例談導(dǎo)數(shù)中的一類建構(gòu)函數(shù)問(wèn)題

【中圖分類號(hào)】G633.6【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2014）06-0153-02

任何一道代數(shù)試題的編制都離不開(kāi)強(qiáng)大的幾何圖形的支持，所以掌握一些簡(jiǎn)單的初等函數(shù)的圖像對(duì)解決導(dǎo)數(shù)題是非常有益的，通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)近幾年高考試題中導(dǎo)數(shù)題大部分集中在對(duì)函數(shù)性態(tài)上的研究，（特別是ex和lnx）下面觀察幾個(gè)初等函數(shù)。

不難發(fā)現(xiàn)，這些函數(shù)的構(gòu)成都是圍繞著ex和lnx展開(kāi)的。在函數(shù)有關(guān)問(wèn)題中還經(jīng)常碰到諸如ex和lnx與較為簡(jiǎn)單的函數(shù)（如一次函數(shù)，二次函數(shù)等）進(jìn)行四則運(yùn)算建構(gòu)出來(lái)的函數(shù)，將復(fù)雜的函數(shù)有效合理地分離出上述函數(shù)，往往能使問(wèn)題迎刃而解，這種分離函數(shù)的技巧是一種較新的技巧，學(xué)生一般不太注意，但這種技巧在解決有關(guān)問(wèn)題時(shí)是必須使用的，所以這種技巧很實(shí)用，很重要，應(yīng)該引起重視。

看下面例題：

例1：已知函數(shù)f（x）=■lnx，若對(duì)任意x∈（0，1）恒有f（x）<-2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

從反饋的信息來(lái)看，大部分學(xué)生對(duì)這道題感到棘手，難以解決。他們選擇的方法，主要是分離參數(shù)法。乍一看，這一方法似乎很自然，也很簡(jiǎn)單，但實(shí)際上由于導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)不存在，所以采用這一方法行不通。下面給出學(xué)生在練習(xí)中的想法：

想法1：當(dāng)a>0時(shí)，由f（x）=■lnx<-2得-2a>■lnx（分離出參數(shù)a）。

令g（x）=■lnx，則g′（x）=■。

令h（x）=2lnx+■，h′（x）=-■<0。

所以h（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，所以h（x）>h（1）=0，所以g′（x）>0。

所以g（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，g（x）在x=1處取得最大值，但g（1）不存在，此種解法難以繼續(xù)進(jìn)行下去。

上面解法不能繼續(xù)進(jìn)行下去的原因是當(dāng)x=1時(shí)，g（x）=■lnx的分母為0，所以g（1）不存在，于是我們考慮能否先求■的范圍，再求a的范圍？

想法2：因?yàn)閤∈（0，1），■lnx<0，由■lnx<-2得■>■。令g（x）=■，則g′（x）=■。令h（x）=4lnx-■，則h′（x）=-■。

所以h（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，h（x）>h（1）=0，所以g′（x）>0。

所以g（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，g（x）

上面用分離參數(shù)法不能解決問(wèn)題，那么這道題究竟如何解答呢？有沒(méi)有一種好的方法解決呢？

想法3：由題可知a≠0，因?yàn)閤∈（0，1），所以■lnx<0，當(dāng)a<0時(shí)，f（x）>0，不合題意。當(dāng)a>0時(shí)，由f（x）<-2，可得lnx+■<0，設(shè)g（x）=lnx+■，則g′（x）=■，設(shè)h（x）=x2+（2-4a）x+1，△=（2-4a）2-4=16a（a-1）。

（i）若a∈（0，1]，則△≤0，h（x）≥0，g′（x）≥0，所以g（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，又g（1）=0，所以g（x）

（ii）若a∈（1，+∞），則△>0，h（0）=1>0，h（1）=4（1-a）<0，所以存在x0∈（0，1），使得h（x0）=0，對(duì)任意x∈（x0，1），h（x）<0，g′（x）<0。則g（x）在（x0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，又g（1）=0，所以當(dāng)x∈（x0，1）時(shí)，g（x）>0，不合要求。

綜合（i）（ii）可知0

評(píng)析：此解法將f（x）<-2中的函數(shù)lnx分離出來(lái)，變成了（？鄢）式，使問(wèn)題順利解決。學(xué)生普遍感到這道題對(duì)他們的啟發(fā)很大，從中學(xué)到了新技巧，長(zhǎng)了見(jiàn)識(shí)，開(kāi)了眼界，拓展了思維，受益匪淺。

看下面例題：

例2：證明：對(duì)一切x∈（0，+∞）都有l(wèi)nx>■-■。

分析：這道題如果簡(jiǎn)單構(gòu)造函數(shù)f（x）=lnx-■+■，并證明f（x）min>0。我們會(huì)發(fā)現(xiàn)對(duì)f（x）求導(dǎo)之后，式子很難處理，根本做不下去；如果我們能熟知上述初等函數(shù)的圖像與性質(zhì)，只需要稍做變形處理，即證xlnx>■-■成立即可。而函數(shù)y=xlnx的最小值為-■（在x=1處取到），函數(shù)y=■-■的最大值為-■（在x=1處取到）所以此題得證。

例3：已知函數(shù)f（x）=xex-ax+e，若對(duì)x∈R，f（x）>0恒成立，求a的取值范圍。

解析：處理此類問(wèn)題，有很多資料指明有兩種方法，一是分離變量，二是找極端值證明單調(diào)性，但是這道題x∈R沒(méi)有極端值，而分離變量又需要對(duì)x的正負(fù)進(jìn)行討論，而且在x=0處，函數(shù)y=ex+■無(wú)意義。若改為求函數(shù)f（x）的最小值，讓f（x）min>0，又做不下去，這時(shí)該怎么辦？考慮函數(shù)y=xex的圖像呀！

此題著眼點(diǎn)可以先考慮y=xex與y=ax-e的圖像特征，若a<0時(shí)，y=xex與y=ax-e一定有交點(diǎn)，顯然結(jié)論不成立；若a=0，不等式f（x）>0對(duì)x∈R恒成立；若a>0欲使xex>ax-e成立，只需過(guò)（0，-e）點(diǎn)做y=xex的切線，哈哈，此題得證了，所以我們就不難理解答案的做法啦。

答案：⑴當(dāng)a<0時(shí)，f■=■·e■<0∵a<0不合題意；

⑵當(dāng)a≥0時(shí)，①當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）≥xex+e，設(shè)函數(shù)g（x）=xex+e（x≤0），則g′（x）=（x+1）ex，∴g（x）在區(qū)間（-∞，-1）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（-1，0）上單調(diào)遞增。因此g（x）≥g（-1）=-■+e>0，故當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）>0；

②當(dāng)x>0時(shí)，不等式f（x）=xex-ax+e>0等價(jià)于ex+■>a，設(shè)函數(shù)h（x）=ex+■（x>0），則h′（x）=ex-■，∵h(yuǎn)′（x）=ex-■在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減且h′（1）=0，∴h（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，從而，h（x）≥h（1）=2e，故0≤a<2e。

綜上，對(duì)于x∈R，f（x）>0恒成立，a的取值范圍是0≤a<2e。

本題解答中將函數(shù)分xex離出來(lái)，使問(wèn)題解決變得十分簡(jiǎn)單，而其他方法則很難解決，再一次凸顯了分離函數(shù)這一技巧的妙用，下面做些練習(xí)吧！

適應(yīng)性練習(xí)：

1.已知函數(shù)f（x）=alnx+1（a>0）在區(qū)間（1，e）上f（x）>x恒成立，求a的取值范圍。（提示：分離函數(shù)y=■，只需大于ymax即可）

答案：a∈[e-1，+∞]

2.設(shè)x>0，討論曲線y=ex與曲線y=mx2（x>0）公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)。（提示：?jiǎn)栴}等同于曲線y=■與y=m的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)）

答案：若0■，有兩個(gè)公共點(diǎn)。

3.若直線l：y=kx-1與曲線f（x）=x-1+■沒(méi)有公共點(diǎn)，求k的最大值。（提示：k-1≠0時(shí)，問(wèn)題等同于曲線y=xex與y=■求交點(diǎn)的個(gè)數(shù)）

答案：k=1

4.求函數(shù)y=x2lnx的單調(diào)區(qū)間。

答案：f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，■）；單調(diào)遞增區(qū)間是（■，+∞）

5.設(shè)L為曲線C：y=■在點(diǎn)（1，0）處的切線。⑴求L的方程；⑵證明：除切點(diǎn)（1，0）之外，曲線C在直線L的下方。

答案：⑴直線L的方程為：y=x-1

6.已知方程xex=x+2在區(qū)間[k，k+1]上有解，求整數(shù)k的值。

答案：k=1或k=3

縱觀近幾年高考試題和模擬題，發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)作為研究函數(shù)性態(tài)的有效工具已經(jīng)成為各類考試的重點(diǎn)內(nèi)容，集中所有題目，我們發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用主要體現(xiàn)在單調(diào)性，極值，最值，圖像上的研究，如果適時(shí)正確地構(gòu)造合理函數(shù)，常常可以使解題過(guò)程得到優(yōu)化，顯得簡(jiǎn)單直觀。

本文例舉了將ex或lnx從式子中分離出來(lái)的技巧的應(yīng)用，這一技巧還可以推廣到將ex或lnx與一次、二次函數(shù)組合的函數(shù)從式子中分離出來(lái)。如何分析函數(shù)的性態(tài)，學(xué)生掌握得不多，在此把它寫出來(lái)，一方面為解決有關(guān)問(wèn)題提供一種新思路，另一方面拋磚引玉，希望廣大讀者能對(duì)這一技巧有更深刻的研究。