等價(jià)無(wú)窮小極限在企業(yè)籌資方面估價(jià)中的應(yīng)用推廣

摘 要：通常情況下，應(yīng)用數(shù)學(xué)在我們的日常生活中都起到一定的重要作用，而我們做藥研究的這些數(shù)學(xué)鎮(zhèn)魂石我們?cè)谏钪械目偨Y(jié)，亦是我們生活中智慧的集聚。因此，應(yīng)用數(shù)學(xué)的價(jià)值也充分的體現(xiàn)在實(shí)際生活當(dāng)中。如今應(yīng)用數(shù)學(xué)已經(jīng)具備一定的深度，并普及到環(huán)境、經(jīng)濟(jì)、信息等多個(gè)領(lǐng)域中，使得這些行業(yè)發(fā)生了質(zhì)的改變。本文正是在這樣的背景下，以等價(jià)無(wú)窮小極限為例，探討其在證券估價(jià)中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：等價(jià)無(wú)窮小；極限；應(yīng)用推廣

一、等價(jià)無(wú)窮小的內(nèi)涵

等價(jià)無(wú)窮小，也就是首先設(shè)函數(shù)f（x）在x0的某一中心領(lǐng)域內(nèi)，或者說(shuō)x大于某一正數(shù)時(shí)有定義。如果對(duì)于任意給定的正數(shù)ε，不論它多么小，總存在正數(shù)δ（或正數(shù)X），使得對(duì)于適合不等式0<|x-x’|<δ（或|x|>X）的一切x，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f（x）都滿足不等式|f（x）|<ε，那么稱(chēng)函數(shù)f（x）當(dāng)x→x’（或x→∞）時(shí)為無(wú)窮小。記作limx→x’，f（x）=0（或limx→∞，f（x）=0）

一般情況下，我們所用的初等函數(shù)通常有單腳函數(shù)、反三角函數(shù)、冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)有五大類(lèi)，及時(shí)在比較復(fù)雜的一些方程式中的求解也都是運(yùn)用這五種函數(shù)進(jìn)行運(yùn)算。下面本文將這五類(lèi)初等函數(shù)的無(wú)窮小進(jìn)行代換：

在當(dāng)x→0時(shí)：

三角函數(shù)無(wú)窮小代換有：sinx～tanx～x；1-cosx～1/2x2

冪函數(shù)無(wú)窮小代換：（1+x）a-1～ax（a可以取整數(shù)也可以取分?jǐn)?shù)）；

指數(shù)函數(shù)無(wú)窮小代換：ex～x+1，ax～lna×x+1；

對(duì)數(shù)無(wú)窮小代換：ln（1+x）～x，loga（1+x）～x/；lna；

差的無(wú)窮小代換：1-cosx～x2/2，x-sinx～x3/6，tanx-x～x3/3，x-ln（1+x）～x2/2，tanx-sinx～x3/3，x-arctanx～x3/3，arcsinx-x～x3/6，arcsinx-arctanx～x3/2；前面兩個(gè)代換后為二次函數(shù)，后面代換為三次函數(shù)。而且從代換的等價(jià)無(wú)窮小方程式來(lái)看，代換的方程式明顯比前面未代換的方程式簡(jiǎn)單得多。

二、等價(jià)無(wú)窮小極限在證券估價(jià)中的應(yīng)用

1.企業(yè)籌資決策的假設(shè)

各個(gè)方面的因素都會(huì)影響企業(yè)的籌資決策，這是一個(gè)非常復(fù)雜的過(guò)程。關(guān)于這個(gè)問(wèn)題的研究，我們可以對(duì)其進(jìn)行一下方面的簡(jiǎn)化：

（1）從實(shí)際的經(jīng)營(yíng)情況來(lái)看，企業(yè)投資是一項(xiàng)持續(xù)長(zhǎng)時(shí)間甚至永久性的工作，據(jù)此，我們做一個(gè)企業(yè)籌資決策的假設(shè)，假設(shè)投資所需要的最佳資本為V0，而將付息前這項(xiàng)投資能夠獲得的利潤(rùn)的概率分布函數(shù)定義為P（X），將其函數(shù)分布范圍定為，因此，它的期望付息前利潤(rùn)為：

第二，一般性的股票融資以及永久性的債券，都是企業(yè)最普遍的融資方式。這兩種籌資方式的組合籌資所能夠獲得的資本量為V0。

第三，在企業(yè)的經(jīng)營(yíng)過(guò)程中，是不必保留利潤(rùn)的，也就是說(shuō)企業(yè)把每年所能夠獲得的利潤(rùn)都分配給股票投資者；

第四，我們假設(shè)企業(yè)是處于一種穩(wěn)定的經(jīng)濟(jì)體系中。在這個(gè)體系中，不存在稅收風(fēng)險(xiǎn)、成本風(fēng)險(xiǎn)以及貨幣的變動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)。企業(yè)與企業(yè)投資者之間是完全透明的信息公布狀態(tài)。

第五，企業(yè)股東僅僅指那些持有原始股票的投資者，而企業(yè)的經(jīng)營(yíng)，是為了這些投資者與經(jīng)營(yíng)者創(chuàng)造最大的市場(chǎng)收益。

2.企業(yè)的籌資決策過(guò)程

通過(guò)上文的假設(shè)，企業(yè)的籌資過(guò)程就可以通過(guò)圖一、二來(lái)進(jìn)行反應(yīng)。其中，只是反應(yīng)企業(yè)股票籌資時(shí)希望獲得的最佳利潤(rùn)，它的公式可以表達(dá)為：期望付息前利潤(rùn)/股票資本或最佳資本量，即

上圖中的坐標(biāo)原點(diǎn)主要指的是企業(yè)在沒(méi)有債務(wù)融資情況下的經(jīng)營(yíng)風(fēng)險(xiǎn)，兩條曲線代表了兩個(gè)方面的風(fēng)險(xiǎn)：分別是企業(yè)破產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)和股票報(bào)酬率的風(fēng)險(xiǎn)。上圖中的橫坐標(biāo)d主要反映的是公司籌資過(guò)程中的債券成本D0以及股票資本S0之間的比例。公式可表示為D0/S0，其也被成為債務(wù)權(quán)益比，該比例反映的是企業(yè)采用永久性債券替代普通股票籌資的程度。見(jiàn)下面公式：

所以，在圖中橫坐標(biāo)上的任意一個(gè)點(diǎn)，皆都呈現(xiàn)了一個(gè)問(wèn)題，即企業(yè)所承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)。因?yàn)榕e債籌資模式所帶來(lái)的企業(yè)財(cái)務(wù)風(fēng)險(xiǎn)，就是這個(gè)點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的差額，包括迅速上升的破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)，以及股票報(bào)酬率可變性風(fēng)險(xiǎn)的上升。另外，有曲線r（債務(wù)市場(chǎng)利息率）Ke（股票市場(chǎng)利息率）也代表了企業(yè)總風(fēng)險(xiǎn)、單位證劵風(fēng)險(xiǎn)以及資本市場(chǎng)中無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利息率的某種函數(shù)。曲線i表示了企業(yè)在舉債籌資時(shí)期望利潤(rùn)率曲線；在這一曲線上的每一點(diǎn)i都等于期望付息前利潤(rùn)扣除債券利息費(fèi)用后的差額除以企業(yè)籌集的股票資本，即

上述公式有效的表達(dá)了財(cái)務(wù)杠桿的效應(yīng)——（Q-r）D0/S0，而企業(yè)財(cái)務(wù)杠桿效應(yīng)的最終結(jié)果，則由曲線i的變化所顯示出來(lái)。我們將得出一個(gè)公式——股票市場(chǎng)價(jià)值S，就等于按照股票的市場(chǎng)利息率資本化后期望息后利潤(rùn)的現(xiàn)值，即

上式中明確的表現(xiàn)出曲線i、Ke之間的關(guān)系，我們進(jìn)行分析可知，要想股東的財(cái)富增加到更大，相應(yīng)的股票的市場(chǎng)價(jià)值與股票資本的差額△S需要取得最大值。據(jù)此可知，以曲線△S取得最大值點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的債務(wù)權(quán)益比d*，就是企業(yè)應(yīng)該選擇的最佳資本結(jié)構(gòu)。

以上的籌資決策推導(dǎo)過(guò)程，我們也可以看出企業(yè)債務(wù)融資的兩種效應(yīng)，其一就是在企業(yè)增加債務(wù)融資的過(guò)程中，企業(yè)會(huì)相應(yīng)的多承擔(dān)很多風(fēng)險(xiǎn)，這種增加也就是替代效應(yīng)。這種效應(yīng)表現(xiàn)在上圖一中就是：企業(yè)的債務(wù)權(quán)益比有增加趨勢(shì)以后，曲線r和曲線Ke也會(huì)按不同的比率增加，而且其中的任一債務(wù)權(quán)益比，都是前者低于后者。第二就是財(cái)務(wù)杠桿效應(yīng)，這主要反映的是企業(yè)在進(jìn)行債務(wù)籌資時(shí)，會(huì)導(dǎo)致企業(yè)的期望利潤(rùn)上升或者下降。圖一中的曲線i，從縱坐標(biāo)上的Q開(kāi)始的遞減、再上升，然后走下劃線，這種走向也體現(xiàn)了這種效應(yīng)。單從這兩種情況來(lái)看，當(dāng)股東的成本低于股東收益時(shí)，股東的財(cái)富就會(huì)有所上升，反之就會(huì)下降，當(dāng)然在股東的成本與股東收益相等時(shí)，那么股東財(cái)富便不會(huì)增加也不會(huì)減少。因此，以資本市場(chǎng)上的參數(shù)為約束條件， 企業(yè)籌資決策的目標(biāo)就是在股東成本低于股東收益的基礎(chǔ)上，實(shí)現(xiàn)股東財(cái)富的最大化。

3.企業(yè)價(jià)值曲線的變化趨勢(shì)

一般情況下，我們認(rèn)為債權(quán)的市場(chǎng)機(jī)制也就等于債權(quán)利息的資本化，即

上式中D為債券的市場(chǎng)價(jià)值，D′0代表的是債券的票面價(jià)值，而r0即為票面利息率，r則表示債券市場(chǎng)利息率。

企業(yè)在規(guī)劃債券的發(fā)行時(shí)，債券本身的票面價(jià)值可以反應(yīng)出企業(yè)籌集的債券資本，同樣的，企業(yè)債券票面價(jià)值的利息率可以反應(yīng)債券的市場(chǎng)利息。

因此，企業(yè)的債券利息費(fèi)用（每年只支付一次）D′0r0就等于前面所述的D0r，也就是債券的市場(chǎng)價(jià)值約等于企業(yè)籌集的債券資本，即

企業(yè)價(jià)值V，就等于債券與股票的市場(chǎng)價(jià)值相加的和，即V=S+D。根據(jù)式（2）、式（5）和式（6），得V=S-S0+D+S0=△S+D0+S0=△S+V0。由此推斷可知兩條信息，圖二曲線V的變化趨勢(shì)可由曲線△S加上一條表示最佳資本量的直線V0來(lái)確定，也就是說(shuō)，企業(yè)價(jià)值與股票增值之間相差一個(gè)由投資決定的最佳資本量。另外，我們可以看出實(shí)際上企業(yè)價(jià)值最大化等價(jià)于股票增值最大化，這兩種數(shù)值都可以作為決策標(biāo)準(zhǔn)來(lái)衡量企業(yè)的最佳資本結(jié)構(gòu)。

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作者簡(jiǎn)介：孫玉希（1992- ），女，山東青島人，專(zhuān)業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)