Libor市場模型及其CMS價差期權定價的文獻述評

摘要：隨著利率市場化進程的推進，利率衍生產品定價也越來越成為人們關注的問題。對現有利率模型缺陷進行修正，使其更貼近市場波動特征，是目前中國定價模型研究的重點。主要對國內外對于Libor市場模型及其CMS價差期權定價的現有研究進行文獻述評，在此基礎上，提出該研究領域的進一步研究方向。基于隨機波動率機制轉換的Libor市場模型將成為對Libor所服從隨機過程建模的重要方向，同時該模型也是對CMS價差期權定價的基礎。

關鍵詞：Libor市場模型；隨機波動率；跳躍擴散；機制轉換；CMS價差期權

中圖分類號：F830文獻標志碼：A文章編號：1673-291X（2014）16-0154-04

Libor作為國際金融市場上的一種重要基準利率，對其所服從的隨機過程建模準確與否也就成為以Libor為標的的衍生產品尤其是奇異衍生產品定價正確與否的前提。金融市場對Libor所服從的隨機過程大都采用流行的Libor市場模型（LMM），然而標準的LMM存在各種缺陷并不能有效反映波動率偏斜或者微笑等特征，這種缺陷對于奇異期權的定價顯得尤為重要。

因此，本文研究內容主要包括兩方面：第一，在標準的LMM基礎上，加入具有隨機波動率、跳躍、機制轉換等性質的波動率隨機過程對LMM進行擴展。第二，對CMS價差期權進行有效定價從而進一步擴展利率收益率曲線結構。

根據上述研究內容，本文將主要文獻按一下結構進行回顧：（1）Libor市場模型的國內外研究現狀；（2）CMS價差期權定價的國內外研究現狀。

一、Libor市場模型文獻綜述

標準的LMM最初由Brace，Gatarek和Musiela（1997），Jamshiaian（1997）以及Miltersen，Sandmann和Sondermann（1997）提出。該模型提出后，不但獲得了市場和學術界的一致認可，而且在現今早已成為了市場基準模型。

從本質上來說，LMM是著名HJM模型的離散化形式。LMM與HJM相對比，其主要的優勢在于該模型構建的是市場上可觀測的遠期利率，而不是數學意義上抽象的瞬時遠期利率。并且利率衍生產品的定價在LMM框架下變得更為容易，尤其是利率上限、利率下限、利率互換期權等的定價同仍然是市場上最常用的Black（1976）公式保持一致。

然而標準的LMM主要缺陷在于其并不能有效獲取可觀察到的市場波動率偏斜或者微笑特征。未包含波動率偏斜或者微笑特征的期權定價模型，在對于奇異期權的定價中可能會導致嚴重的定價錯誤問題。因此現有文獻提出各種對于LMM的擴展模型來試圖包含市場波動率偏斜或者微笑特征。

（一）國外Libor市場模型研究現狀

1.局部波動率對LMM的擴展

Andersen和Andreasen（2000）以標準的LMM為基礎，在擴散項中引入非線性的遠期利率來包含波動率偏斜特征，并討論以利率上限、利率互換期權報價為基礎的校準技術。他們以一般的CEV過程為例，推導出利率上限、利率互換期權定價的閉型解。

2.跳躍擴散對LMM的擴展

Eberlein和ouml;zkan（2005）提出基于Lévy過程的LMM（Lévy-LMM）并給出模型的無套利條件。除此之外，他們提出一種將一般指數過程代替隨機指數過程的方法，以及運用雙向的拉普拉斯變換來得出利率上限、利率下限的精確定價公式。

Eberlein和koval（2006）以交叉貨幣期權為研究對象，在Lévy-LMM的基礎上將其擴展到多幣種形式。除此之外，他們推導出交叉貨幣衍生產品的閉形定價公式，以及運用雙向的拉普拉斯變換來進行數值計算。

Belomestny和Schoenmakers（2011）提出一種高維跳躍空間下的跳躍擴散LMM，并采用考慮了局部協方差結構的非參數校準算法對模型進行校準。他們同時采用快速傅立葉方法對Libor衍生產品進行數值求解。

Eberlein和Grbac（2013）采用LMM對信用風險進行建模。他們將通常定義的無違約的遠期Libor擴展成信用評級下的可違約債券并構建了以評級為基礎的LMM。他們采用時間非齊次的Lévy過程為無違約和有違約前的Libor期限結構的隨機過程。

Leippold和Str#981;mberg（2014）提出一種新的時變Lévy-LMM以對利率上線和利率互換期權進行聯合定價。他們將時變分成三部分，第一部分能夠擬合波動率期限結構；第二部分能夠產生隨機波動率；第三部分包含了波動率偏斜。

3.隨機波動率模型

Joshi和Rebonato（2003）在DD-LMM模型的基礎上，假設在時間τ時，確定性的遠期利率瞬時波動率方程服從以下形式：σ（τ）=（a+bτ）e-cτ+d。并假設參數a、b、logc、logd相互獨立且均服從Ornstein-Uhlenbeck過程，即當e代表上述四個任一參數時具有以下形式de=λe（γe-e）dt+σedW（e）

t。

Piterbarg（2003）以互換期權為研究對象，在DD-LMM模型的基礎上引入了隨機波動率過程，從而形成了DD-SV-LMM具體形式如下：

dLn（t）=（βLn（t）+（1-β）Ln（0））σk（t；n）（μk（t；n）+

dWk（t））

dz（t）=θ（z0-z（t））dt+ηdV（t）

z（0）=z0

〈dV，dW〉=0

Andersen和Brotherton-Ratcliffe（2005）在LMM基礎上引入了具有均值回歸的性質的隨機波動率過程，并通過近似展開技術提出了利率上限、利率互換期權的閉形的定價公式。

Wu和Zhang（2006）在LMM的基礎上采用多重因子隨機波動率方式進行擴展。隨機波動率服從平方根擴散過程，并與遠期利率相關。除此之外，他們運用傅里葉變換得出互換期權的閉形解。

Belomestny，Mathew 和Schoenmakers（2009）提出一種具有高維平方根波動率過程的LMM擴展模型。作為關鍵問題，他們要求局部協方差結構也保持隨機的波動率，并運用快速傅立葉方法對模型進行數值求解。

Ladkau，Schoenmakers和Zhang（2013）提出一種具有替代擴散的多維隨機波動率LMM（DD-SV-LMM），其各自的遠期Libor由平方根隨機波動率過程驅動。同時，他們提出一種新的仿射近似方法并運用傅立葉變換方法對利率上限和利率互換期權進行定價。

4.馬爾科夫機制轉換模型

Elliott和Valchev（2004）提出一種機制轉換隨機波動率擴展的LMM。該模型中，瞬時遠期Libor波動率服從連續時間其次馬爾科夫鏈，同時波動率參數服從機制轉換性質的平方根過程。他們以該模型為基礎求解出利率上限的解析解，并且運用近似方法求解出利率互換期權的解析式。

Rebonato和Kainth（2004）在Joshi和Rebonato（2003）隨機波動率模型的基礎上引入了兩機制隨機波動率，克服了單一隨機波動率模型的缺陷，更好的解釋了隱含波動率。

Steinrücke，Zagst和Swishchuk（2013）在LMM的基礎上通過對擴散項的擴展引入了具有馬爾科夫機制轉換性質的跳躍擴散（MSJD）項。除此之外，他們證明了其無套利條件，以及運用傅里葉定價技術衍生出了利率上限、利率下限、利率互換期權的定價公式。

（二）國內Libor市場模型研究現狀

劉魁（2006）研究LMM對可贖回區間累積型產品的定價方法。通過布朗橋占用時間的分布，給出了計算Libor落在區間內天數的簡便方法，極大地提高了計算的效率，并且得到了與市場報價相一致的計算結果。

劉暢（2008）以國內發行的兩種遠期利率衍生產品為例，對標準LMM進行系統討論，并對模型的相關參數進行校準。作者運用蒙特卡羅模擬模擬方法中的歐拉方法和改進的歐拉方法對模型進行數值求解。

蔣承，郭黃斌和崔小勇（2010）以利率上限為研究對象，在標準LMM參數的校準基礎上，得到遠期利率的瞬時波動率，并利用蒙特卡羅模擬法與構建二叉樹的方法對利率上限進行定價。

何平（2013）以匯豐銀行于2010年末發行的一款掛鉤美元LIBOR利率的區間累積型結構式理財產品為研究對象，討論了在LIBOR市場模型下區間累積型利率衍生品的定價過程，并運用蒙特卡羅模擬方法對區間累積型利率衍生產品進行數值求解。

馬俊海，張強（2013）以可贖回外匯結構性存款為研究對象，在標準LMM基礎上加入了Heston隨機波動率過程。他們運用Black逆推參數校準方法和MCMC參數估計方法對模型中的局部波動率和隨機波動率過程中的參數進行校準和估計。

從上述文獻可以看出，國外學者對于LMM的擴展較國內學者更為深入，國內學者對于LMM的擴展僅僅局限于隨機波動率過程。但是國外學者對于LMM的擴展又存在各種局限性，諸如：局部波動率模型的缺陷在于雖然波動率具有單調偏斜性質，但是并不能產生波動率微笑特征。跳躍擴散模型的局限性在于對于為了產生波動率偏斜或者微笑，遠期Libor利率需要產生較大的跳躍幅度，即遠期利率的大幅下降，而這種情況對于利率而言并不現實。隨機波動率模型的主要需解決的問題在于為了引入偏斜特征，從而使得驅動遠期Libor利率和隨機波動率的隨機微分方程具有相關性。因此，進一步對LMM進行擴展具有現實的研究意義。

二、CMS價差期權定價的文獻綜述

CMS價差期權作為CMS類期權中的一種重要產品，對其產品結構進行分析并有效建模成為一項熱點，有效定價的CMS價差期權能夠進一步擴展利率收益率曲線結構。

（一）國外CMS價差期權定價研究現狀

Mercurio，Pallavicini和Banca等（2005）采用高斯短期利率模型以及隨機化的參數對CMS為基礎的衍生產品進行定價。他們簡單的定價模型能夠很好地擬合互換期權微笑以及CMS價差期權的市場價格。

Antonov和Arneguy（2009）以加入隨機波動率的Libor市場模型（SV-LMM）為基礎對歐式常到期日互換（CMS）產品進行一系列的近似定價。對于CMS價差期權，他們采用非線性測度變換技術，并使用二維拉普拉斯變換求解出帶有復雜伽馬函數的閉型解析式。

Wu 和Chen（2009）以多因子Libor市場模型（Multifactor-LMM）為基礎對三種利率期權（Libor 與Libor、Libor與互換利率、互換利率與互換利率）進行定價。他們以CMS價差期權為例，提出一種在LMM框架下近似求解遠期互換利率分布的方法。

Belomestny，Kolodko 和Schoenmakers（2010）以標準的Libor市場模型（LMM）為基礎采取兩種近似方法對CMS價差期權進行定價。第一種近似方法是對LMM的直接衍生。第二種近似方法是以線性的互換模型為假設，采用凸性調整技術進行定價。

Hanton 和Henrard （2010）以多因子HJM模型為基礎，對CMS、CMS價差類以及其他相似衍生產品進行分析并求解出近似定價公式。他們近似方法分為以下兩種：以近似的期望方程求解出精確的解析解和以精確的期望方程求解出近似的解析解。他們的實證研究證明后者的近似誤差更小。

Joshi和Yang（2010）運用替代擴散互換市場模型（DD-SMM）對CMS價差期權進行定價和對沖。他們發現CMS價差期權與平價的Black隱含波動率偏斜呈現弱相關性。

Lutz和Kiesel（2011）在流行的Libor市場模型中加入了隨機波動率過程（SV-LMM）推導出CMS價差期權快速但精確的定價公式。他們的定價方法是基于快速估計Cox-Ingersoll-Ross（CIR）過程的密度函數而得出的。結合近似的互換利率動態方程，他們最終推導出CMS價差期權的半解析解。

Wu 和Chen（2011）提出一種具有非零執行價格的CMS價差期權近似定價公式。他們采用一般的對數正態分布來近似兩種CMS利率的分布。對于具有非零執行價格的CMS價差期權他們采用多因子LMM為定價模型。

（二）國內CMS價差期權定價研究現狀

廖容晨（2007）以標準的LMM為基礎對CMS價差類期權進行定價，解決了HJM模型利率為負的可能性，利率爆炸以及瞬時遠期利率無法從市場上直接觀察的問題。

楊繡碧（2010）利用CMS利率近似于Libor的線性組合特征來設定LMM下CMS利率的近似隨機過程。對于CMS價差期權，他們推導出三因子LMM下的無套利解析公式。

蔡昱宏（2012）以標準的LMM為基礎通過蒙特卡羅模擬方法對CMS價差類期權進行定價。

陳曦（2012）采用互換市場模型（SMM）對CMS衍生產品進行定價。對于CMS價差期權作者運用條件積分方法求解出希臘值來近似表示其定價公式。同時作者通過廣義SMM利用各波動率參數獲取漂移項的估計值。

從上述文獻可以看出，國內外學者對于CMS價差期權的定價大多采用LMM或者SMM，但是LMM相較于SMM具有更簡便的計算過程，因此采用LMM比SMM更具有可操作性。同時，國內外學者對于采用的LMM大多為標準LMM或者SV-LMM，其存在一定的局限性。因此，采用進一步擴展的LMM對CMS價差期權定價具有現實的研究意義。

三、未來研究展望

綜上所述，為了進一步體現市場中的波動率偏斜或者微笑特征，本研究擬在隨機波動率Libor市場模型的基礎上，加入跳躍擴散項并賦予機制轉換性質以形成具有機制轉換性質的隨機波動率跳躍擴散Libor市場模型，從而構成機制轉換下的隨機波動率和跳躍擴散雙重因子驅動的Libor市場模型以期更好的擬合Libor利率走勢。同時本研究運用擴展的LMM通過各種近似方法對CMS價差期權進行有效定價。

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[責任編輯 吳明宇]

收稿日期：2014-03-26

基金項目：國家自然科學基金（71271190）；浙江財經大學校級科研重點項目資助（2013YJS008）

作者簡介：孫斌（1990-），男，浙江杭州人，碩士研究生，從事資本市場研究。