把握時(shí)機(jī)，循序漸進(jìn)，逐步提高

朱強(qiáng)

數(shù)與形是數(shù)學(xué)的基本研究對(duì)象，形的特點(diǎn)是直觀，數(shù)的特點(diǎn)是完整嚴(yán)密.它們之間存在著對(duì)立統(tǒng)一的辯證關(guān)系.在解決代數(shù)問(wèn)題時(shí)，直觀的圖像可以幫助我們更方便地思考.通過(guò)數(shù)字與圖形的有機(jī)結(jié)合，揭示出隱含其中的幾何背景，啟發(fā)思維，找到解決問(wèn)題的途徑；反之，在研究幾何問(wèn)題時(shí)，要注意從代數(shù)角度出發(fā)，通過(guò)數(shù)量關(guān)系的研究解決問(wèn)題.

學(xué)生在初中已經(jīng)初步接觸了代數(shù)和幾何，而高中是數(shù)學(xué)思想方法逐步形成的關(guān)鍵時(shí)期.在這個(gè)階段，領(lǐng)會(huì)了數(shù)學(xué)基本思想的同學(xué)，學(xué)習(xí)水平及能力突飛猛進(jìn)，學(xué)習(xí)熱情高漲；反之，也有許多同學(xué)學(xué)習(xí)能力水平熱情平平，甚至出現(xiàn)倒退的現(xiàn)象.原因之一就在于沒(méi)有真正領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法.

解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，這一階段的教學(xué)正是逐步滲透數(shù)形結(jié)合思想方法的最佳時(shí)機(jī).如何引起學(xué)生的興趣和共鳴？筆者認(rèn)為應(yīng)該注意以下方面.

一、抓住基本概念

結(jié)合課本中的基本例題習(xí)題，對(duì)每一個(gè)基本概念諸如斜率，兩點(diǎn)間距離，平行垂直，直線和圓方程等的幾何意義都要求通過(guò)圖形解釋，并在此基礎(chǔ)上穩(wěn)步提高.

例1：對(duì)每個(gè)實(shí)數(shù)x，設(shè)f（x）取4x+1，x+2，-2x+4中的最小值，那么f（x）的最大值是？搖 ？搖.

分析：本題無(wú)非是代數(shù)和幾何方法，如果使用代數(shù)法，那么就要比較3個(gè)式子的大小，需要分段討論，相對(duì)比較麻煩.而幾何方法只要如圖作出分段函數(shù)f（x）=4x+1 的圖像，不難得出：

當(dāng)x取A點(diǎn)橫坐標(biāo)時(shí)，有最大值.

這里，函數(shù)的最值就是圖像的高點(diǎn)縱坐標(biāo)，結(jié)論一目了然.

二、及時(shí)歸納總結(jié)和推廣

例2：求函數(shù)f（x）=+的最小值.

分析：f（x）=.如果從代數(shù)角度看，好像沒(méi)有簡(jiǎn)單有效的方法.但是從圖像角度看，f（x）的值是動(dòng)點(diǎn)p（x，0）到兩個(gè)定點(diǎn)N（0，2）與Q（-1，0）的距離之和，依據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，就可以知道當(dāng)x=-1也就是P點(diǎn)Q點(diǎn)重合時(shí)（即x=1）時(shí)有最小值f（x）=f（-1）=.

這里，函數(shù)的最值就是x軸上面點(diǎn)P到2個(gè)定點(diǎn)N，Q距離之和的最值.

總結(jié)：例題2中點(diǎn)P在直線x軸上面并且x取任何實(shí)數(shù)，如果限制范圍x為正數(shù)，結(jié)果會(huì)怎樣？如果點(diǎn)P范圍是在坐標(biāo)平面內(nèi)，那么點(diǎn)P到點(diǎn)A和點(diǎn)B距離之和應(yīng)該表示為……

這樣，搞清楚了以后，可以思考求函數(shù)f（x）=的最值應(yīng)該怎樣求.

三、引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)?shù)穆?lián)想類比

例3：求函數(shù)y=的最值.

通過(guò)分析引導(dǎo)，如題的形式應(yīng)該聯(lián)想到直線的斜率，y可以看成是點(diǎn)P（cosx，sinx）與A（2，1）連線的斜率，動(dòng)點(diǎn)P是圓x■+y■=1上面的點(diǎn)，過(guò)A作圓O的切線AB，AC， 得

聯(lián)想到斜率，問(wèn)題就簡(jiǎn)單了.

例4：若對(duì)于滿足 的一切實(shí)數(shù)x，y不等式x+y+m≥0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

分析：當(dāng)x，y滿足 時(shí)有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)就是個(gè)圓，要所給的不等式成立，就是要圓上的所有點(diǎn)都在直線l：x+y+m=0的上方（含直線上）即可.顯然極限位置是相切 ；不難求得 直線 的縱截距分別是-m，- 這里滿足不等式x+y+m≥0的幾何意義就是直線 上方的點(diǎn).

例5：解不等式

分析：本題是無(wú)理不等式，一般需要分類討論，但是如果構(gòu)造幾何圖形，則比較方便.令y=，則有y=2（x+）（y≥0），作出拋物線C.再令y=x-1，作直線L：x-y-1=0.

上述直線和拋物線交于點(diǎn)A（4，3）（如圖所示），∵≥x-1，∴拋物線在直線的上方，原不等式的解集為：{x|-≤x≤4}.

直觀的圖像確實(shí)有助于我們思考，但是圖像畢竟少精確；如果我們不注意結(jié)合數(shù)的嚴(yán)密性，單純依靠圖像，有時(shí)候就會(huì)誤入歧途.

例6：如果拋物線y=6x與圓（x-a）+y=4沒(méi)有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析：通常方法是這樣，利用圖像特點(diǎn)（如圖所示），觀察得圓有兩種可能，

（1）a=-2時(shí)，拋物線與圓外切；

（2）圓與拋物線內(nèi)切（即a>2）時(shí)，由方程組y=6x（x-a）+y=4消去y整理得：x-（2a-6）x+（a-4）=0，再由△=0得到a=.

最后，結(jié)合圖形可得a的范圍是：a<-2或a>.好像解答得比較順利.但是事實(shí)上方程x-（2a-6）x+（a-4）=0當(dāng)a=時(shí)的解為負(fù)根，所以圓內(nèi)切于拋物線的情況是不存在的，也就是上圖（1）右邊的相切圓是不存在的.

圖（1） 圖（2）

究其原因，還是拋物線圖像沒(méi)有畫(huà)正確，當(dāng)a>0時(shí)，因?yàn)閽佄锞€的張口比較大，如圖（2）所示，a>2才是正確答案.可見(jiàn)單純依靠圖像有時(shí)會(huì)誤入歧途.