導數在研究函數性質中的一些應用

【摘要】導數是高中數學課程中的重要內容，是解決實際問題的有力工具，運用導數研究函數的單調性、極值和最值是高中導數教學的主要內容。本文主要從三方面闡述了導數在研究函數性質中的一些應用，即導數在判斷函數單調性、求解函數極值以及求解函數最值中的應用。總之，導數作為高中數學課程的新增內容，給函數性質的研究開辟了一條新的途徑。

【關鍵詞】導數單調性極值最值

【中圖分類號】G633.6【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）06-0143-02

函數是高中數學的核心內容，其貫穿高中數學的始終，函數的性狀的研究自然就成為高中數學的重要內容，然而，函數的許多性質，如單調性、極值、最值的研究，僅僅依靠定義等工具，顯得十分復雜，甚至可望而不可及。導數進入高中數學教材后，給函數性質的研究，開辟了一條新的途徑，特別是應用導數這一新工具，為分析和解決問題提供了新的視角，新的方法。與傳統方法相比，簡捷明快，具有明顯優勢。下面以實例談談導數在研究函數性質中的應用。

1.導數在研究函數單調性中的應用

一般地，設函數y=f(x)在某個區間有導數y′，如果在這個區間內y′＞0，那么y=f(x)在這個區間內為增函數；如果在這個區間內y′＜0，那么y=f(x)在這個區間內為減函數。

在教學中，需要強調的是函數y=f(x)在某個區間內有導數，且在這個區間y′＞0（y′＜0）只是y=f(x)在這個區間內為增函數（減函數）的充分不必要條件，并不是充要條件。若函數y=f(x)在(a，b)內可導，則f(x)在(a，b)上單調遞增（減）的充要條件是：f′(x)≥0（f′(x)≤0）且f′(x)在(a，b)的任意區間上都不恒為0。在應用導數判別函數單調性的問題時，我們需要注意這些問題。下面我們就通過具體的實例警醒討論。

例1：已知a∈R，求函數f(x)=x2eax的單調區間。

解：函數f(x)的導數:f′(x)=2xeax+ax2eax=(2x+ax2)eax

（1）當a=0時，若x<0，則f′(x)＜0；若x>0，則f′(x)＞0。

所以當a=0時函數y=f(x)在區間(-∞，0)內為減函數，在區間(0，+∞)內為增函數。

（2）當a>0時，由2x+ax2＞0解得x＜-■或x＞0；由2x+ax2＜0解得-■＜x＜0，所以當a<0時，函數f(x)在區間(-∞，-■)內為增函數，在區間（-■，0)內為減函數，在區間(0，+∞)為增函數。

（3）當a<0時，由2x+ax2＞0解得0＜x＜-■；由2x+ax2＜0解得x<0或x＞-■。所以當a<0時，函數f(x)在區間(-∞，0)內為減函數，在區間(0，-■)內為增函數，在區間(-■，+∞)內為減函數。

本題是2004年全國理科高考試題，本題考查了導數的應用，不等式的解法，分類討論的數學思想方法和運算，推理能力，是綜合性較強的一道題。考查內容也是多方面的，對學生利用導數知識求函數單調區間是很好的考查。

2.導數在求解函數極值中的應用

一般地，設函數y=f(x)在x=x0及其附近有定義，如果f(x0)的值比x0附近的所有各點的函數值都大，我們就說f(x0)是函數y=f(x)的一個極大值;如果f(x0)的值比x0附近的所有各點的函數值都小，我們就說f(x0)是函數y=f(x)的一個極小值。極大值與極小值統稱極值。

極值是一個局部概念，一個函數在一個區間上可以有幾個極大值和極小值，而且極大值也不一定都大于極小值。極值點是定義區間內部的點，不含端點。一個可導函數在某點有極值的充要條件是:這個函數在該點處的導數等于零且在該點兩側異號。f′(x)=0只是可導函數y=f(x)在x0點取得極值的必要條件。而導數在x0點兩側異號也只是在x0點取得極值的充分條件。同時，仍須強調的是若f′(x)=0且在x0附近f′(x)不變號，則f(x0)不是極值。下面我們通過幾個實例對這些內容進行深刻的理解和應用。

例2：已知a∈R，討論函數f(x)=ex(x2+ax+a+1)的極值點的個數。

解：f′(x)=ex(x2+ax+a+1)+ex(2x+a)=ex[x2+(a+2)x+2a+1]

令f′(x)=0，得x2+(a+2)x+(2a+1)=0

（1）當△=(a+2)2-4(2a+1)=a2-4a=a(a-4)＞0即a<0或a>4時，方程有兩個不同的實根x1，x2，不妨設x1＜x2，于是，f′(x)=ex(x-x1)(x-x2)從而有下表:

即此時f(x)有兩個極值點。

（2）當△=0時即a=0 或a=4時，方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0有兩個相同的實根x1=x2，于是f′(x)=ex(x-x1)2，故當x＜x1時，f′(x)＞0；當x＞x2時，f′(x)＞0。

因此f(x)無極值。

當△＜0時，即0

f′(x)=ex[x2+(a+2)x+(2a+1)]＞0故f(x)為增函數，此時f(x)無極值。

因此當a>4或a<0時，f(x)有兩個極值點；當0≤a≤4時f(x)無極值點。

本題考察了對函數求導，極值等知識，是對某一函數在某個定點是否取得極值的一個很好的考察。

3.導數在求解函數最值中的應用

函數在定義區間上的最值就是它在該區間的最大值和最小值。高中新教材并未給函數的最值一個明確的定義，只是借助于函數的圖像，通過圖像觀察對函數在定義區間上極值點取得的極值和左、右兩端點的函數值的比較得出函數的最值。新教材給出了求函數最值求法如下：一般地，設y=f(x)是定義在[a，b]上的函數，y=f(x)在(a，b)內有導數，求函數y=f(x)在[a，b]上的最大值與最小值，可分為兩步進行：

(1)求y=f(x)在(a，b)內的極值（極大值或極小值）。

(2)將y=f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值。

那也就是說，所有極大值及端點函數值中最大者就是函數在該區間上的最大值；所有極小值及端點函數值中最小者就是函數在該區間上的最小值。要注意的是函數的最大（小）值與極大（小）值的區別和聯系。函數的極值是比較極值點附近的函數值得出的，是局部概念。而函數的最值是比較整個定義區間上的函數值得出的，是對整個定義域而言的。在閉區間[a，b]上連續函數f(x)的最值是從開區間(a，b)內所有極值與f(a)，f(b)比較選出來的。若函數f(x)在一個區間上只有一個極大（小）值，這個極大（小）值就是最大（小）值。

例3：已知實數x，y滿足x2+y2=2x，求x2y2的取值范圍。

解：由x2+y2=2x得y2=2x-x2≥0解得0≤x≤2

設z=x2y2=x2(2x-x2)=-x4+2x3，z′=-4x3+6x2=-4x2x-■

當0＜x＜■時，z′=-4x2x-■＞0，函數z=-4x3+2x3是增函數。

當■＜x＜2時， z′=-4x2x-■＜0，函數z=-4x3+2x3是減函數。

∴當x=■時，函數值最大，為■；當x=0或x=2時，z=0。

∴z=x2y2的取值范圍是0，■。

本題通過構造函數z=-4x3+2x3，將雙變量問題轉化為單變量問題，在轉化過程中注意到了確定函數的定義域。

4.導數在實際生活中的應用

在日常生活，生產和科研中，我們也常常會遇到什么條件下可以使材料最省，時間最少，效率最高等問題。這也可以歸結為求函數的最大值最小值問題。我們通過具體實例來說明。

例4：用總長14.8m的鋼條制成一個長方體容器的框架，如果所制作的容器的底面的一邊比另一邊長0.5m，那么高為多少時容器的容積最大，并求出它的最大容積。

解：設容器底面短邊長為Xm，則另一邊長為(X+0.5)m，高為■=3.2-2Xm，由3.2-2X＞0和X＞0得0

設容器的容積為Ym3，則有Y=X(X+0.5)(3.2-2X)(0＜X＜1.6)整理得Y=-2X3+2.2X2+1.6X∴Y ′=-6X2+4.4X+1.6

令Y ′=0，有-6X2+4.4X+1.6=0即15X2-11X-4=0

解得X1=1，X2=-■（不合題意，舍去）

從而在定義域(0，1.6)內只有在X=1處使Y′=0，由問題的實際情況來看，如果X過小（接近0），容器的底面積就很小，容積Y也就很小；同樣，如果X過大（接近1.6）容器的高就很小，容積Y仍然很小。當X在（0，1.6）內變化時，導數Y′的正負如下表：

因此在X=1處，函數Y(X)取得極大值并且這個極大值就是函數Y′(X)的最大值，當X=1帶入Y(X)，得最大容積Y=-2+2.2+1.6=1.8

這時高為3.2－2×1=1.2

答:當高為1.2m時容器的容積最大，最大容積為1.8m3。

這是一道實際生活中的最大值問題，一般先建立目標函數，通過配湊變形轉化為符合二元或者三元均值不等式的形式求最值，但配湊過程是一個難點，運用導數知識求目標函數的最值則變得非常簡單，可見導數的引進開辟了求最值問題的新途徑。

在導數的學習中，我們應該以導數的概念為入口，以導數的計算為基礎，突破導數的三點應用，從而使導數真正為我所用。通過對導數的學習，體會導數的思想及內涵，感受導數在解決數學問題和實際問題中的作用，體會微積分的產生對人類文化發展的價值和作用。

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