淺談函數(shù)值域的求法

函數(shù)是中學數(shù)學的核心內(nèi)容，它不僅與方程和不等式有著本質(zhì)的內(nèi)在聯(lián)系，而且作為一種重要的思想方法，在所有內(nèi)容當中都能夠看到它的作用，這就決定了在高考當中的重要地位，函數(shù)的值域經(jīng)常穿插于高考的大小試題中。

函數(shù)值域方法其實，函數(shù)的值域就是函數(shù)值的取值范圍，它雖然由函數(shù)的定義域及對應(yīng)法則完全確定，但是確定值域仍是較為困難的，這些使函數(shù)的值域成為歷年高考必考的重點之一。而如何求函數(shù)的值域卻令大多數(shù)同學頭疼，因為函數(shù)千變?nèi)f化，各不相同，對函數(shù)值域的求法也各種各樣。求值域的問題有時比求定義域問題難，實踐證明，如果加強了對值域求法的研究和討論，有利于對定義域內(nèi)涵的理解，從而深化對函數(shù)本質(zhì)的認識。本文旨在對求函數(shù)值域問題做一個系統(tǒng)性的小結(jié)，不妥之處，請不吝指正。

1.直接法——從自變量X的取值范圍出發(fā)，推出函數(shù)y=f(x)的取值范圍。

例1.求函數(shù)y=(13)|x|的值域

解：∵|x|≧0

∴0<(13)|x|≦1

∴值域為0，1

2.配方法——是求“二次函數(shù)類”值域的基本方法，形如F(x)=af2(x)+bf(x)+c的函數(shù)的值域問題均可使用配方法。

例2.求下列函數(shù)的值域

（1）y=2x2+x （2）y=4-3+2x－x2

解：（1）∵y=2x2+x=2(x+14)2-18≧-18

∴函數(shù)的值域是－18，+∞

（2）由3+2x-x2≧0得-1≦x≦3

∵y=4-－(x－1)2+4

∴當x=1時，ymin=4-2=2

當x=-1或3時，ymax=4-0=4

∴函數(shù)值域為［2，4］

3.反函數(shù)法——利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系，通過求反函數(shù)的定義域，得到原函數(shù)的值域，形如函數(shù)y=cx+dax+b(a≠0)的值域，均可使用反函數(shù)法。此外，這種類型的函數(shù)值域也可以使用“分離常數(shù)法”求解。

例3.求y=1－x2x+5的值域

解法一：反函數(shù)法

由y=1－x2x+5解出x，得x=1－5y2y+1

∵2y+1≠0

∴函數(shù)的值域為{y/y≠-12且y∈R}

解法二：分離常數(shù)法

∵y=－(x+52)+722(x+52)=-12+722x+5

而722x+5≠0

∴y≠-12，即函數(shù)的值域為{y/y∈R且y≠-12}

4．判別式法——把函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的二次方程F（x，y）=0，通過方程有實根，判別式Δ≧0，從而求得原函數(shù)的值域。形如y=a1x2+b1x+c1a2x2+b2x+c2 (a1，a2不同時為0)的函數(shù)值域常用此法求解。

注意:（1）函數(shù)的定義域為R，（2）分子，分母無公因式

例4.求函數(shù)y=3xx2+4的值域

解：由y=3xx2+4得，yx2-3x+4y=0

當y=0時，x=0

當y≠0時，由Δ≧0得， -34≦y≦34且y≠0

∵函數(shù)定義域為R

∴函數(shù)y=3xx2+4的值域為［-34，34］

5．換元法——運用代數(shù)或三角代換，將所給的函數(shù)化成值域容易確定的另一函數(shù)，從而得到原函數(shù)的值域

例5.求下列函數(shù)的值域

（1）y=2x+41－x(2)y=x-1－x2

解 ：（1）設(shè)t=1－x≧0， 則x=1-t2，于是，y=-2t2+4t+2

=-2(t-1)2+4(t≧0)

故可知y∈－∞，4

(2)∵|x|≦1

∴設(shè)x=Cosθ，θ∈［0，π］

則y=Cosθ-sinθ=2 Cos(θ+π4)

∵θ∈［0，π］

∴π4≦θ+π4≦54π

∴-1≦Cos(θ+π4)≦22

故-2≦y≦1即y∈［-2，1］

6.單調(diào)性法——確定函數(shù)在定義域（或某個定義域的子集）上的單調(diào)性，求出函數(shù)的值域。

例6.求y=2x-1-13－4x的值域

解：因為函數(shù)在其定義域－∞，134內(nèi)單調(diào)遞增，所以當x=134時，ymax=2x134-1=112

故函數(shù)的值域為{y/y≦112}

7.求導(dǎo)法——當一個函數(shù)在定義域上可導(dǎo)時，可據(jù)其導(dǎo)數(shù)求最值

例7.求函數(shù)y=x5-5x4+5x3+2，x∈［-1，2］的值域

解：y’=5x4-20x3+15x2

令y’=0

得5x4-20x3+15x2=0

（上接第46頁）即5x2（x-3）(x-1)=0

∴x1=0x2=1x3=3

由于x3［-1，2］，所以只要比較F（0），F(xiàn)（1），F(xiàn)（-1），

F（2）。由解析式可知：F(x)的最大值為3，最小值為-9。

故y∈［-9，3］

8.不等式法——利用基本不等式：a+b≧2ab(a，b∈R+)，求函數(shù)值域。用不等式求值域時，要注意均值不等式的使用條件“一正、二定、三相等”。

例8.求y=3xx2+x+1（x<0）的值域

解：∵y=3xx2+x+1=3x2+1x+1（x<0）

又x+1x≦-2

∴x+1x+1≦-1

則-3≦3x2+1x+1＜0，即-3≦y≦＜0

故函數(shù)值域為［-3，0］。

綜上，只要教師能夠引導(dǎo)學生對此類題目進行分析，特別是通過靈活變形，確定該題目是屬于上述哪種類型，然后選擇合適的方法進行求解，那么求函數(shù)值域的問題將迎刃而解。最后通過類型題目的加強，舉一反三，使學生熟練掌握解題的方法，必將提高學生在高考中的數(shù)學成績。