(xué)）