幫助新生鞏固數(shù)學(xué)概念的幾點(diǎn)體會

在建立社會主義市場經(jīng)濟(jì)體制的過程中，教育作為一種產(chǎn)業(yè)在刺激需求、拉動內(nèi)需方面起到了一定的作用.同時(shí)人們的教育觀念和招生制度也發(fā)生了巨大變化.高校的擴(kuò)招，帶著普高熱一年勝似一年，使得招來的學(xué)生與現(xiàn)行教學(xué)大綱對生源的要求有一定的差距.多數(shù)學(xué)生覺得，數(shù)學(xué)太抽象，邏輯思維強(qiáng)，難學(xué)；一些數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較差的學(xué)生，感到數(shù)學(xué)枯燥無味，缺乏興趣；有些學(xué)生因?yàn)閷W(xué)習(xí)上的困難或考試成績不理想，對數(shù)學(xué)產(chǎn)生恐懼心理，感到壓力大和苦惱；更有些學(xué)生自己不想學(xué)，而家長花錢逼著他來學(xué)，對學(xué)習(xí)有著極強(qiáng)的對立情緒.面對這種情況，學(xué)校和教師應(yīng)在為學(xué)生提供良好學(xué)習(xí)環(huán)境的同時(shí)，充分體現(xiàn)學(xué)校教育在素質(zhì)教育中的主導(dǎo)地位，發(fā)揮數(shù)學(xué)教學(xué)在素質(zhì)教育中的基礎(chǔ)作用，認(rèn)真熱情地做好他們的思想轉(zhuǎn)化工作，幫助他們樹立學(xué)習(xí)信心，從鞏固已學(xué)的數(shù)學(xué)概念入手，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.

概念，是對事物共同本質(zhì)屬性的描述.現(xiàn)代心理學(xué)告訴我們，概念不僅是思維的基本形式，而且是構(gòu)成知識的基本成分.隨著信息化時(shí)代的到來，概念在整個(gè)知識中所占的比重越來越大，并且構(gòu)成了學(xué)生學(xué)習(xí)的中心內(nèi)容.因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中如何使學(xué)生學(xué)好和熟練應(yīng)用概念，便成為數(shù)學(xué)教學(xué)的最重要的目標(biāo)之一.從近年來的教學(xué)實(shí)踐中我們看到，由于基礎(chǔ)的原因，新生普遍對入校前學(xué)過的數(shù)學(xué)概念，在理解上是初步的、膚淺的，有些是模糊的、錯(cuò)誤的；在運(yùn)用上是機(jī)械的、粗糙的，甚至是生搬硬套的.這直接影響對數(shù)學(xué)的進(jìn)一步學(xué)習(xí)，必須通過抓數(shù)學(xué)概念的鞏固和提高，使他們認(rèn)識概念的來源和意義，了解概念的內(nèi)涵與外延，掌握其性質(zhì)及相互關(guān)系，逐步提高其運(yùn)用概念分析問題和解決問題的能力，養(yǎng)成正確的邏輯思維習(xí)慣，才能夯實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ).

一、充分提示概念的內(nèi)涵，在深挖屬性中鞏固概念

一般來說，概念的定義引入后，并不表示概念被完全掌握了.因?yàn)槎x只揭示了概念最本質(zhì)的屬性，而概念本身的內(nèi)涵除此之外還有很多.例如，“無窮小”的概念不僅反映了“極限為零的變量”這個(gè)本質(zhì)的屬性，還反映了“無窮小是相對于自變量的某個(gè)變化過程而言，變化過程有7種之多”；“常數(shù)0是無窮小”；“但除0外任何絕對值很小的常數(shù)都不是無窮小”；“有限個(gè)無窮小的代數(shù)和是無窮小”；“無窮小與有界量的積是無窮小”，還有無窮小與無窮大的倒數(shù)關(guān)系等一系列其他屬性.又如，“等價(jià)無窮小”的定義是：“設(shè)α、β為自變量同一變化中的無窮小，且lim■為同一變化過程中的極限，若lim■=1，則稱α、β為等價(jià)無窮小.”僅僅知道這個(gè)定義是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，它包含了一系列的其他屬性，如：“β與α是等價(jià)無窮小的充分必要條件為β=α+0（α）”及等價(jià)無窮小代換定理，即“若α～α′、β～β′，且lim■存在，則lim■=lim■”，只有充分理解這些概念，才能真正掌握等價(jià)無窮小的概念，也才能在求極限的過程中，正確使用這些概念正確地簡化極限計(jì)算.從以上兩例可以看出，雖然這些屬性都是由定義完全確定的，但學(xué)生對這些屬性了解得越多，對相關(guān)知識的概念就越鞏固、完整，就更能自如地加以應(yīng)用.所以在引進(jìn)概念后，除了引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識概念的定義外，還要盡可能地挖掘概念的其他屬性，有助于鞏固和加深對概念的理解.

二、不斷豐富概念的外延，在開闊眼界中鞏固概念

概念的外延是指適合于那個(gè)概念的一切對象的范圍.再拿“無窮小”的概念來說，其外延包括一般單個(gè)變量的無窮小，也包括兩個(gè)無窮小階的比較，這其中又包括高階無窮小、同階無窮小（包括等價(jià)無窮小），低階無窮小及k階無窮小.又如三角函數(shù)的外延包括正弦、余弦函數(shù)；正切、余切函數(shù)；正割、余割函數(shù)等.多舉改變非本質(zhì)屬性保持本質(zhì)屬性的概念的變式，使事物的本質(zhì)屬性全面顯露出來，方能達(dá)到全面理解和鞏固概念的目的.

三、弄清內(nèi)涵與外延的關(guān)系，在提高思維層次中鞏固概念

一個(gè)概念當(dāng)它的內(nèi)涵擴(kuò)大時(shí)，它的外延就縮小；當(dāng)它的內(nèi)涵縮小時(shí)，它的外延就擴(kuò)大.例如，等腰直角三角形的內(nèi)涵有：（1）它是一個(gè)三角形；（2）有一個(gè)角是直角；（3）夾直角的兩邊相等.如果它的內(nèi)涵去掉一個(gè)“夾直角的兩邊相等”，那么它的外延就擴(kuò)大了，把一般的直角三角形包括進(jìn)來了；如果它的內(nèi)涵再去掉“有一個(gè)角是直角”，那么它的外延就把一般的三角形也包括進(jìn)來了.弄清概念的內(nèi)涵與外延的關(guān)系，不僅對鞏固概念，而且對培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力十分有益.

四、注意形成概念體系，在分類整理中鞏固概念

把某一知識領(lǐng)域的概念聯(lián)系到一起，形成一個(gè)互相關(guān)聯(lián)的系統(tǒng)化整體，這種系統(tǒng)化的整體，就是概念體系.例如實(shí)數(shù)包括有理數(shù)和無理數(shù)，有理數(shù)包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)，整數(shù)又包括自然數(shù)與負(fù)整數(shù)等，它們構(gòu)成了實(shí)數(shù)的概念體系.又如對三角形按角分類、按邊分類等，這種按不同性質(zhì)進(jìn)行分類整理，可使學(xué)生在縱橫兩個(gè)方面都能比較清楚地了解概念所處的位置.另外，對有些概念，有靜止的觀點(diǎn)看是不相同的，用變化的觀點(diǎn)看，又可以聯(lián)系起來.如極限知識中，函數(shù)極限的概念、導(dǎo)數(shù)的概念及定積分的概念它們是不相同的幾個(gè)重要的知識點(diǎn)，但如果從以下表達(dá)式中看：■f（x）、■■、■■ f（ξ■）Δx■，它們都表示某種函數(shù)的極限，只是函數(shù)的表達(dá)式不同而已.所以，概念體系是知識的系統(tǒng)化，每一門知識都有它的連貫性與系統(tǒng)性，只有形成一定的概念體系，才能深刻而廣泛地理解并正確地運(yùn)用概念.

五、強(qiáng)化概念應(yīng)用過程，在發(fā)現(xiàn)和糾正錯(cuò)誤中鞏固概念

引入概念、鞏固概念、應(yīng)用概念是數(shù)學(xué)教學(xué)的中心環(huán)節(jié)，及時(shí)發(fā)現(xiàn)并糾正學(xué)生在學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的概念方面的各種錯(cuò)誤，對學(xué)好數(shù)學(xué)顯得尤為重要.認(rèn)知過程的規(guī)律告訴我們，隨著學(xué)習(xí)的深入，新概念的引入，學(xué)生對已鞏固的概念往往又會出現(xiàn)模糊和混淆現(xiàn)象.如問學(xué)生“什么是反正弦函數(shù)時(shí)”，往往會回答“正弦函數(shù)的反函數(shù)”，而丟掉了“在區(qū)間[-■，■]上”這個(gè)關(guān)鍵屬性.此時(shí)可通過反函數(shù)的定義及反例說明概念中的遺漏的部分，啟發(fā)學(xué)生全面地思考和正確地回答問題.又如計(jì)算極限時(shí)，經(jīng)常會出現(xiàn)的錯(cuò)誤是：■■=±■，雖然前面在學(xué)習(xí)極限概念時(shí)已經(jīng)知道，數(shù)列極限如果存在一定是唯一的，但在具體解題時(shí)就出現(xiàn)了這種情況.對于這種情況，一方面要從基礎(chǔ)概念出發(fā)，講清極限的概念，另一方面可以從圖形上說明，數(shù)列的極限內(nèi)涵是當(dāng)項(xiàng)數(shù)無限增大時(shí)，通項(xiàng)與某一確定的常數(shù)無限接近的實(shí)質(zhì).再如在求函數(shù)f（x）=■的定義域時(shí)，學(xué)生的答案往往是（5，+∞），而忽視了當(dāng)x=-1時(shí)，被開方數(shù)為0，函數(shù)也是有意義的.所以正確的答案是：{0}∪（5，+∞）.另外，在概念使用上，學(xué)生易犯循環(huán)論證的錯(cuò)誤，例如求不定式極限■■時(shí)，用洛必達(dá)法則求，寫道：■■=■■■=■■■=■■■=■.實(shí)際上，在求sinx的導(dǎo)數(shù)時(shí)，就是通過■■=1而得到導(dǎo)數(shù)公式（sinx）′=cosx的，所以上面求極限的過程是循環(huán)的.引起這類錯(cuò)誤的原因很多，重要的一條是對概念的來龍去脈缺少深刻理解.凡此種種概念上出現(xiàn)的錯(cuò)誤，我們都不能簡單地一改了之，而要善于及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生探討出現(xiàn)錯(cuò)誤的根源和原因，并借此對學(xué)生進(jìn)行邏輯思維的訓(xùn)練，使學(xué)生在鞏固概念的過程中，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度，從而加深對概念重要性的認(rèn)識.

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