由一道錯題引發的思考

有這樣一道題，在很多教學資料上出現過，如下：如圖1所示，豎直環A半徑為R固定在木板上，B的左右兩側各有一擋板固定在地面上，B不能左右運動，在環的最低點靜放一小球C，A，B，C的質量均為m的一水平向右的瞬間速度v，小球會在環內側做圓周運動，為保證小球能通過環的最高點，且不會使環在豎直方向跳起（不計小球和環的摩擦力），瞬時速度必須滿足（ ）。

A.最小值 B.最大值

C.最小值 D.最大值

本題給予的答案是D。

解析：若小球在最高點處給予環A的彈力不大于2mg，

即 =FN+mg≤3mg， ，由這兩式得

出v≤ 。

似乎很合情理，在最高點處，對環在豎直方向作用效果最大，不少學生也接受了這一觀點，甚至有教學工作者也這樣認為。難道這最大豎直作用效果一定在最高點嗎？不妨看一下這道題：質量M人，用手拿住一細繩，繩的另一端系一小球，質量為m，使小球在豎直面內恰好做完整圓周運動（忽略空氣阻力，人及手可以認為是靜止的）。以下說法正確的是（ ）。

A.人對地面最小壓力為Mg；

B.人對地面最小壓力小于Mg；

C.人對地面最大壓力為Mg；

D.人對地面最大壓力為Mg+mg。

本題給予的答案是B。

解析：小球從圓的等高點處到最高點過程中，對細繩為拉力作用，即有向上分力效果，人有被提起的趨勢，對地壓力應小于Mg，在檢測時，很多人不假思索地就選擇了A項，原因很簡單，最高點豎直效果最大且完全失重繩的拉力為零。人對地壓力最小為Mg，在豎直而圓周運動中，豎直向上作用效果最大應在哪里？以上兩題做法是矛盾的，那么應該如何分析呢？

還是從一般情況入手，如圖2所示，小球在光滑豎直圓環中作圓周運動，在圓心上方某位置D處，OD與水平半徑夾角為θ，小球在最低點C處瞬時速度為v0，設D處速度為v，那么在D處小球受圓環對其作用力為FN。

由機械能守恒定律可知： 。

在D處由力與運動的關系可得： 。

解以上兩式得： 。

由牛頓第三定律得：小球對圓環的作用力大小 ，豎直作用效果 ，即：

設X=3mg， ，則Fy=-Xsin2θ+Ysinθ。

從此式看出Fy與θ有關，即與在圓周的位置有關，其

極值：Fy=-Xsin2θ+Ysinθ=-X[sin2θ- sinθ+ ]

+ =-X（sinθ- ）2+ 。

上式中（sinθ- ）2越大，Fy就越大。對于給定的初

始條件， 是一定值，又 可能大于1或可能小于等于1，

（sinθ- ）2不一定為零，最大值需要討論，則當

時，sinθ- ，即 時，Fy有最大值為 ，則此

時θ<90°，即小球未到最高點時，對環豎直向上作用效果最大，且隨著 的增大，θ在改變，讓我們分析一下θ變化范圍： 最小時，小球恰能做完整圓周運動。在最高點時，

，則 時，sinθ

，即在θ=30°處小球對圓環作用的豎直效果

最大，也在此時系統對地面壓力最小，而不是小球運動到最

高點時。若v0增大， 也在增大，θ在增大，即從θ=30°

處逐漸增至最高點θ=90°處，當 ≥1時，sinθ不可能取

值大于1，所以sinθ取值越大，Fy就越大，在sinθ=1時，Fy

最大，則在v0≥ 時，小球對環的豎直向上的效果最大位置 處，即在最高點不變。

對照以上，回頭看看開始的那道題，由于本題選項中 ，說明對圓環豎直向上最大作用效果不在最高點，

由以上推導可知：Fy的最大值為 ≤2mg就

不會使系統跳起，解得：v0≤ ，若 ，

在小球到達最高點之前小球系統已經跳起。

通過以上，這道題答案設置與正確答案相差無幾，卻給人帶來了許多錯誤的理解，希望教學者能嚴格對待教學內容；編題者不要出一些投機、錯解的考題，多出一些高效檢測學生能力的試題。

〔責任編輯：高照〕