方差分析與Wruskal—Wallis檢驗(yàn)的功效比較

摘 要：本文研究了在違背總體正態(tài)性假定時(shí)，通過(guò)研究檢驗(yàn)功效的均值來(lái)方差分析與Kruskal-Wallis檢驗(yàn)的優(yōu)劣。文中引入了置換方法，并基于蒙特卡羅模擬的研究?jī)煞N檢驗(yàn)的功效。結(jié)果表明，在總體分布不對(duì)稱(chēng)的情況下，非參數(shù)的Kruskal-Wallis檢驗(yàn)優(yōu)于參數(shù)的方差分析方法。

關(guān)鍵詞：?jiǎn)我蛩胤讲罘治觯恢群蜋z驗(yàn)；置換檢驗(yàn)；檢驗(yàn)功效

一、引言

統(tǒng)計(jì)學(xué)中總體，樣本，分布，估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)等都是最基本的概念。這里總體的分布都是事先給定的，我們的大部分工作是對(duì)未知參數(shù)作估計(jì)以及對(duì)參數(shù)各種檢驗(yàn)。而在實(shí)踐案例中，總體的分布類(lèi)型并不能隨便地假設(shè)。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可能不來(lái)自正態(tài)分布總體，而且可能是異方差的，也可能存在異常值，這種情況下使用傳統(tǒng)的參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法可能會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤。所以我們就希望在不假定總體分布的前提下，從樣本數(shù)據(jù)本身入手獲取我們的信息。這就是非參數(shù)統(tǒng)計(jì)的思想。

Wilcox（1995）和Glass et al.（1972）曾經(jīng)做過(guò)關(guān)于違背正態(tài)假定情況下的方差分析研究。Wilcox發(fā)現(xiàn)總體的非正態(tài)性對(duì)第一類(lèi)犯錯(cuò)率有影響，但當(dāng)方差相等時(shí)，其影響很小，而對(duì)于第二類(lèi)犯錯(cuò)率非正態(tài)性的影響相對(duì)顯著。Glass et al.則更多地從總體的偏度出發(fā)，在方差相等時(shí)得出了和Wilcox相同的結(jié)論。Blair et al.（1980）做了一個(gè)關(guān)于T檢驗(yàn)和Wilcoxon秩和檢驗(yàn)的檢驗(yàn)功效分析，研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)參數(shù)過(guò)程的假定滿足時(shí)，參數(shù)檢驗(yàn)法比非參數(shù)檢驗(yàn)法更好。那么當(dāng)這些假定都不滿足時(shí)，如Likert尺度數(shù)據(jù)，當(dāng)我們用傳統(tǒng)的參數(shù)分析法時(shí)這些數(shù)據(jù)往往違背了正態(tài)性和方差齊性的假定。Nanna和Sawilowsky證明對(duì)這種數(shù)據(jù)，Wilcoxon秩和檢驗(yàn)比參數(shù)的T檢驗(yàn)更具優(yōu)勢(shì)。Wilcoxon秩和檢驗(yàn)法大、小樣本都有優(yōu)勢(shì)，且這種優(yōu)勢(shì)隨著樣本量的增大而增加。我們的研究目的是能否就傳統(tǒng)的參數(shù)方差分析法和Kruskal-Wallis檢驗(yàn)法得到類(lèi)似于Nanna和Sawilowsky的結(jié)論。

二、方差分析和Kruskal-Wallis檢驗(yàn)

1.假定條件

方差分析的F檢驗(yàn)被用來(lái)檢驗(yàn)k個(gè)總體的均值是否相等，可設(shè)原假設(shè)為：

然而，在實(shí)際應(yīng)用中F檢驗(yàn)的正態(tài)性和方差齊性假定常常被忽略和違背，當(dāng)數(shù)據(jù)不滿足正態(tài)分布的假定時(shí)，單因子方差分析估計(jì)出的p值也許也是不準(zhǔn)確的。Kruskal-Wallis檢驗(yàn)是一種類(lèi)似于單因子方差分析的非參數(shù)檢驗(yàn)方法，它不需要正態(tài)性的假定。像大多數(shù)非參數(shù)的檢驗(yàn)方法一樣，它是基于觀測(cè)值的秩研究的，另外還假定每組觀測(cè)值都來(lái)自相同的分布。因?yàn)楫?dāng)分布的形狀不同時(shí)Kruskal-Wallis方法的檢驗(yàn)結(jié)果可能是不準(zhǔn)確的（參閱2009年Fagerland和Sandvik的研究）。替代原假設(shè)（1），Kruskal-Wallis檢驗(yàn)的原假設(shè)是樣本來(lái)自相同的總體。

2.Kruskal-Wallis檢驗(yàn)的原理

Kruskal-Wallis方法是用樣本的秩替代原始觀測(cè)值研究的，用1代表最小值，用2代表第二小值，依次類(lèi)推，對(duì)相同的觀測(cè)值取秩的平均。相應(yīng)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量H為：

三、置換檢驗(yàn)均值的功效

1.置換檢驗(yàn)

置換檢驗(yàn)又稱(chēng)為隨機(jī)化檢驗(yàn)，是由經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)創(chuàng)始人R.A.Fisher首次提出的，由于當(dāng)時(shí)計(jì)算機(jī)技術(shù)的限制Fisher晚年時(shí)放緩了對(duì)置換檢驗(yàn)的研究。隨機(jī)化檢驗(yàn)是將數(shù)據(jù)重新隨機(jī)的分配以便基于排列后的數(shù)據(jù)計(jì)算出確切的p值。假設(shè)我們有三組數(shù)據(jù)，每組有20個(gè)觀測(cè)值，那么就有種排列方法重新分配這三個(gè)小組。在實(shí)踐中這一龐大的工程是不可能實(shí)現(xiàn)的，于是我們采用蒙特卡羅抽樣的方法，即通過(guò)置換后的隨機(jī)樣本來(lái)估計(jì)所有可能的樣本結(jié)果。

多重置換檢驗(yàn)的步驟如下：

2.方差檢驗(yàn)和Kruskal-Wallis檢驗(yàn)的功效比較

這里的檢驗(yàn)效度是通過(guò)R程序指定分布的參數(shù)以產(chǎn)生需要的隨機(jī)數(shù)，并通過(guò)蒙特卡羅模擬的方法來(lái)估計(jì)。如果參數(shù)在不同的均值情況下設(shè)定，那么可以得到經(jīng)驗(yàn)的檢驗(yàn)效度。通過(guò)這些結(jié)果，就可以分析方差檢驗(yàn)和Kruskal-Wallis檢驗(yàn)的檢驗(yàn)功效，進(jìn)而觀察在違背假定的情況下哪種方法更好。

四、檢驗(yàn)實(shí)例

選取三種不同大小的樣本，在正態(tài)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)發(fā)布、卡方分布下做模擬。設(shè)原假設(shè)為：

通過(guò)表1，可以看到在對(duì)稱(chēng)分布中（正態(tài)分布б=1）Kruskal-Wallis檢驗(yàn)的檢驗(yàn)功效和相同情況下的參數(shù)檢驗(yàn)的結(jié)果相差不大。

通過(guò)表2、表3，可以看到在非對(duì)稱(chēng)分布中（對(duì)數(shù)正態(tài)分布б=1，或者自由度為3的卡方分布）非參數(shù)的Kruskal-Wallis檢驗(yàn)的檢驗(yàn)功效有著更好的檢驗(yàn)性能，且n越大檢驗(yàn)效度越高。所有圖形都基于函數(shù)d來(lái)呈現(xiàn)。

五、結(jié)論

經(jīng)模擬檢驗(yàn)可以看到，在數(shù)據(jù)類(lèi)型分布非對(duì)稱(chēng)時(shí)，非參數(shù)的Kruskal-Wallis檢驗(yàn)比傳統(tǒng)的單因子方差分析有更高的檢驗(yàn)功效?，F(xiàn)實(shí)例子中我們大多遇見(jiàn)的數(shù)據(jù)都是非齊性的，且分布的類(lèi)型也沒(méi)法確定，數(shù)據(jù)中也可能會(huì)出現(xiàn)比該組中大部分?jǐn)?shù)據(jù)都要小很多或大的極端值，在這些情況下采用非參數(shù)的Kruskal-Wallis法效果會(huì)更優(yōu)。模擬結(jié)果同時(shí)顯示：在做檢驗(yàn)之前，數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)分析是必要的。盡管文獻(xiàn)和教科書(shū)說(shuō)，在違背假定的情況下，F(xiàn)檢驗(yàn)是穩(wěn)健的，但檢驗(yàn)結(jié)果告訴我們其檢驗(yàn)性能顯著降低了。

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