移動技術輔助幾何證明的多重表征系統設計與應用研究

[摘 要] 本研究設計了移動技術輔助幾何證明的多重表征系統，選取94名初中學生作為實驗對象，分三組完成查找丟失的推理步驟、選擇正確的步驟、證明樹轉換成形式化證明、概念測試等四項任務。通過問卷調查、訪談收集數據，采用描述性統計、單因素方差分析等方法分析三組學生對文字表征、靜態圖、動態圖、證明樹、形式證明的應用情況。結果表明：（1）不同知識經驗的學生使用系統總次數有明顯的差異，中級組學生使用頻率最高；（2）高級組和中級組學生最喜歡證明樹和形式化證明，能夠熟練找到它們中對應的知識并相互轉換，而低級組學生更喜歡根據動態圖輔助學習；（3）學生普遍對該系統有較高的接受程度。

[關鍵詞] 移動技術；表征；多重表征；幾何證明

[中圖分類號] G434 [文獻標志碼] A

[作者簡介] 麻娟（1989—），女，內蒙古鄂爾多斯人。碩士研究生，主要從事現代遠程教育研究。E-mail： maj150@nenu.edu.cn。

一、引 言

隨著移動技術的蓬勃發展，手機、電腦、PDA等移動設備無處不見。移動學習已經成為一種新興的學習方式。幾何是初中數學教學的重難點，直接影響初中學生數學成績的高低。傳統幾何課堂教學中，老師以口頭陳述和肢體語言協同的方式完成幾何教學，而學生必須認真聽、看、做筆記、思考和聯想已有知識才能完成學習任務，這樣增加了學生的認知負荷。然而，許多研究者對幾何學習者試行了不同的教學方法，發現影響學生成績的主要原因有不完全理解問題和數學符號、直接根據視覺證明、證明時缺乏學習策略[1]等。

Behr等基于布魯納的表象理論，提出利用表象系統構建一個交互式模型提高學生的數學學習成績[2]。如果學生清楚多重表征之間的交互連接結構，就會更容易解決幾何問題。所以，幾何教學中強調使用多種表示形式減少認知負荷。為了減少初中學生在幾何證明中的認知負荷，我們基于多重表征理論設計了幾何證明學習系統，探討其對學習者的影響。

二、移動技術輔助幾何證明的

多重表征系統設計

（一）多重表征系統設計理論

1. 認知負荷理論與幾何學習

教育心理學家 John Sweller將認知負荷分成內在認知負荷、外在認知負荷和相關認知負荷。幾何證明學習過程中，學習者知識經驗的高低和學習內容各要素之間的交互復雜性直接影響學生的內在認知負荷；外部認知負荷與幾何證明系統的教學設計有密切關系；相關認知負荷是優化學生認知結構，重新合成幾何證明步驟簡單有序的知識體系，有效降低學生記憶的認知負荷，節省有限的記憶資源。

同時，認知負荷理論對優化數學多重表征學習的教學設計有極大的啟示作用。優化特點包括：（1）將教學信息打包、設計成有意義的信息包以降低內在負荷和外在負荷，并且增加有效負荷；（2）運用回答問題、暗示等教學支架策略激勵學生學習動機，使學生積極主動地參與到學習過程中，促進其在多種表征間交互學習，以及它們之間的轉換和轉譯，充分發揮多重表征的作用，產生更多的有效負荷。

2. 多重表征理論與幾何學習

表征是認知心理學的核心概念。隨著信息技術在教育和心理領域的發展，研究者 Hiebert 和 Carpenter在數學領域把表征分為內部表征（抽象、具體等形式）和外部表征（語言、文字、符號、圖片，或實際情境等形式）[3]。Ainsworth指出，學生應該學習多種表示形式之間互譯，并能構建表征與表征之間的轉換[4]。學生能夠通過多個角度提供的不同表述修改不正確的概念和猜想。

在教學中，構建多重表征能展示不同的教學功能，實現個性化學習。多重表征主要有三種功能：互補、限制和構建。多重表征內部是相互補充、相互支持和相互轉換的。表征彼此相互制約和相互解釋。總之，多重表征能促使學習者對知識進行深層次理解。

（二）多重表征系統功能模塊設計

幾何證明是一個邏輯性極強的過程，學生首先應該明確給出的已知條件，然后聯想關鍵提示和適當的幾何性質或定理進行演繹推理，最后組織所有的演繹步驟，并按已知條件到結論證明的順序寫出推理步驟（演繹—推理—組織—整理）。認知負荷理論的通道效應指出，同時運用多種表征呈現信息，其學習效果要高于單一通道呈現。Mayer等人的研究表明，它能豐富學生的想象力，使其思維變得更靈活。所以，一個定理必須建構文字描述和圖形之間的雙向連接以減少學生的認知負荷。在數學教育領域，多重表征的分類見仁見智，本文根據幾何證明教學內容，將多重表征分為文字表征、靜態圖、動態圖、形式證明和證明樹。

為了減少認知負荷，使學生能夠熟練地掌握和理解整個幾何證明過程，基于移動技術輔助幾何證明的多重表征系統包括四個模塊：數據庫、文字表征模塊、圖形表征模塊、證明表征模塊（如圖1所示）。

圖1 幾何證明的多重表征系統模塊

1. 數據庫

數據庫存儲已知條件、證明結論、圖形以及完整的證明過程，提供文字表征、圖形表征、證明表征之間相互轉化的邏輯關系連接。

2. 文字表征模塊

文字表征模塊是以文字的形式呈現已知條件和證明結論，輔助學生了解數學符號和語言，推理已知條件到證明結論之間的邏輯關系。如圖2（a）所示，當使用者點擊文字表征模塊的已知條件或證明結論時，圖形表征模塊就會把相應的知識呈現在圖形中，證明表征模塊中形式證明和證明樹也會對應地呈現出從已知條件到證明結論完整的證明過程。

3. 圖形表征模塊

圖形表征模塊是以靜態圖、動態圖兩種表現形式呈現已知條件。靜態圖如圖2（b）所示，是根據文字表征的信息形成的圖形。文字與圖形之間的對應關系可以幫助學生提供和補充信息，逐步提高學生對幾何問題的理解能力。

為了克服靜態圖的約束性，我們設計了如圖2（c）所示的動態圖，通過拖動具體對象可以把抽象的數學思想清晰地呈現出來。學生可以拖動圖中的幾何對象，其屬性值會更清楚、直觀地動態呈現出來。

4. 證明表征模塊

證明表征模塊包括形式證明和證明樹。在學習證明時，學習者需要認識到演示圖的作用，從中找出已知條件和證明結論，以及隱含的假設、特征和推理規則[5] 。形式證明如圖2（d）所示，其中每一步驟的結論都是由指定條件推出，點擊任何一個證明步驟，學生可以在證明樹中找到對應的結點。形式證明是一個復雜的認知過程，為了降低學生理解證明的認知負荷，我們應該引導學生通過證明樹建立已知條件和結論之間的邏輯關系。

證明樹是從已知條件到證明結論推斷的節點層次結構[6]，大部分研究者利用樹形結構呈現邏輯推理過程。證明樹的每個節點都代表一個證明步驟，根節點是文字表征中的證明結論，葉節點是一個給定的條件或本身隱含的條件。最后，樹狀結構圖如圖2（e）所示，呈現出從已知條件到證明結論之間的邏輯關系。只要點擊證明樹上的任何節點，學生可以在形式證明中看到相應的推理步驟，有助于學生理解形式證明和證明樹之間的對應關系。

圖2 五種表征

三、研究方法

（一）研究對象

本研究從東北師范大學附屬中學初二年級377名學生中選出94名具備證明基礎知識和能熟練應用智能手機的學生作為研究對象，年齡范圍分布在14～16歲之間。采用 SPSS18.0 進行統計分析學生的平時數學成績，將學生分成三組：高級組（24人）、中級組（46人）、低級組（24人）。

（二）研究課程選定

根據教學進度，本次實驗選取人民教育出版社出版的《義務教育課程標準實驗教科書（數學）》八年級上冊第十一章《全等三角形》作為教學內容。根據學生實際情況、教師的教學經驗，基于移動技術輔助幾何證明的多重表征系統設計，把幾何證明題存儲到數據庫中，并且用多種表征呈現出來。對實驗內容設計成課件，配備給實驗教師，并對實驗教師進行理論與實驗的指導。

（三）教學策略設計

在基于移動學習系統的應用研究中，為了讓學生循序漸進地掌握幾何知識，我們設計了四項任務（如圖3所示），學生按照簡單到復雜的順序完成。任務越簡單，給學生提供的信息越豐富；反之，學生需要認真推理和理性判斷完成任務。以下是四項任務的具體內容。

任務一：查找丟失的推理步驟。如圖3（a）所示，學生可以與文字表征、形式證明、靜態圖或動態幾何圖進行轉換和轉譯，恢復丟失節點的證明樹。通過觀察這些表征之間相互對應關系，能提高學生對其他表征的理解能力。如果學生能夠找到形式證明與證明樹之間的對應關系，那么學生就具備恢復證明樹推理步驟的能力。這個任務主要測試學生對這個證明命題的了解，是否能簡單地通過其他幾種表征完成簡單的轉換、推理。

任務二：選擇正確的步驟完成形式證明。這項任務的主要目的是幫助學生閱讀并理解證明樹和完成形式證明。如圖3（b）所示，學生通過閱讀文字表征、靜態圖、動態圖和證明樹，系統以選擇題的形式為學生呈現缺失步驟，學生從四個選項選擇一個正確答案填寫在空缺處，完成形式證明步驟。

任務三：證明樹轉換成形式證明。為了培養學生能夠在多重表征環境中獨立完成一個完整的形式證明的能力，如圖3（c）所示。學生參考文字表征、靜態圖和動態圖給出的信息，構建一個形式證明，根據證明樹的步驟，復制對應的樹節點內容粘貼到形式證明中。此外，為了幫助學生發現不同證明步驟順序導致結果的不同，學生可以根據自己的邏輯推理，以拖動內容的形式重新排列證明步驟。同時，學生判斷幾何特征或命題時，可以根據文字表征和圖形表征進行檢查和判斷。

任務四：概念測試。為了測試學生對基本幾何概念的理解，以選擇題的形式讓學生根據動態圖回答問題。如圖3（d）所示，學生可以參考文字表征、靜態圖、形式證明和證明樹，完成測試題 “下圖所示，∠ADE和∠CBE之間的關系是什么？”如果答對，系統直接跳到下一個概念測試題，如果答題錯誤，系統會自動作出評價以及顯示正確答案。

（四）數據收集

為了評價移動技術輔助幾何證明的多重表征系統的應用效果，發現移動技術輔助幾何證明的多重表征系統設計過程中存在的問題，本研究通過調查問卷和訪談兩種方式收集相關數據。

1. 問卷調查

為提高調查結果的真實性，問卷包括封閉式選擇題和開放式回答題。問卷分成三部分：第一部分是學生性別、組別等基本信息的調查；第二部分是完成任務過程的調查，這部分主要調查學生完成任務一、任務二、任務三、任務四中每個問題或步驟所參考、應用的表征，問卷縱向維度是任務中每個問題或步驟，橫向維度是供多項選擇的多種表征；第三部分是運用Davis提出的技術接受模型（TAM）中感知有用性、感知易用性、行為意向三個維度調查學生對多重表征輔助幾何證明系統的接受程度，每個維度中問題的答案選項根據Likert“五點”量表（非常同意、比較同意、中立、不同意、非常不同意）進行設計。為了保證收集數據的準確度和有效性，在學生完成實驗后當場發放問卷，學生根據自己真實感受填寫問卷并回收，回收率為100%。

2. 訪談

為了更客觀地了解學生對移動技術輔助幾何證明的多重表征系統的真實感想，研究者從高級組抽取5人、中級組抽取10人、低級組抽取5人進行訪談。訪談問題有：（1）在完成任務過程中，你最不習慣應用哪種表現形式？為什么？（2）在完成任務過程中，你認為哪種表征最能輔助你學習幾何證明？為什么？（3）在完成任務過程中，你感覺用移動設備學習好處是什么？弊端是什么？（4）完成任務后，讓你覺得自己獨立完成一個幾何證明可以嗎？為什么？（5）這次活動后，你對幾何證明過程的認識是否有變化，具體包括哪些方面？

四、數據分析與討論

（一）不同組學生與系統互動頻率分析

三組學生完成四項任務過程中與系統交互情況見表1。高級組平均每人103.29次，中級組平均每人112.08次，低級組平均每人104.04次。由表可見，中級組與系統互動最頻繁，其次是低級組和高級組。對三組的比較采用單因素方差分析，α為默認值0.05，結果顯示F= 7.536，P=0.003，采用Scheffe方法，Post Hoc Tests（事后比較檢驗）各組間學生與該系統交互次數的差別得出：中級組學生與系統的交互次數明顯高于高級組和低級組，而高級組與低級組之間沒有明顯差異。中級組學生比高級組和低級組學生更適合使用移動技術輔助幾何證明的多重表征系統。通過訪談我們發現，中級組學生幾何基礎知識掌握比較好，從仔細閱讀文字表征到觀察靜態圖和動態圖，再到梳理已知條件與證明結論之間的邏輯關系，最后完成形式證明的整個過程中，中級組學生收獲也是最大的；相反，低級組學生由于基礎知識比較薄弱，而不能熟練并充分地使用該系統。

表1 單因素方差分析學生與系統交互情況

（二）不同組學生與多種表征之間的關系分析

移動技術輔助幾何證明的多重表征系統為了幫助學生減少認知負荷、構建新舊知識聯系以及促進知識意義建構，培養學生多角度、多視角思考問題的能力，提高學生解決幾何證明問題的能力。不同組學生選擇表征的次數統計見表2，證明樹被學生選擇2571次（占25.6%），這說明學生最喜歡的表征是證明樹；其次是形式證明2487次（占24.7%），較少的是文字表征1834次（占18.2%）、動態圖1700次（占16.9%）和靜態圖（占14.6%）。經過訪談發現，學生審題時間較少，對已知條件和證明結論沒有進行深度的邏輯推理，便快速進入證明，這也直接導致文字表征、靜態圖和動態圖被學生選擇的次數較少。相比動態圖而言，靜態圖說服力較弱，交互次數最少。

觀察表2中形式證明和證明樹被不同組學生選擇的次數，我們發現高級組和中級組的學生分別選擇形式證明和證明樹的次數基本相同。這表明，高級組和中級組的學生能找到這兩種表征中對應的信息，并且能完成彼此之間相互轉換和轉譯。但是對于低級組而言，證明樹比形式證明更適合他們。訪談中，低級組學生認為證明樹比形式證明能更直觀地呈現幾何證明邏輯推理過程，并快速地找到答案。

表2 不同組學生選擇表征的次數比例

對表2中，相對證明樹和形式證明而言，動態圖對低級組學生的吸引力更大，而對高級組和中級組學生的吸引力不強。通過訪談發現，高級組學生能夠熟練地掌握和運用形式證明和證明樹。而低級組學生基礎知識薄弱，不能理解證明樹中邏輯推理過程和形式證明中的某些步驟，需要動態圖輔助其建立已知條件與未知條件的聯系，因此動態圖更能吸引低級組。

（三）學生對系統的接受度

學生對多重表征系統的技術接受程度情況如表3所示。從學生對幾何證明的多重表征系統的感知有用性維度看，72.4%的學生認為幾何證明的多重表征系統能促進理解和推理問題，79.8%的學生認為使用幾何證明的多重表征系統可以激發他們的幾何學習興趣，一半以上的學生使用本系統后，加深了幾何定理的記憶，并且學習效率有所提高；從學生對幾何證明的多重表征系統的感知易用性維度看，63.8%的學生認為多重表征交互界面清楚明白，可以及時找到想要的答案，71.3%的學生能夠靈活、方便地運用該系統交互界面；從學生對幾何證明的多重表征系統的行為意向看出，76.6%的學生期待在以后幾何證明學習中能有多重表征系統的幫助。因此，移動技術輔助幾何證明的多重表征系統簡單明了的設計風格，使學生能夠熟練地運用它；同時，對學生學習幾何證明產生了積極的促進作用。

表3 多重表征系統的技術接受程度情況

五、結 束 語

移動學習的應用已在各個領域全面展開，并且隨時隨地、無時無刻地伴隨在我們的身邊。本文成功地設計并應用了幾何證明的多重表征移動學習系統，在初中幾何證明教學實驗中取得了良好的結果。多重表征系統較高的技術接受程度，也促使大部分學生期待在以后的學習中能得到多重表征系統的幫助。不同知識經驗的學生喜歡不同表征形式，由于表征形式的多樣性有時也會給學生增加認知負荷，所以為了考慮學生的個別差異性，我們會進一步優化幾何證明的多重表征系統，盡可能地滿足不同知識經驗者的需求。