數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)設(shè)計(jì)

李珺

【摘要】在HPM研究理論指導(dǎo)下，參照“數(shù)學(xué)史——探索”教學(xué)模式，對(duì)圓錐曲線的發(fā)展進(jìn)行教學(xué)重組，幫助學(xué)生完成知識(shí)的自我構(gòu)建.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)史；圓錐曲線；工作單

HPM研究組織成立三十多年以來(lái)，HPM理論及其實(shí)踐研究得到了長(zhǎng)足的發(fā)展.本文參考范廣輝提出的“數(shù)學(xué)史——探索”教學(xué)模式，對(duì)圓錐曲線的發(fā)展歷史進(jìn)行教學(xué)重組，以工作單的形式引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷概念形成的幾個(gè)關(guān)鍵時(shí)期，以及數(shù)學(xué)家探究數(shù)學(xué)概念的活動(dòng)，完成數(shù)學(xué)知識(shí)的自我建構(gòu).

工作單1 倍立方問(wèn)題

傳說(shuō)中，這問(wèn)題的來(lái)源可追溯到公元前429年，一場(chǎng)瘟疫襲擊了希臘第羅斯島（Delos），造成四分之一的人口死亡.島民們推派一些代表去神廟請(qǐng)示阿波羅的旨意，神指示說(shuō)：要想遏止瘟疫，得將阿波羅神殿中那正立方的祭壇加大一倍.人們便把每邊增長(zhǎng)一倍，結(jié)果體積當(dāng)然就變成了8倍，瘟疫依舊蔓延；接著人們又試著把體積改成原來(lái)的2倍，但形狀卻變?yōu)橐粋€(gè)長(zhǎng)方體……第羅斯島人在萬(wàn)般無(wú)奈的情況下，只好鼓足勇氣到雅典去求救于當(dāng)時(shí)著名的學(xué)者柏拉圖.開始，柏拉圖和他的學(xué)生認(rèn)為這個(gè)問(wèn)題很容易.他們根據(jù)平時(shí)的經(jīng)驗(yàn)，覺(jué)得利用尺規(guī)作圖可以輕而易舉地作一個(gè)正方形，使它的面積等于已知正方形的2倍，那么作一個(gè)正方體，使它的體積等于已知正方體體積的2倍，還會(huì)難嗎？結(jié)果……

問(wèn) 題

1.你能利用所學(xué)知識(shí)求出數(shù)學(xué)題“體積是棱長(zhǎng)a的立方體的2倍的立方體的棱長(zhǎng)b”嗎？

讓我們來(lái)看一下柏氏門徒當(dāng)時(shí)差點(diǎn)成功的作法：“求體積是棱長(zhǎng)a的立方體的2倍的立方體”，這問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為“求在a與2a之間插入二數(shù)x，y，使a，x，y，2a成等比數(shù)列”，即a∶x=x∶y=y∶2a，故x2=ay，y2=2ax，xy=2a2，從而x3=a（xy）=a（2a2），故x3=2a3，則棱長(zhǎng)x的立方體即為所求.

2.從上述方法中可以看出，我們所要求的棱長(zhǎng)x是哪兩條曲線的交點(diǎn)橫坐標(biāo)？

3.我們只要畫出這些曲線就可以找到x的值，嘗試從圖像中找出x.

上述用曲線來(lái)求解倍立方問(wèn)題的方法是希臘數(shù)學(xué)家門奈赫莫斯開創(chuàng)的圓錐曲線法，這些曲線就是我們現(xiàn)在的拋物線.

工作單2 門奈赫莫斯與圓錐曲線

希臘著名學(xué)者門奈赫莫斯（公元前4世紀(jì)）企圖解決當(dāng)時(shí)的著名難題“倍立方問(wèn)題”.他把Rt△ABC的直角A的平分線AO作為軸，旋轉(zhuǎn)△ABC一周，得到曲面ABECE′，如圖1.用垂直于AC的平面去截此曲面，可得到曲線EDE′，梅內(nèi)克繆斯稱之為“直角圓錐曲線”.他想以此在理論上解決“倍立方問(wèn)題”未獲成功.而后，便撤開“倍立方問(wèn)題”，把圓錐曲線作為專有概念進(jìn)行研究：若以Rt△ABC中的長(zhǎng)直角邊AC為軸旋轉(zhuǎn)△ABC一周，得到曲面CB′BE′，如圖2.用垂直于BC的平面去截此曲面，其切口為一曲線，稱之為“銳角圓錐截線”；若以Rt△ABC中的短直角邊AB為軸旋轉(zhuǎn)△ABC一周，可得到曲面BC′ECE′，如圖3.用垂直于BC的平面去截此曲面，其切口曲線EDE′稱為“鈍角圓錐截線”.當(dāng)時(shí)，希臘人對(duì)平面曲線還缺乏認(rèn)識(shí)，上述三種曲線須以“圓錐曲面”為媒介得到，因此，被稱為圓錐曲線的“雛形”.

我們可以用幾何知識(shí)證明曲線的性質(zhì)：

設(shè)直角圓錐的軸三角形VBC是等腰直角三角形，頂角V是直角，過(guò)母線VB上一點(diǎn)A用垂直于VB的平面截圓錐面，其交線QAR為直角圓錐截線.過(guò)交線QAR上任一點(diǎn)P作平面垂直于軸VO，它與軸截面VBC交于DE，與圓錐交于以DE為直徑的圓DPE，作AF∥DE，F(xiàn)G⊥DE.若記AN=x，NP=y，AG是與點(diǎn)A位置有關(guān)的定線段記為b.問(wèn)題：我們可以得到x，y，b之間怎樣的關(guān)系式？

上述的關(guān)系式正是解析幾何中拋物線的解析式.類似的方法可以證明銳角圓錐截線就是現(xiàn)在的橢圓，鈍角圓錐曲線是雙曲線.

【參考文獻(xiàn)】

[1]鮑建生，徐斌艷.數(shù)學(xué)教育研究導(dǎo)引（二）[M].南京：江蘇教育出版社，2013：403-422.

[2]范廣輝.“數(shù)學(xué)史——探索”教學(xué)模式的理論構(gòu)建及其實(shí)施策略研究[J]，2010.

[3]張洪杰.圓錐曲線的產(chǎn)生與發(fā)展.http：//www.zxxk.com/Article/161363.html.