拋物線的焦點弦問題

【摘要】拋物線中有關焦點弦有一些常見、常用的結論，了解這些結論后在做選擇題、填空題時可迅速解答相關問題，在做解答題時也可迅速打開思路，而且能夠節省很多時間。例如：若AB是拋物線y2=2px(p＞0)的焦點弦（過焦點F的弦），且A(x1，y1)，B(x2，y2)，則：

結論一：x1x2=■，y1y2=-p2。

結論二：■+■=■。

結論三：若AB是拋物線y2=2px(p＞0)的焦點弦，且直線AB的傾斜角為α，則AB=■

結論四：焦點弦中通徑（過焦點且垂直于拋物線對稱軸的弦）最短。

結論五：以拋物線焦點弦AB為直徑的圓與準線相切。

結論六：過拋物線焦點弦的兩端點向準線作垂線，以兩垂足A1B1為直徑端點的圓與焦點弦相切。

結論七：以AF，BF為直徑的圓與y軸相切。

我在做13年高考題中，發現了一個新的結論：以焦點弦為直徑的圓與準線相切，切點與焦點連線垂直于焦點弦。

【關鍵詞】焦點弦拋物線問題高考

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）06-0148-01

全國大綱卷（11）

已知拋物線C：y2=8x與點M(-2，2)，過C的焦點，且斜率為k的直線與C交于A，B兩點，若■·■=0，則k=（）

（A）■（B）■（C）■（D）2

標準答案：【解析】設直線AB方程為y=k(x-2)，代入y2=8x得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1+x2=■，x1x2=4（?鄢）

∵■·■=0∴(x1+2，y1-2)·(x2+2，y2-2)=0即

(x1+2)(x2+2)+(y1-2)(y2-2)=0

即x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2-2(y1+y2)+4=0①

∵y1=k(x1-2)y2=k(x2-2)∴y1+y2=k(x1+x2-4)②

y1y2=k2(x1-2)(x2-2)=k2[x1x2-2(x1+x2)+4]③

由（?鄢）及①②③得k=2，故選D

標準答案的計算量非常的大，主要考察學生的計算能力。

我覺得的用拋物線的性質可以非常快的解決這個問題。我的做法，利用拋物線的焦點弦的性質，以AB為直徑的圓與準線相切，M點在準線上，滿足MA⊥MB，M為與準線的切點。取AB中點E，則ME⊥y軸。所以y1+y2=4。

設直線方程為y=k(x-2)，由y=k(x-2)y2=8x得■y2-y-2k=0，所以y1+y2=■。

所以k=2。

同時我發現MF⊥AB，這是一個必然事件，還是一個偶然事件？由此，我做了以下的證明。

例：已知拋物線y2=2px(p＞0)，直線l過拋物線的焦點F，與拋物線交于A、B兩點，AB中點在準線上的射影為M，求證：MF⊥AB。

解：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則M(-■，■)

當x1≠x2時，kAB=■=■=■，kMF=■=■

所以，kAB·kMF=-1，所以MF⊥AB。

當x1=x2時，y1+y2=0，AB⊥x軸，MF與x軸重合。所以， MF⊥AB。

所以，我們得到了，焦點弦的一個性質，

那就是：以焦點弦為直徑的圓與準線相切，切點與焦點連線垂直于焦點弦。

參考文獻：

[1]蘇福增;例談拋物線的最值問題[J];福建中學數學;2008年06期

[2]姚立宏;劉興培;關于拋物線焦點弦的若干結論[J];高中數學教與學;2003年07期

[3]楊麗;拋物線焦點弦的性質及其應用[J];科技信息;2009年30期

[4]裴金樓;拋物線焦點弦的幾條性質[J];數理天地(高中版);2007年10期