分類討論思想在函數教學中的滲透

【摘 要】分類討論思想是高考數學考試說明中明確要考查的四大基本數學思想之一，常應用在函數問題中，學生在熟知函數的相關概念和性質后，教師有必要在教學時滲透分類討論的思想方法，引導學生找到分類的動機，即明確分類的目的。

【關鍵詞】函數教學 分類討論 分類的動機

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2014）02-0057-02

一 引言

分類討論思想是高中數學重要的數學思想之一，分類討論在函數中體現為兩方面，一是函數解析式的分段討論，二是含有參數的函數問題。學生遇到此類題時，要么束手無策，要么認為題目有問題，無法解或無解，沒法明白分類的動機，分類時出現困難。可見學生對分類思想方法掌握不好，因此，分類思想既是老師教學的重難點，也是學生能力的體現。

二 分類討論思想的涵義

當我們遇到的問題中的條件不足以得到一個確定答案或好像無法求解時，就是用分類討論的思想方法求解的時候了，把原問題分解成相對獨立的“小問題”來處理，綜合對這些小問題的解答，便可推證出原問題的結論。這個過程就叫做分類討論，這種思想叫做分類討論思想。分類討論解題的實質，是將整體問題化為部分問題來解決，化成部分問題后，就增加了問題的定解條件。即分類討論是“化整為積，各個擊破，再化積為整”的教學策略。

三 分類討論的動機探究

請看下面的例子：

例1，求函數f（x）=│x-1│+│x+2│的值域。

探究如下：

學生：看起來不好入手解題，它不是基本初等函數的類型，而是與x相關的兩個絕對值。

教師：常見的函數沒有絕對值，因此有必要對解析式進行化簡，化簡的目的是去掉絕對值，怎么去掉絕對值呢？

學生：絕對值里面的正負是關鍵，如果知道x-1，x+2分別與零的大小，就可以去掉絕對值符號。

教師：大小關系有多少種情況呢？

學生：有（1） ，或者（2）

教師：除了這兩種情況，還能有其他的情形嗎？

學生：還可以是一正一負（3） ，或者（4） 。

教師：分成以上四種情況，但是（4）無解集所以得排除。

學生：（1）當x≥1時，f（x）=x-1+x+2=2x+1；（2）當-2

綜上有 ，作出圖像得到值域為

[3，+∞）。

總結：當學生的思維受到局限時，教師可以使用問答的方式一步一步地引導學生解決疑難，可以適當增加條件限制變量的范圍來確定解析式，從而達到化簡的目的，把不熟悉的問題轉化成熟悉的問題，提高學生的邏輯思維能力。所以要學生會用分類討論的思想方法來解題，首先要知道的問題是在什么情況下要考慮到分類討論？其次是明白為什么要分類討論？分類之后會有哪樣的優勢？也就是明確分類的動機。我們面對的很多數學題以及生活中碰到的很多問題，因為有一定的變數而使結果模糊，當我們把變數明晰化，實際上就是增加一個或多個定解條件時，就可以得到確定的答案。

四 函數分類的情形

函數分類討論大致分為兩類，一類是分段函數，分類討論后才能進行解答；一類是函數的性質是分類的，典型的例子是含有參數的問題。如函數性質中根據奇偶性的分類，對某個區間上的單調性討論；一次函數、反比例函數中參數k的情況與單調性討論；二次函數的參數討論以及動的對稱軸；指數函數和對數函數中對底數的分類討論；冪函數的冪指數對函數性質的影響；三角函數中依據角所在的象限對三角函數符號的分類；以及三角函數的定義域；等比數列前n項和q=1，q≠1的討論；直線的截距，兩直線的位置關系與k之間的不確定性；導函數的單調性與參數的不確定性討論等。

例2，（2013年山東）已知函數 （e=2.71828…

是自然對數的底數，c∈R）。（1）求f（x）的單調區間、最大值；（2）討論關于x的方程│lnx│=f（x）根的個數。

分析：（1）利用的是導函數來討論單調性；（2）題是在（1）的基礎上，有絕對值的形式，根據絕對值里面lnx的正負進行討論，因此分段是關鍵，題目根的個數就轉化成一個分段函數的零點問題，而零點的確定需要知道圖像的大概走勢，也就是利用導函數求函數的單調性，利用最小值來和0做比較。

解析過程：

（1）f'（x）=e –2x（1-2x）易知f（x）在（-∞， ）

遞增，（-∞， ）遞減且f'（ ）=0，f（x）有最大值

。

（2）設g（x）=│lnx│-f（x），則方程的根就轉化為函數g（x）的零點，求方程根的個數就是求函數的零點個數，

則 ，由導函數知，當x≥1時，

函數單調遞增，當0

綜上當x∈（0，+∞）時，都有g（x）≥g（l）=-e-2-c。

思路點撥：既然g（x）有最小值g（l），那么g（l）與0的大小情況如何？（1）當g（l）=-e-2-c>0時，函數圖像與x軸沒有交點，即c<-e-2時g（x）沒有零點，∴方程根個數為0個。（2）當g（l）=-e-2-c=0時，函數圖像與x軸有1個交點，即c=-e-2時g（x）有1個零點，∴方程根個數為1個。（3）當g（l）=-e-2-c<0時，即c>-e-2根據零點存在定理，要使g（x）有零點，則必然有當x≥1時，由（1）

知g（x）=lnx-xe-2x-c≥lnx-（ e-1+c）>lnx-1+c，要

使g（x）>0，lnx-1-c>0，即x∈（e1+c，+∞）。

當0

>-lnx-1-c，要使g（x）>0，只需要-lnx-1-c>0，∴x∈（0，e-1-c）。

綜上當c>-e-2時，g（x）有兩個零點，即方程有兩個根。

總結：例題中討論根的情況轉化成函數的零點問題是一大難點，一部分學生在分段得到最小值后就不知如何繼續，沒有找到分類的動機，感覺手忙腳亂，因此懷疑自己的解題思路，最終不能將解題進行下去。還有學生在（3）中不知如何設定情況繼續討論，在大的前提下又進行分類討論，是學生的薄弱點，拿捏不好分類的尺度，因此在討論時把握分類的動機，明確分類標準非常重要。

五 分類討論的標準

要有明確的分類標準：對討論對象分類時要不重復、不遺漏，即分成若干類，其并集為全集，兩兩的交集為空集；當討論的對象不止一種時，應分層次進行，以避免混亂，分大類時有一個統一的標準，每一大類中再分幾小類可另有統一的標準。

例3，（2010年全國I）已知f（x）=3ax4-2（3a+1）

x2+4x。（1）當a= 時，求f（x）的極值；（2）若f（x）在

（-1，1）是增函數，求a的取值范圍。

解：（1）略。

（2）易知f'（x）=4（x-1）（3ax2+3ax-1），在（-1，1）上f（x）是增函數，當且僅當f'（x）≥0，∵x<1，∴x-1<0，那么就有3ax2+3ax-1≤0恒成立。

思路：這是一個一元二次不等式嗎？不一定。

（1）當a=0時，有-1≤0成立；

（2）當a>0時，要滿足條件則需3a·12+3a·1-1≤0，

解得a≤ 。所以，00的前提下，是且的

關系，最后取兩者的交集）。

（3）當a<0時，則導函數圖像與x軸最多有一個交點

△=（3a）2-4·3a·（-1）≤0，解得 ≤a≤0，所以有

≤a<0。

綜上，a的取值范圍為 。

（三種情況都滿足條件，是或的關系，所以為三個結果的并集）

總結：本題容易忽視分類討論或討論不到位是出錯的關鍵，對于分類結果的表示不周全，以下是分類討論結果的表述：求某個未知量，如果對這個未知量進行分類討論，那么各類的解集取并集；求某個參變量，如果對這個參變量進行分類討論，那么各類的解集取并集；求未知量，若對參變量進行分類討論，由于每類情況的前提條件不同，那么各類的結果應分類表述，所求未知量要同時滿足各種前提，則應對各種分類討論的結果求交集。

六 教學啟示

分類思想是自然科學乃至社會科學研究的基本邏輯方法，它貫穿于各類知識之中，在教學的各個階段都起著重要的作用。分類的過程，可培養學生思考的周密性與條理性，而分類討論，又有助于提高學生研究問題，探索規律的能力。分類思想不同于一般數學知識，通過幾節課就可掌握，有很多是依賴經驗和解題的習慣。因此教師在備課時應有意識地結合具體教學內容，滲透分類思想，養成分類的意識，把分類思想方法融入到具體教學過程中；在解題教學中讓學生進一步學習分類方法，增強思維的縝密性，提高合理解題的能力。教學中應掌握化隱為顯、循序漸進、學生參與的原則，并且反復滲透、適時突破。如前面例子中對a進行分類，可采用提示語引導學生：為什么這樣分類？分類后有什么優勢？分類的標準是什么？

學生的主體地位即是讓學生成為學習的主體，教師在整個教學過程中只是發揮引導和點播作用。在教學過程中，教師可以通過分類討論來充分發揮學生在學習過程中的主體地位；老師對分類思想進行講解以后，可以引導學生自己來對已經學過的知識進行分類探討，特別是針對學生容易出錯的知識點，讓學生通過討論來對這個知識點有更加清晰的認識，對出現的錯誤進行總結，將知識點的欠缺歸納到每一個知識類別上，這樣有助于學生自身知識體系的完善，在平時的教學中要有意識地引導學生感悟和體驗分類在解決類似問題中的積極作用。但要注意的是，在運用時，不要盲目或機械地進行分類討論，有的題目雖然含有分類因素，但不要急于分類討論，要首先對問題做深入研究，充分挖掘題目的已知量與未知量之間的關系，再尋求討論，使問題更簡單。

參考文獻

[1]曹賢鳴、阮孟國.分類討論及其應用[J].中學數學教學參考，2002（8）

[2]錢珮玲編.中學數學思想方法[M].北京：北京師范大學出版社，2008