欣賞數學思想之美

文學的最高境界是美的境界，而數學也具有詩歌和散文的內在氣質，達到文學性的方面，達到一定境界后，也能體會和享受到數學之美。

“數學思想”是數學的靈魂，研究一些數學思想方法，將會使你站在一個嶄新的高度去審視問題，去體會數學之美。只有熟練地掌握數學思想和方法，才能使你在解答高考綜合題時左右逢源，游刃有余。

因有兄弟學校到我校交流學習，筆者被安排開一節觀摩課，考慮到學生對函數知識的一輪復習已結束，因此這節課設計著重放在函數——方程——不等式三者間的相互轉化來解決一類函數最值問題，進而體會轉化思想在函數中的應用。現將本節課的教學設計反思呈現如下，

一、教學實錄（片段）

1問題的提出及解法探究

例1：已知函數，求函數的值域？

生： （題目一出，有一個學生立馬報答案）

師：厲害！請問你用什么方法做的？

生：分子分母同除，再用基本不等式求。

師：好！但是這個函數定義域為R，同除要注意先討論的函數值，用基本不等式求解時也要對正、負值討論。（板書出正確過程）

還有其他方法嗎？

生：導數法。（有同學表示此題用導數比較繁瑣）

讓學生動手算，并比較與之前方法的利弊。

生：用求導有點復雜，寫值域時也易犯錯，要注意才能得出正確結論。還是基本不等式計算簡單。

師：分析的很好！其實很多函數問題不一定都用導數來做，不過同學們往往也不太喜歡分類討論，還有計算更快的辦法嗎？

學：（有的沉思，有的交流，看到學生沒有響應，教師及時點撥。）

師：方法一我們把函數問題轉化為不等式問題，那么還能轉化成什么呢？函數通常與哪些知識可以相互間轉化？

生：函數—方程—不等式。

師：很好！我們說函數不一定是函數，其實函數—方程—不等式甚至代數式等很多時候都是對立統一的，可以相互轉化。那么現在要轉化成什么呢？

生：化為一元二次方程，因為這個函數定義域為，去分母后把函數轉化為方程對任意的都成立，即方程恒有實根。當時，有實根，當時，，綜上。

師：發現的好，也注意對二次項系數的討論。這種解法就運用了轉化思想。

2變式訓練，引申拓展

變式1：是否存在實數，使得最大值為9，最小值為1？若存在，求出的值。

請學生分析變式1與例1的區別在哪里？（學生討論）

生：例1是函數已知，求值域，而變式1中函數未知，值域已知，反過來求。

師：那這個問題和前面的問題又有什么相同之處嗎？若有，怎樣利用剛才解決問題的辦法？

生：求導太繁，還是轉化成一元二次方程好。

師：請個學生幫我們化下式子。

生：把它轉化成。時，，此時函數不能同時存在最大和最小值，因此，且即（*）。

師：可怎么把最大是9，最小是1用進去呢？

生：最大是9，最小是1就是，即（*）的解集，因此1和9是（*）對應的方程的兩根，由韋達定理可以解和都為5

師：分析的很透徹，對一元二次不等式的解集掌握的也很好。（板書過程）不過我們做題不是得出答案就好，最好把解出的和代回去檢驗下，這樣一來保證正確率，二來反思下做題過程中所用到的數學思想等。

請學生來總結這兩個題。

生：我們拿到函數題第一想法就是求導做，其實有些題轉化成不等式、方程可能更簡便。

二、教后反思

高三復習教學中，要緊扣教材，夯實基礎，以基礎題型的復習和基本數學思想、數學方法的訓練為主，注重課本例題研究，盡量從多方面、多角度進行思考和探索，做到一題多解、多提一解，不斷積累并總結解題的經驗和方法。課堂上要舍得花時間讓學生去探索、討論，引導學生注重對題后的反思、回顧、引申，要讓學生經歷探索、比較歸納，提煉出一般解題方法。高三復習課要求老師真正讓學生的思維動起來，教學設計上要鋪設探究性通道，讓學生自己去領悟隱含于題中的數學思想，并自覺地運用到今后的解題中去，最終達到用思想指導方法的思維習慣。這樣的課堂才會高效，才能拓展學生的思維，提升能力。

（作者單位：浙江省舟山市普陀第三中學）