關注起點合理操作構建表象

孫潔　周興苗

《面積單位》的教學旨在結合實例體會并認識面積單位——平方厘米、平方分米和平方米，并構建這三個常用面積單位的表象。為了解學生的學習起點，引領學生更有效地開展學習活動，教學前我對學生進行了前測，并以此為依據指導學生進行相關的學習活動。

一、教學前測

（一）前測方式和對象

本次前測以訪談為主要形式進行，前測人數50人。

（二）前測內容和結果匯總

1.你對學習“面積單位”有興趣嗎？你有信心學好嗎？

2.你知道哪些面積單位？是怎么知道的？

3.平方厘米有多大？請你畫圖或舉例說明。

（三）前測分析

基礎知識起點：前測中約74%的學生了解平方米，約32%的學生了解平方分米，約46%的學生了解平方厘米。其中約12%的學生能較正確地用畫正方形的方式表示出1平方厘米的大小，約20%的學生能結合實例描述1平方厘米的大小。

基本技能起點：約24%的學生能想到通過畫圖來表示1平方厘米。

基本思想起點：約24%的學生能運用數形結合的數學思想，用畫圖的方法來表示1平方厘米，其中12%的學生畫得基本正確。

基本活動經驗起點：學生積累了用小正方形鋪一鋪度量面積大小的活動經驗。約20%的學生積累了結合手指甲、鍵盤按鍵的一個面、田字格一個格子的大小來描述1平方厘米的生活經驗。

情感態度起點：大部分學生具備一定的獨立思考能力，78%的學生學習這一內容興趣濃厚；84%的學生學習這一內容有強烈的自信心。

二、教學對策

前測中反映出學生對平方厘米、平方分米、平方米這三個面積單位有所了解，知道這些單位的名稱，但是對這三個面積單位的實際大小缺乏一定的經驗，結合前測分析，教學時考慮以下對策：

1.創設豐富的數學活動，引導學生采用多種感官參與說、畫、找、涂、估等操作活動，讓不同層次的學生獲得不同的體驗，體會并認識平方厘米、平方分米、平方米三個面積單位。

2.強化操作，重點建立1平方厘米的表象。結合點、線、面之間的聯系，引導出1平方厘米的概念，經歷“說一說”“畫一畫”“找一找”“估一估”“測一測”等數學活動，幫助學生認識1平方厘米，并在大腦皮層中留下1平方厘米的表象。

3.加強估測，引導學生把“估”與“測”結合起來，使學生能用“腦中的面積單位”去估測物體表面或平面圖形的面積，有效構建面積單位的表象。

三、教學感悟

（一）經歷有效的操作活動，構建面積單位的表象

范希爾理論指出本學段的學生幾何思維水平還停留在“直觀水平——整體地認識幾何對象”層次，這一階段是“學習者依據幾何圖形的外表來認識、命名、比較和畫出這些圖形”。因此，課堂上在認識1平方厘米時，我安排了如下操作活動：

1.畫一畫。借助尺子在練習紙上來畫一個這樣的1平方厘米的正方形。

2.涂一涂。用鉛筆把你畫的1平方厘米涂一涂，邊涂邊記住它的大小。

3.找一找。生活中哪些物體的一個面大約也是1平方厘米呢？大家找一找。

（1）學生自由找一找；

（2）借助教師提供的物品找一找；（1立方厘米的正方體、骰子、語文方格本簿等。）

4.畫一畫。不借助任何工具，畫一個大約是1平方厘米的正方形。

前測中反映有46%的學生知道1平方厘米，但是只有12%的學生能大致畫出，有28%的學生能結合生活舉出實例，還有60%的學生缺乏1平方厘米的表象，表明部分學生雖然知道面積單位的名稱，但是缺乏抽象的1平方厘米的表象。正如波利亞所指出的“抽象的道理是重要，但要用一切辦法使它們看得見、摸得著。”，因而教學時要讓學生經歷“畫一畫”“涂一涂”“找一找”“畫一畫”等操作活動，把抽象的1平方厘米物化出來，從而建立1平方厘米的表象。同樣在學生認識“1平方分米”“1平方米”時也設計了類似的操作活動，讓學生在‘做數學的過程中自主體驗知識的形成過程，逐步在學生的大腦皮層中留下面積單位的表象。

（二）重視學法的有效指導，提高學生的學習能力

從前測中發現46%的學生知道1平方厘米，但什么是1平方厘米，學生難以描述，1平方厘米的表象更是欠缺。因此，教學伊始，借助學生已有的長度單位知識，從點、線、面之間的動態演變引導出1平方厘米的概念，具體環節如下：

揭示概念：

師：這是一個點，把它向右移動1厘米，形成一條1厘米長的線段，再從這個點的起始位置出發向上移動1厘米，也形成一條1厘米長的線段。

師：看到這兩條線段，如果再添一些線段你可以畫出什么圖形？

生1：畫一個三角形。

生2：畫一個四邊形。

生3：畫一個正方形。

師：畫一個正方形，那這是一個怎樣的正方形呢？

生：是一個邊長是1厘米的正方形。

師：我們只要再畫出兩條1厘米的線段，就可以圍成一個邊長1厘米的正方形。（教師邊說邊補充線段）

師：老師手中就有一個邊長是1厘米的正方形（貼在黑板上）， 下面請你從學習袋中找出來這樣的正方形，拿在手上看一看。（學生操作）

師：像這樣，邊長是1厘米的正方形，它的面積就是1平方厘米。（板書）

師：請你看著手中的正方形，自己說說什么是1平方厘米？

師：請你來說一說（指名說），你也來說一說（指名說），我們一起來讀一讀。

這樣的設計，尊重了學生的學習起點（已經具有一維的空間觀念）和認知規律（先具體再抽象），也遵循了數學知識的內在邏輯關系，使得學生的空間觀念從一維空間向二維空間提升。在學生理解1平方厘米的概念并初步形成1平方厘米的表象后，設計了如下教學環節：（找一找）endprint

師：我們現在知道了1平方厘米有這么大，那么生活中哪些物體的一個面的面積大約也是1平方厘米呢？

生1：大拇指指甲的一個面的面積，大約是1平方厘米。

生2：電腦鍵盤一個鍵的一個面的面積，大約是1平方厘米。

生3：魔方上的一個小正方形的面積，大約是1平方厘米。

師：大家觀察得很仔細，老師也為你們準備了一些物品，請打開信封，我們一起來找一找，哪些物品的一個面也是1平方厘米。（信封放置：1立方厘米的正方體、骰子、語文方格本簿等）

（1）學生找一找；（2）同桌交流驗證；（3）全班匯報小結。

師：生活中有許多物體一個面的面積大約是1平方厘米，我們可以借助這些物體來記住1平方厘米。

前測中發現，有28%的學生能結合實例描述1平方厘米，而這些實例又源于學生實際的生活情境，因此，課堂上在學生初步建立1平方厘米的表象后，指導學生去提取腦海中存儲的生活經驗，找一找生活中哪些物體的一個面大約是1平方厘米，有利于學生進一步鞏固1平方厘米的表象。第二次學生結合教師提供的學具再次找一找，前測中發現學生比較熟悉的情境是“手指甲、鍵盤一個按鍵的一個面、骰子的一個面、田字格的一個格子等”，因此，根據前測情況確定了學具的選擇。通過這樣一系列的操作體驗，學生的思維潛能得到充分釋放，當學生直觀感悟到小正方體的一個面的面積是1平方厘米，骰子一個面的面積比1平方厘米小，語文方格本一個格子面積比1平方厘米大時，達到了能對1平方厘米“物化”的水平，也就是形式化階段，1平方厘米表象得到了進一步的鞏固。

在學生認識了1平方厘米，并通過操作初步構建了1平方厘米的表象后，教師及時進行學法的小結，具體環節如下：

師：我們認識了1平方厘米，請你回憶一下，我們剛才是怎么認識1平方厘米的？

生1：先把邊長1厘米的正方形畫出來，然后通過涂一涂、找一找，又畫一畫，記住了它的大小。（教師適時板書：涂，找，畫）

生2：我們還學習了可以用1平方厘米估計其他圖形或者物體表面的面積。

師：說得真好，大家不僅認識了1平方厘米，還掌握了學習1平方厘米的方法，那就讓我們用這樣的方法繼續來學習1平方分米吧！

這樣的學法小結不但再次回顧了數學知識，而且讓學生體驗到了學習面積單位的方法，提高了學生的學習能力，激發了學生學習的興趣和信心，有利于學生進行數學知識的探索。

（三）關注活動經驗的積累，發展學生的空間觀念

《義務教育數學課程標準解讀》指出：生活經驗的回憶與再現、實物觀察與描述、拼擺與畫圖、折紙與展開、分析與推理等，都是發展學生空間觀念的有效途徑。在學生經歷“畫一畫”“涂一涂”“找一找”，再“畫一畫”等操作活動，積累一定的關于1平方厘米的活動經驗后，我安排如下教學環節：（估一估，測一測）

師：1平方厘米我們都記在腦海中啦，下面請大家看作業紙的第1題，估一估左邊1號長方形的面積大約是多少平方厘米？你是怎么估的？

師：請這個同學來說說，你是怎么想的？（展臺展示學生作品）

生1：我用我的指甲比劃了一下，大約是4個，長方形的面積大約是4平方厘米。

生2：我覺得一個一個地可以擺4個1平方厘米（學生分割成4個小正方形），所以，它的面積是4平方厘米。

生3：我先想1平方厘米有多大，這個長方形大約是4個1平方厘米，所以，面積是4平方厘米。

師：大家都想到了用1平方厘米作為標準，估出長方形的面積是4平方厘米，那么我們來驗證一下到底是多少。同桌合作擺一擺，可以擺多少個1平方厘米。

師：通過測量，1號長方形上正好擺了4個1平方厘米，它的面積就是4平方厘米。現在來看右邊的2號長方形，你能估出它的面積嗎？你是怎么估的？

生1：2號圖形一行也可以鋪4個，這樣的可以鋪3行，一共鋪了12個1平方厘米，面積是12平方厘米。

生2：我估計2號長方形可以分割成3個1號那樣的長方形，那它的面積就是12平方厘米。

師：這個長方形的面積到底是多少呢，我們還需要通過測量才能知道，請拿出1平方厘米的正方形，請大家測一測。

……

前測中反映有48%的學生知道可以用小正方形去測量面積，其實，這個留在學生腦海中的小正方形就是1平方厘米的原型。因此，教學中設計了估一估、測一測的學習活動，不但鞏固了1平方厘米的表象，更讓學生逐步積累了長邊上的單位個數乘以寬邊上的單位個數等于面積總個數的經驗，為研究長方形的面積計算做好鋪墊。

上述教學環節中，反饋估計第一個長方形的面積時得出不同的結論，學生在構建1平方厘米的表象時，他們的思維方式不盡相同，學生積累的數學活動經驗也是不一樣的：有的學生用畫格子的方式去估，則經驗層次處于“形成表象”階段；有的學生用“大拇指的拇指”去估，則經驗層次處于“形式化”階段；有的學生用“腦中的1平方厘米”去估，則經驗層次已達到了“組織結構”階段。第二次估右邊長方形的面積，學生的思維得到有效的提升，活動經驗更加豐富，不但能用上面第一次估積累的活動經驗，而且用到了分析和推理的方法：“我估計2號長方形可以分割成3個1號那樣的長方形，1號長方形面積是4平方厘米，那它的面積就是12平方厘米。”多么精彩的發言，學生不但進一步鞏固了1平方厘米的表象，更在活動中積累了這樣分析和推理的經驗，發展了學生的空間觀念。

通過《面積單位》的教學，體會到只有抓住了面積單位教學的核心——建立面積單位的表象，才能有效發展學生的空間觀念。同時，教學設計要尊重學生的學習起點，結合具體的操作活動進行“空間與圖形”的知識教學，這樣既符合“空間與圖形”知識的特點，又能滿足學生的認知需要，還能培養學生學習數學的興趣。

（作者單位 浙江省余姚市實驗學校）endprint

師：我們現在知道了1平方厘米有這么大，那么生活中哪些物體的一個面的面積大約也是1平方厘米呢？

生1：大拇指指甲的一個面的面積，大約是1平方厘米。

生2：電腦鍵盤一個鍵的一個面的面積，大約是1平方厘米。

生3：魔方上的一個小正方形的面積，大約是1平方厘米。

師：大家觀察得很仔細，老師也為你們準備了一些物品，請打開信封，我們一起來找一找，哪些物品的一個面也是1平方厘米。（信封放置：1立方厘米的正方體、骰子、語文方格本簿等）

（1）學生找一找；（2）同桌交流驗證；（3）全班匯報小結。

師：生活中有許多物體一個面的面積大約是1平方厘米，我們可以借助這些物體來記住1平方厘米。

前測中發現，有28%的學生能結合實例描述1平方厘米，而這些實例又源于學生實際的生活情境，因此，課堂上在學生初步建立1平方厘米的表象后，指導學生去提取腦海中存儲的生活經驗，找一找生活中哪些物體的一個面大約是1平方厘米，有利于學生進一步鞏固1平方厘米的表象。第二次學生結合教師提供的學具再次找一找，前測中發現學生比較熟悉的情境是“手指甲、鍵盤一個按鍵的一個面、骰子的一個面、田字格的一個格子等”，因此，根據前測情況確定了學具的選擇。通過這樣一系列的操作體驗，學生的思維潛能得到充分釋放，當學生直觀感悟到小正方體的一個面的面積是1平方厘米，骰子一個面的面積比1平方厘米小，語文方格本一個格子面積比1平方厘米大時，達到了能對1平方厘米“物化”的水平，也就是形式化階段，1平方厘米表象得到了進一步的鞏固。

在學生認識了1平方厘米，并通過操作初步構建了1平方厘米的表象后，教師及時進行學法的小結，具體環節如下：

師：我們認識了1平方厘米，請你回憶一下，我們剛才是怎么認識1平方厘米的？

生1：先把邊長1厘米的正方形畫出來，然后通過涂一涂、找一找，又畫一畫，記住了它的大小。（教師適時板書：涂，找，畫）

生2：我們還學習了可以用1平方厘米估計其他圖形或者物體表面的面積。

師：說得真好，大家不僅認識了1平方厘米，還掌握了學習1平方厘米的方法，那就讓我們用這樣的方法繼續來學習1平方分米吧！

這樣的學法小結不但再次回顧了數學知識，而且讓學生體驗到了學習面積單位的方法，提高了學生的學習能力，激發了學生學習的興趣和信心，有利于學生進行數學知識的探索。

（三）關注活動經驗的積累，發展學生的空間觀念

《義務教育數學課程標準解讀》指出：生活經驗的回憶與再現、實物觀察與描述、拼擺與畫圖、折紙與展開、分析與推理等，都是發展學生空間觀念的有效途徑。在學生經歷“畫一畫”“涂一涂”“找一找”，再“畫一畫”等操作活動，積累一定的關于1平方厘米的活動經驗后，我安排如下教學環節：（估一估，測一測）

師：1平方厘米我們都記在腦海中啦，下面請大家看作業紙的第1題，估一估左邊1號長方形的面積大約是多少平方厘米？你是怎么估的？

師：請這個同學來說說，你是怎么想的？（展臺展示學生作品）

生1：我用我的指甲比劃了一下，大約是4個，長方形的面積大約是4平方厘米。

生2：我覺得一個一個地可以擺4個1平方厘米（學生分割成4個小正方形），所以，它的面積是4平方厘米。

生3：我先想1平方厘米有多大，這個長方形大約是4個1平方厘米，所以，面積是4平方厘米。

師：大家都想到了用1平方厘米作為標準，估出長方形的面積是4平方厘米，那么我們來驗證一下到底是多少。同桌合作擺一擺，可以擺多少個1平方厘米。

師：通過測量，1號長方形上正好擺了4個1平方厘米，它的面積就是4平方厘米。現在來看右邊的2號長方形，你能估出它的面積嗎？你是怎么估的？

生1：2號圖形一行也可以鋪4個，這樣的可以鋪3行，一共鋪了12個1平方厘米，面積是12平方厘米。

生2：我估計2號長方形可以分割成3個1號那樣的長方形，那它的面積就是12平方厘米。

師：這個長方形的面積到底是多少呢，我們還需要通過測量才能知道，請拿出1平方厘米的正方形，請大家測一測。

……

前測中反映有48%的學生知道可以用小正方形去測量面積，其實，這個留在學生腦海中的小正方形就是1平方厘米的原型。因此，教學中設計了估一估、測一測的學習活動，不但鞏固了1平方厘米的表象，更讓學生逐步積累了長邊上的單位個數乘以寬邊上的單位個數等于面積總個數的經驗，為研究長方形的面積計算做好鋪墊。

上述教學環節中，反饋估計第一個長方形的面積時得出不同的結論，學生在構建1平方厘米的表象時，他們的思維方式不盡相同，學生積累的數學活動經驗也是不一樣的：有的學生用畫格子的方式去估，則經驗層次處于“形成表象”階段；有的學生用“大拇指的拇指”去估，則經驗層次處于“形式化”階段；有的學生用“腦中的1平方厘米”去估，則經驗層次已達到了“組織結構”階段。第二次估右邊長方形的面積，學生的思維得到有效的提升，活動經驗更加豐富，不但能用上面第一次估積累的活動經驗，而且用到了分析和推理的方法：“我估計2號長方形可以分割成3個1號那樣的長方形，1號長方形面積是4平方厘米，那它的面積就是12平方厘米。”多么精彩的發言，學生不但進一步鞏固了1平方厘米的表象，更在活動中積累了這樣分析和推理的經驗，發展了學生的空間觀念。

通過《面積單位》的教學，體會到只有抓住了面積單位教學的核心——建立面積單位的表象，才能有效發展學生的空間觀念。同時，教學設計要尊重學生的學習起點，結合具體的操作活動進行“空間與圖形”的知識教學，這樣既符合“空間與圖形”知識的特點，又能滿足學生的認知需要，還能培養學生學習數學的興趣。

（作者單位 浙江省余姚市實驗學校）endprint

師：我們現在知道了1平方厘米有這么大，那么生活中哪些物體的一個面的面積大約也是1平方厘米呢？

生1：大拇指指甲的一個面的面積，大約是1平方厘米。

生2：電腦鍵盤一個鍵的一個面的面積，大約是1平方厘米。

生3：魔方上的一個小正方形的面積，大約是1平方厘米。

師：大家觀察得很仔細，老師也為你們準備了一些物品，請打開信封，我們一起來找一找，哪些物品的一個面也是1平方厘米。（信封放置：1立方厘米的正方體、骰子、語文方格本簿等）

（1）學生找一找；（2）同桌交流驗證；（3）全班匯報小結。

師：生活中有許多物體一個面的面積大約是1平方厘米，我們可以借助這些物體來記住1平方厘米。

前測中發現，有28%的學生能結合實例描述1平方厘米，而這些實例又源于學生實際的生活情境，因此，課堂上在學生初步建立1平方厘米的表象后，指導學生去提取腦海中存儲的生活經驗，找一找生活中哪些物體的一個面大約是1平方厘米，有利于學生進一步鞏固1平方厘米的表象。第二次學生結合教師提供的學具再次找一找，前測中發現學生比較熟悉的情境是“手指甲、鍵盤一個按鍵的一個面、骰子的一個面、田字格的一個格子等”，因此，根據前測情況確定了學具的選擇。通過這樣一系列的操作體驗，學生的思維潛能得到充分釋放，當學生直觀感悟到小正方體的一個面的面積是1平方厘米，骰子一個面的面積比1平方厘米小，語文方格本一個格子面積比1平方厘米大時，達到了能對1平方厘米“物化”的水平，也就是形式化階段，1平方厘米表象得到了進一步的鞏固。

在學生認識了1平方厘米，并通過操作初步構建了1平方厘米的表象后，教師及時進行學法的小結，具體環節如下：

師：我們認識了1平方厘米，請你回憶一下，我們剛才是怎么認識1平方厘米的？

生1：先把邊長1厘米的正方形畫出來，然后通過涂一涂、找一找，又畫一畫，記住了它的大小。（教師適時板書：涂，找，畫）

生2：我們還學習了可以用1平方厘米估計其他圖形或者物體表面的面積。

師：說得真好，大家不僅認識了1平方厘米，還掌握了學習1平方厘米的方法，那就讓我們用這樣的方法繼續來學習1平方分米吧！

這樣的學法小結不但再次回顧了數學知識，而且讓學生體驗到了學習面積單位的方法，提高了學生的學習能力，激發了學生學習的興趣和信心，有利于學生進行數學知識的探索。

（三）關注活動經驗的積累，發展學生的空間觀念

《義務教育數學課程標準解讀》指出：生活經驗的回憶與再現、實物觀察與描述、拼擺與畫圖、折紙與展開、分析與推理等，都是發展學生空間觀念的有效途徑。在學生經歷“畫一畫”“涂一涂”“找一找”，再“畫一畫”等操作活動，積累一定的關于1平方厘米的活動經驗后，我安排如下教學環節：（估一估，測一測）

師：1平方厘米我們都記在腦海中啦，下面請大家看作業紙的第1題，估一估左邊1號長方形的面積大約是多少平方厘米？你是怎么估的？

師：請這個同學來說說，你是怎么想的？（展臺展示學生作品）

生1：我用我的指甲比劃了一下，大約是4個，長方形的面積大約是4平方厘米。

生2：我覺得一個一個地可以擺4個1平方厘米（學生分割成4個小正方形），所以，它的面積是4平方厘米。

生3：我先想1平方厘米有多大，這個長方形大約是4個1平方厘米，所以，面積是4平方厘米。

師：大家都想到了用1平方厘米作為標準，估出長方形的面積是4平方厘米，那么我們來驗證一下到底是多少。同桌合作擺一擺，可以擺多少個1平方厘米。

師：通過測量，1號長方形上正好擺了4個1平方厘米，它的面積就是4平方厘米。現在來看右邊的2號長方形，你能估出它的面積嗎？你是怎么估的？

生1：2號圖形一行也可以鋪4個，這樣的可以鋪3行，一共鋪了12個1平方厘米，面積是12平方厘米。

生2：我估計2號長方形可以分割成3個1號那樣的長方形，那它的面積就是12平方厘米。

師：這個長方形的面積到底是多少呢，我們還需要通過測量才能知道，請拿出1平方厘米的正方形，請大家測一測。

……

前測中反映有48%的學生知道可以用小正方形去測量面積，其實，這個留在學生腦海中的小正方形就是1平方厘米的原型。因此，教學中設計了估一估、測一測的學習活動，不但鞏固了1平方厘米的表象，更讓學生逐步積累了長邊上的單位個數乘以寬邊上的單位個數等于面積總個數的經驗，為研究長方形的面積計算做好鋪墊。

上述教學環節中，反饋估計第一個長方形的面積時得出不同的結論，學生在構建1平方厘米的表象時，他們的思維方式不盡相同，學生積累的數學活動經驗也是不一樣的：有的學生用畫格子的方式去估，則經驗層次處于“形成表象”階段；有的學生用“大拇指的拇指”去估，則經驗層次處于“形式化”階段；有的學生用“腦中的1平方厘米”去估，則經驗層次已達到了“組織結構”階段。第二次估右邊長方形的面積，學生的思維得到有效的提升，活動經驗更加豐富，不但能用上面第一次估積累的活動經驗，而且用到了分析和推理的方法：“我估計2號長方形可以分割成3個1號那樣的長方形，1號長方形面積是4平方厘米，那它的面積就是12平方厘米。”多么精彩的發言，學生不但進一步鞏固了1平方厘米的表象，更在活動中積累了這樣分析和推理的經驗，發展了學生的空間觀念。

通過《面積單位》的教學，體會到只有抓住了面積單位教學的核心——建立面積單位的表象，才能有效發展學生的空間觀念。同時，教學設計要尊重學生的學習起點，結合具體的操作活動進行“空間與圖形”的知識教學，這樣既符合“空間與圖形”知識的特點，又能滿足學生的認知需要，還能培養學生學習數學的興趣。

（作者單位 浙江省余姚市實驗學校）endprint