剖析直線與圓錐曲線位置關(guān)系的典型誤區(qū)

直線和圓錐曲線主要有相交、相離、相切三種位置關(guān)系，由于拋物線、橢圓、雙曲線這三種拋物線與直線的位置關(guān)系都有其不同的特殊性，而學(xué)生在解題過程中有時(shí)會(huì)欠缺對不同情況下圓錐曲線與直線關(guān)系問題的全面考量，所以往往會(huì)走進(jìn)一些思維的誤區(qū)，而比較典型的思維誤區(qū)主要有以下三種。

一、審題不夠細(xì)致，忽略了題中給出的隱含條件

例1.已知直線l：y=kx+1與橢圓P：■+■=1始終有交點(diǎn)，試求m的取值范圍。

這是一種比較常見的直線與圓錐曲線問題在填空題或者選擇題中的考查方式，解答類似題型時(shí)學(xué)生往往會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤思路：忽略了題述中P是橢圓這一基本條件，即有m>0且m≠4，則應(yīng)該舍棄其他情況，最終的正解應(yīng)該是m≥1且m≠4。產(chǎn)生這種錯(cuò)誤思維的原因在于沒有注意對細(xì)節(jié)問題的處理，在分析問題的時(shí)候，并沒有認(rèn)真審題。而將題中所述的條件轉(zhuǎn)化為草圖比較利于分析，且此題正好由于直線l恒過點(diǎn)（0，1），用圖象法解答會(huì)更加簡便，而且可以避免上述的錯(cuò)誤思維。

二、缺乏對直線和圓錐曲線的特殊位置關(guān)系的討論

1.忽視了直線和雙曲線的位置關(guān)系

例2.已知雙曲線方程為x2-y2=1，而過點(diǎn)P（1，2）的直線l與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線l的方程。

學(xué)生在解答這類問題時(shí)比較典型的錯(cuò)誤如下所示：忽略了當(dāng)k不存在時(shí)直線l為x=1的情況，以及當(dāng)（k2-1）=0時(shí)，l與雙曲線平行的這一特殊位置關(guān)系，由于考慮問題不夠周全，而導(dǎo)致了錯(cuò)誤解法。而正確的討論方式應(yīng)該是，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，即直線l為x=1時(shí)也是滿足題述條件的；而當(dāng)k2=1時(shí)，直線l與雙曲線的漸近線平行的情況下，y=x+1或y=3-x也是滿足題述條件的正解，而在上述的錯(cuò)誤方法中所得的在k=2時(shí)的直線l軌跡方程y=2x也是一個(gè)正解。所以我們在討論這類問題的時(shí)候，應(yīng)當(dāng)先作出相應(yīng)的草圖，對不同直線與圓錐曲線可能的位置關(guān)系作出一定的判斷，弄清楚自己的解題思路，最后進(jìn)行規(guī)范的解答。

2.忽略了直線和拋物線的特殊位置關(guān)系

例3.過點(diǎn)A（0，4）的直線l和拋物線y2=8x有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求直線l的方程。

比較普遍的錯(cuò)解如下：設(shè)直線l的方程為y=kx+4，并與拋物線方程y2=8x聯(lián)立，得出k2x2+（8k-8）x+16=0，而由于直線l與圓錐曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，即Δ=（8k-8）2-64k2=0，即k=1/2，則直線l的方程為y=x/2+4。

與上述例2的錯(cuò)誤解法類似，例3中的錯(cuò)解不僅忽略了當(dāng)直線l斜率不存在的情況，同時(shí)也沒有考慮k=0時(shí)直線l平行于拋物線對稱軸這一特殊情況。而正確的解法應(yīng)該是，首先討論斜率不存在時(shí)，直線x=0也滿足題述直線l所應(yīng)滿足的要求；而k存在且當(dāng)k2=0時(shí)，直線y=4平行于拋物線y2=8x的對成軸，也是直線l的一個(gè)正解；而在l存在的前提下，k=1/2時(shí)，y=x/2+4也是符合直線l要求的正解。所以，在例3中，直線l有三種情況，而在解答類似的直線與圓錐曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)的問題中，要特別注意對不同特殊情況的討論。

三、忽略了直線與圓錐曲線相交的前提條件

例4.已知雙曲線P的軌跡方程為2x2-y2=2，問是否存在過點(diǎn)B（1，1）的直線l，其與雙曲線P交于A、C兩點(diǎn)，且B正好是弦AC的中點(diǎn)，如果存在這樣的直線l，則求出直線l的軌跡方程；如不存在，請說明理由。

比較常規(guī)的錯(cuò)誤解答方式如下：設(shè)A（a，b），B（c，d），則a≠c，b≠d，而由于B點(diǎn)是弦AC的中點(diǎn)，則有a+c=2，b+d=2；而又有A，C兩點(diǎn)存在于雙曲線P上，則有2a2-b2=2，2c2-d2=2；利用點(diǎn)差法，上述兩式相減可得，b-d=2（a-c），則可以得出直線l的斜率為2，直線l的軌跡方程為y=2（x-1）+1，即可得直線l存在且其軌跡方程為y=2x-1。

這種錯(cuò)誤的解答方式的思維誤區(qū)在于，沒有對所得直線l軌跡方程y=2x-1進(jìn)行實(shí)際的驗(yàn)證，而如果我們將所得直線l的軌跡方程y=2x-1帶入雙曲線2x2-y2=2的方程中，得出方程2x2-4x+3=0，而此方程的Δ=16-24=-8<0，則代表著此方程沒有實(shí)數(shù)根，在幾何上的意義就是直線l與雙曲線2x2-y2=2并無交點(diǎn)，則與題述對直線l的要求不符，則得出的結(jié)論應(yīng)該是滿足題述條件的直線l是不存在的。值得注意的是，我們在利用點(diǎn)差法解答類似問題的時(shí)候，是無法保證直線實(shí)際能與圓錐曲線相交的，那么，對于直線是否符合圓錐曲線方程的驗(yàn)證過程是一個(gè)必不可少的環(huán)節(jié)，不論題述是否是討論其存在性，都應(yīng)該有一個(gè)良好的習(xí)慣，把直線方程帶入圓錐曲線方程去驗(yàn)證直線的存在性，這樣才能降低解答類似問題時(shí)的錯(cuò)誤率，從而規(guī)范地進(jìn)行正確解答。

上述三點(diǎn)包含了學(xué)生在解答直線和圓錐曲線問題時(shí)幾個(gè)常見的思維誤區(qū)，而直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題一直是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要考點(diǎn)，同樣也是重要的得分點(diǎn)。對于直線與圓錐曲線位置關(guān)系的考查無外乎是對以上幾點(diǎn)學(xué)生常犯錯(cuò)誤的考點(diǎn)的熟練度進(jìn)行測試，而只要對類似題型進(jìn)行反復(fù)的訓(xùn)練，對學(xué)生的錯(cuò)誤思路歸納并總結(jié)，相信學(xué)生能熟練地解答直線與圓錐曲線位置關(guān)系方面的題型。

參考文獻(xiàn)：

張光華.關(guān)于直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判定[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，1998（8）.

？誗編輯 趙飛飛