二次函數的學習方法探討

二次函數是初中數學學習的重點、難點，也是中考的熱點，二次函數學習的成敗關系到初中函數學習能否全面掌握，是中考成績獲得高分的關鍵。二次函數本身是幾何圖形和方程兩大知識的綜合體，因此所涉及的知識點多，涉及面廣。借助直角坐標系在方程知識與圖形知識之間進行轉化，這些知識對綜合能力還不是很強的初中生來說，在理解掌握上還是有一定困難的。如何學好二次函數，下面根據多年的教學經驗總結以下幾點學習二次函數的方法。

一、掌握學習函數的幾個基本知識點

函數學習內容主要由三部分組成：（1）函數解析式。（2）函數圖象及畫法。（3）函數的性質

1.函數的概念

如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）那么y叫做x的二次函數，特征①等號左邊是函數，右邊是關于自變量x的二次式，x的最高次數是2，②二次項系數a≠0，x的最高次數是2，是經常考試的考點。

2.二次函數的圖象及畫法

①用配方法化成頂點式。②確定圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標。③在對稱軸兩側利用對稱性、描點畫圖。

（3）畫y=ax2+bx+c的草圖，抓住五個要點：①開口方向；②對稱軸；③頂點；④與y軸交點；⑤與x軸交點。

3.二次函數的性質，性質的理解一定要借助圖形，不要死記硬背結論，在理解基礎上記憶

二、掌握拋物線與兩坐標軸交點的求法

1.二次函數y=ax2+bx+c與y軸交點，求法：設x=0得y=a×02+b×0+c，交點（0，c）

2.二次函數y=ax2+bx+c與x軸交點，求法：設y=0得ax2+bx+c=0設此方程兩根為x1，x2，則交點坐標（x1，0）（x2，0）

三、熟練掌握求解析式的三種方法

用待定系數法可求二次函數解析式，確定二次函數解析式一般需要三個獨立條件，根據不同條件選擇不同設法

1.設一般式：y=ax2+bx+c

若已知條件是圖象上三個點坐標。將已知條件代入所設一般式求出a，b，c的值。

2.設頂點式：y=a（x-h）2+k若已知二次函數圖象的頂點坐標或對稱軸方程與最大值或最小值，將已知一個點坐標的條件代入所設頂點式，求出待定系數，最后將解析式化為一般式。

3.設兩根式：y=a（x-x1）（x-x2）若已知二次函數圖象與x軸兩個交點坐標為（x1，0）（x2，0），將第三點（m，n）的坐標或其他已知條件代入所設兩根式，求出待定系數a，最后將解析式化為一般形式。

例1：已知二次函數圖象過點A（0，-3），B（-1，5），C（2，-1），求二次函數解析式。

例2：已知x=2時，函數有最大值-1，且圖象經過點（3，-4），求二次函數解析式。

例3：已知二次函數圖象與x軸交點是A（-2，0），B（1，0）且經過點C（2，8），求解析式。

四、掌握拋物線與x軸的三種位置關系及條件

1.與x軸有兩個交點 2.與x軸有一個交點 3.與x軸沒有交點

五、掌握二次函數圖象的平移

例1：拋物線y=2x2沿y軸向上平移3個單位后解析式是

例2：拋物線y=3（x+1）2-2是由函數y=3x2沿y軸向 平移 個單位后沿x軸向 平移 個單位得到。

六、掌握已知二次函數圖象的應用

已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象，確定y=ax2+bx+c中a、b、c及b2-4ac的符號。

1.a的作用：①決定開口方向和大小，a>0開口向上，a<0開口向下。②|a|越大開口越窄，|a|越小開口越寬；

2.b由對稱軸的位置決定；

3.c由拋物線與y軸交點縱坐標決定；

4.b2-4ac由拋物線與x軸交點情況決定。

例：如圖，已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象，試確定a，b，c，b2-4ac，a+b+c的符號。

七、掌握二次函數與一次函數的關系

二次函數y=ax2+bx+c與一次函數y=kx+b交點坐標（設交點存在）可由方程組y=kx+by=ax2+bx+c的解決定。

例：設二次函數圖象的對稱軸是方程經x-2=0，它經過點（2，3）且與一次函數的圖象交于（0，-1），而這一次函數的圖象與直線y=3x平行。

（1）求這一次函數與二次函數的表達式；（2）求這兩個函數圖象的另一交點。

八、掌握二次函數與中考壓軸題的關系

學完二次函數基礎知識后，重點應學會二次函數的應用，中考壓軸題常出現二次函數與幾何圖形組合而成的綜合題型，通過對這一類型題目的學習和探討，逐步掌握分析問題的方法、解題的技巧。此類題型因涉及知識點多，綜合性強，對多數學生來說都有一定難度，所以更應多加學習與訓練。

1.拋物線與三角形的結合

如圖，已知A（1，0），B（0，3）把△OAB繞點O按逆時針方向旋轉90°后得到△OCD，以E為頂點的拋物線y=ax2+bx+c，經過A、B、D三點，連結EC、ED。

（1）該拋物線的函數關系式為 直線CE的函數關系式為 。

（2）證明△CDE是等腰直角三角形；

（3）在射線CE上是否存在點P，使得以C、D、P為頂點的三角形與△OCD相似？若存在，請求出點P坐標，若不存在請說明理由。

參考答案：（1）y=-x-2x+3，y=-3x+1。

（2）如圖證明△EFC≌△COD。

2.拋物線與矩形的綜合

如圖所示，某公路隧道橫截面為拋物線，其最大高度為6米，底部寬度OM為12米，現以O點為原點，OM所在直線為x軸建立直角坐標系。

（1）直接寫出點M及拋物線頂點P的坐標；

（2）求這條拋物線的解析式；

（3）若要搭建一個矩形“支撐架AD-DC-CB”，使C、D點在拋物線上，A、B點在地面OM上，則這個支撐架總長的最大值是多少？

參考答案：（1）M（12，0） P（6，6）

3.拋物線與圓的綜合

（1）求過A、C兩點的一次函數的解析式；

（2）求過E、D、O三點的二次函數解析式；

（3）證明（2）中拋物線頂點在直線AC上。

編輯 李建軍