簡論數學中的類比及其應用

類比是數學中一般的科學方法，是邏輯思維的形式之一.它是在兩種不同事物之間進行對比，找出若干相同點或相似點之后，推測在其他方面也可能存在相同或相似之處的一種思維方式，它的特點是由已知屬性，推測未知屬性、結論超出了前提所包含的范圍，是猜測性的，不一定可靠，但它更具有發現的功能，是創造性思維中不可缺少的一部分.哈肯對“類比”作過高度概括：“類比的好處是顯而易見的，人們一旦在一個領域里解決了問題，它的結果就可以推廣到另一個領域，一個系統可以作為另一個系統的模擬計算機.”

由于類比的結論是不一定可靠的，因此要提高類比所得出結論的可靠程度，所依據的系統間的相似屬性的數目要盡量多些.不但要注意屬性表面形式上的相似性，而且要注意它們在功能上的相似性，以及在各自系統里所處地位的相似性.

在中學數學教學中，教會學生運用數學類比的方法，拓展學生獲取新知識的方法和途徑，培養學生的創造性思維能力，提高學生的數學素養，為學生的終身學習打下堅實的基礎.

一、類比的模式

甲系統具有要素：a、b、c、d，且a、b、c、d之間有關系R；

乙系統具有要素：a′、b′、c′.

結論：乙系統可能有要素d′，且a′、b′、c′、d′之間有關系R′.

可見，類比就是把甲系統中的討論的問題向乙系統中移植.

二、類比的步驟

首先通過觀察兩類對象之間可以確切表述的相似性，然后用一類對象的性質推測另一類對象的性質，從而得出一個猜想，最后檢驗這個猜想.

學生在掌握基礎知識和基本技能的基礎上，教會學生運用類比的方法，展開豐富聯想，使知識點產生遷移，生成新的觀點，使原有知識結構得到補充、改造和完善，從而構建起新的認識結構.因此，通過類比可以開闊學生的知識領域，發展思維的創造性，實現認識上的創新與升華.

三、應用舉例

例1：用平面三角形的性質推測空間四面體的性質.

首先，發現二者的相似性：（1）平面三角形平面上最簡單的直邊封閉圖形，任意多邊形都可以分解為若干個三角形；四面體是空間中最簡單的直邊封閉圖形，任意四面體都可以分解為若干個四面體.（2）平面三角形是線段外一點與該線段的任意兩點的連線構成；空間四面體是由平面上三角形外一點與該三角形三邊上的點的連線構成.

然后，用平面三角形的性質推測空間四面體的性質：

例2：用對數函數的性質推測指數函數的性質.

首先，找二者的相似性：（1）對數函數與指數函數互為反函數，它們的定義域、值域互換，圖像關于直線y=x對稱.（2）它們都是單調函數，都不具有奇偶性.當a>1時，它們是增函數；當0

然后，用指數函數的性質推測對數函數的性質：

當然，類比在數學中的應用還有許多，比如用橢圓的性質類比地討論雙曲線的性質.康德在《宇宙發現概論》中曾說：“每當理智缺乏可靠論證的思想時，類比這個方法往往能夠指引我們前進.”類比的結論不一定可靠，但可以促使人們思考，誘發出需要探討的問題.