應(yīng)用萬有引力定律解相關(guān)高考題

【摘要】萬有引力定律是力學(xué)中的一個(gè)重要的基本規(guī)律，也是中學(xué)階段唯一涉及并應(yīng)用于討論天體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，是每年高考的必考內(nèi)容。因?yàn)樗婕暗墓阶兓啵P(guān)系復(fù)雜，物理模型難以建立，因此也是學(xué)生感到十分頭疼的一個(gè)問題。本文就個(gè)人心得，結(jié)合例題分析，希望對(duì)考生在應(yīng)用萬有引力定律解答高考題時(shí)有所幫助。

【關(guān)鍵詞】應(yīng)用萬有引力定律解高考題

【中圖分類號(hào)】G632 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1674－4810（2014）15－0121－02

從近五年的高考試題可以看出，萬有引力定律與牛頓運(yùn)動(dòng)定律結(jié)合分析天體、人造衛(wèi)星、宇宙飛船、航天飛機(jī)的運(yùn)動(dòng)問題，估算天體的質(zhì)量和密度的問題，在高考中考察的頻率會(huì)越高，加上載人航天的成功和探月計(jì)劃的實(shí)施，這些都是高考命題的熱點(diǎn)。對(duì)萬有引力定律的理解，萬有引力和重力的關(guān)系，宇宙速度的理解主要以選擇題的形式出現(xiàn)，對(duì)于萬有引力定律的應(yīng)用常與牛頓運(yùn)動(dòng)定律、圓周運(yùn)動(dòng)、機(jī)械能等知識(shí)結(jié)合，考查形式多樣。下面就近幾年高考中與萬有引力定律有關(guān)的題目作總結(jié)。

一 弄清解題思路

1．建立一種模型——質(zhì)點(diǎn)模型

運(yùn)行的天體分兩種：自然天體（如月球、地球）和人造天體（如人造衛(wèi)星、宇宙飛船）。不論哪種天體，不管他體積有多大，在分析問題時(shí)，首先都應(yīng)把研究對(duì)象看作質(zhì)點(diǎn)，人造天體直接看作質(zhì)點(diǎn)即可，自然天體看作位于球心位置的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，天體運(yùn)動(dòng)就可抽象為一質(zhì)點(diǎn)繞另一質(zhì)點(diǎn)的近似勻速圓周運(yùn)動(dòng)模型。

2．明確兩條思路

思路1：根據(jù)中心天體表面或附近萬有引力近似等于重

力有 （g0表示天體表面的重力加速度，R是中心

天體半徑）。在研究衛(wèi)星問題時(shí)，若知道中心天體表面的重力加速度g0時(shí)，則有GM＝g0R2，此式稱為黃金代換式，它把“天上”和“地上”聯(lián)系起來。

思路2：根據(jù)萬有引力提供向心力有基本公式：

由此可推出 ， ， ， 。

從這幾個(gè)結(jié)果可以看出，當(dāng)環(huán)繞半徑r增大時(shí)，向心加速度a、線速度v、角速度ω三個(gè)“速度”都減小，而周期T增大，可概括為“高軌、低速、長(zhǎng)周期”。另外要明確質(zhì)點(diǎn)在星球表面附近時(shí)r＝R，距離星球表面有一定高度h時(shí)（如航天飛機(jī)距離地面的高度為h），r＝R＋h。在解題過程中，要根據(jù)具體問題選擇相應(yīng)的公式求解相關(guān)問題。

二 試題分析

1．地球同步衛(wèi)星問題

例1（2011山東第17題），甲、乙為兩顆地球衛(wèi)星，其中甲為地球同步衛(wèi)星，乙的運(yùn)行高度低于甲的運(yùn)行高度，兩衛(wèi)星軌道均可視為圓軌道。以下判斷正確的是（ ）。

A．甲的周期大于乙的周期；

B．乙的速度大于第一宇宙速度；

C．甲的加速度小于乙的加速度；

D．甲在運(yùn)行時(shí)能經(jīng)過北極的正上方。

解析：由r甲＞r乙，根據(jù)“高軌、低速、長(zhǎng)周期”，可知T甲＞T乙、a甲＜a乙，AC正確；甲、乙均為兩顆地球衛(wèi)星，運(yùn)行速度都小于第一宇宙速度，B錯(cuò)誤；甲為地球同步衛(wèi)星運(yùn)行在赤道上方，D錯(cuò)誤。

例2（2011天津第8題），質(zhì)量為m的探月航天器在接近月球表面的軌道上飛行，其運(yùn)動(dòng)視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)。已知

月球質(zhì)量為M，月球半徑為R，月球表面重力加速度為g，引力常量為G，不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響，則航天器的（ ）。

A．線速度B．角速度

C．運(yùn)行周期 D．向心加速度

解析：萬有引力提供衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，即上面思路2的內(nèi)容，代入相關(guān)公式即可得出答案A、C正確。

例3，如右圖所示，軌道A與軌道B相切于P點(diǎn)，軌道B與軌道C相切于Q點(diǎn)，以下說法正確的是（ ）。

A．衛(wèi)星在軌道B上由P向Q運(yùn)動(dòng)的過程中速率越來越小；

B．衛(wèi)星在軌道C上經(jīng)過Q點(diǎn)的速率大于在軌道A上經(jīng)過P點(diǎn)的速率；

C．衛(wèi)星在軌道B上經(jīng)過P時(shí)的向心加速度與在軌道A上經(jīng)過P點(diǎn)的向心加速度是相等的；

D．衛(wèi)星在軌道B上經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)受到地球的引力小于經(jīng)過P點(diǎn)的時(shí)受到地球的引力。

解析：這是人造衛(wèi)星的變軌問題，發(fā)射人造衛(wèi)星要克服地球的引力做功，發(fā)射得越高，克服地球的引力做功越多，發(fā)射就越困難。所以在發(fā)射同步衛(wèi)星時(shí)要先讓它進(jìn)入一個(gè)較低的近地軌道（停泊軌道）A，然后通過點(diǎn)火加速，使之做離心運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入一個(gè)橢圓軌道（轉(zhuǎn)移軌道）B，當(dāng)衛(wèi)星到達(dá)橢圓軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)，再次通過點(diǎn)火加速使其做離心運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入同步軌道C衛(wèi)星在軌道B上由P到Q的過程中，遠(yuǎn)離地心，克服地球的引力做功，所以要做減速運(yùn)動(dòng)，滿足“高軌、低速、長(zhǎng)周期”，A、C項(xiàng)正確，B項(xiàng)錯(cuò)誤。衛(wèi)星在軌道B上經(jīng)過Q點(diǎn)比經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)離地心的距離要遠(yuǎn)一些，受地球的引力要小一些，所以D項(xiàng)正確。

2．天體的計(jì)算

例4（2011浙江第19題），為了探測(cè)X星球，載著登陸艙的探測(cè)飛船在以該星球中心為圓心，半徑為r1的圓軌道上運(yùn)動(dòng)，周期為T1，總質(zhì)量為m1。隨后登陸艙脫離飛船，變軌到離星球更近的半徑為r2的圓軌道上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)登陸艙的質(zhì)量為m2則：

A．X星球的質(zhì)量為 ；

B．X星球表面的重力加速度為 ；

C．登陸艙在r1與r2軌道上運(yùn)動(dòng)是的速度大小之比為

；

D．登陸艙在半徑為r2軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為

。

解析：根據(jù) 、 ，可

得 、 ，故A、D正確；登陸艙在半徑

為r1的圓軌道上運(yùn)動(dòng)的向心加速度 ，此加

速度與X星球表面的重力加速度并不相等，故B錯(cuò)誤；根據(jù)

，得 ，則 ，故C錯(cuò)誤。

例5，天文學(xué)家將相距較近、僅在彼此的引力作用下運(yùn)行的兩顆恒星稱為雙星。雙星系統(tǒng)在銀河系中很普遍。利用雙星系統(tǒng)中兩顆恒星的運(yùn)動(dòng)特征可推算出它們的總質(zhì)量。已知某雙星系統(tǒng)中兩顆恒星圍繞它們連線上的某一固定點(diǎn)分別做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期均為T，兩顆恒星之間的距離為r，試推算這個(gè)雙星系統(tǒng)的總質(zhì)量。（引力常量為G）。

解析：設(shè)兩顆恒星的質(zhì)量分別為m1、m2，做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑分別為r1、r2，角速度分別為ω1、ω2。根據(jù)題意有

ω1＝ω2 （1）

r1＋r2＝r（2）

根據(jù)萬有引力定律和牛頓定律，有 （3）

（4）

聯(lián)立以上各式解得（5）

根據(jù)角速度與周期的關(guān)系知（6）

聯(lián)立（3）（5）（6）式解得

例6，宇航員站在一星球表面上的某高處，沿水平方向拋出一小球，經(jīng)過時(shí)間t，小球落在星球表面，測(cè)得拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的距離為L(zhǎng)，若拋出時(shí)的初速度增大到2倍，則拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)間的距離為 L，已知兩落地點(diǎn)在同一水平面上，該星球的半徑為R，引力常量為G，求該星球的質(zhì)量M和密度ρ。

解析：此題的關(guān)鍵就是要根據(jù)在星球表面物體的運(yùn)動(dòng)情況求出星球表面的重力加速度，再根據(jù)星球表面物體的重力等于物體受到的萬有引力求出星球的質(zhì)量和星球的密度。

根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)得出拋出物體豎直方向上的位移為

。

設(shè)初始平拋小球的初速度為v，則水平位移為x＝vt，有

（1）

當(dāng)以2v的速度平拋小球時(shí)，水平位移為x'＝2vt，所以有

（2）

在星球表面上物體的重力近似等于萬有引力，有mg＝

G （3）

聯(lián)立以上三個(gè)方程解得

而天體的體積為 ，由密度公式 得出天

體的密度為 。

三 結(jié)束語

以上6道例題涉及同步衛(wèi)星的特點(diǎn)、衛(wèi)星運(yùn)行過程三種速度（線速度、角速度、向心加速度）和周期的比較、衛(wèi)星變軌問題、雙星模型、天體的質(zhì)量、密度的計(jì)算等相關(guān)問題，從分析過程可看出，解題的關(guān)鍵就是建立模型和明確思路，尤其是對(duì)萬有引力提供向心力基本公式的熟練掌握，只要根據(jù)具體問題選擇相應(yīng)等式關(guān)系列方程，能巧用結(jié)論“高軌、低速、長(zhǎng)周期”，那么，在高考中應(yīng)用“萬有引力定律”解相關(guān)物理問題時(shí)，一定能得心應(yīng)手，事半功倍。

〔責(zé)任編輯：范可〕