高考解題研究之利用導數證明不等式

羅煥榮

摘 要：導數在研究函數性質的問題當中起著十分重要的作用，尤其是在處理函數性質和不等式有關的綜合性問題當中，導數往往扮演著重要的角色，需要利用導數作為工具得出函數性質，從而解決不等式問題。

關鍵詞：不等式問題；導數；函數性質；單調性；構造函數；證明過程

導數是數學解題的重要工具，同時又是初等數學和高等數學知識的一個重要交匯點。這些年高考每年均有一題以上這種類型的題目,而且常都作為壓軸題出現，因此我們很有必要研究其解題方法，只要掌握了解題方法和技巧,在高考中當我們遇到這類型題目時我們就會得心應手，問題也會迎刃而解。不等式的證明是高中數學中的重要內容之一，它又是不等式內容中的難點。證明不等式方法是很多的，但有些問題還是比較難以下手，而導數的應用就為我們開辟了一條新的途徑。在這里我們主要介紹利用導數來證明不等式。

一、例題解析

例1.求證:emnn≥mnen，(其中m>0，n>0)

證明:對不等式兩邊取以e為底的對數得，

lnemnn≥lnmnen,化簡得

m+nlnn≥nlnm+n

nln■+m-n≥0

ln■+■-1≥0 （*）

即要證原不等式成立,只要證上面（*）不等式成立就可以了。

設f′（x）=lnx+■-1（x>0）

易知f（1）=0

f′（x）=■-■=■

當x∈（0，1）時f′=（x）<0，函數f（x）為減函數

當x∈（1，+∞）時f′（x）>0，函數f（x）時,函數f（x）為增函數

∴f（1）為函數的最小值。

即f（x）≥f（1）=0

∴ln■+■-1≥0恒成立

故原不等式成立

評析:本題主要對原不等式進行變形，構造函數，再利用導數及函數的單調性來解決。

例2.已知:m、n∈N+,且1

求證:（1+m）n>（1+n）m

證明:∵1

∴2≤m

要證明（1+m）n>（1+n）m

只要證■>■成立就可以了

設f（x）=■（x≥2）

f′（x）=■

由x≥2知0<■<1；ln（1+x）1

∴f ′（x）（x）<0f（x）為單調遞減函數

∵2≤m

∴f（m）>f（n）

∴■>■

∴（1+m）n>（1+n）m

評析:本題和例1方法類似。

例3.已知函數f（x）=xlnx （x>0），斜率為k的直線與曲線f ′（x）交于A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1

證：k=■=■

要證x1<■

1<■<■，令t=■

則只要證1<■

由t>1知lnt>0，故等價于證。

lnt1）（*）

①設g（t）=t-1-lnt（t≥1），則g′（t）=1-■≥0（t≥1），故g（t）在［1，＋∞）上是增函數

∴當t>1時，g（t）=t-1-lnt>g（1）=0，即t-1>lnt（t>1）

②設h（t）=tlnt-（t-1）（t≥1），則h′（t）=lnt≥0（t≥1），故h（t）在［1，＋∞）上是增函數

∴當t>1時，h（t）=tlnt-（t-1）>h（1）=0，即t-11）

由①②知（*）成立，故不等式得證

評析:本題先利用解析幾何的知識將原不等式等價變形,再通過構造函數以及利用導數來解決問題

例4.已知函數f（x）=ln(1+x)－x，g（x）=xlnx.且0

求證:0

證明：g（x）=xlnx，g′（x）=lnx+1

設F（x）=g（a）+g（x）-2g（■）

則F′（x）=g′（a）+g′（x）-2［g（■）］′=lnx-ln■

當0

當x>a時,F′（x）>0,因此，F（x）在（0，+∞）內為增函數

從而，當x=a時F（x）有極小值F（a），因此F（a）=0，b>a，所以F（b）>0，即0

設G（x）=F（x）-（x-a）ln2，則

G′（x）=lnx-ln■-ln2=lnx-ln（a+x）

當x>a時G′（x）<0，因此G（x）在（a，+∞）上為減函數

因為G（a）=0，b>a，所以G（b）<0，即g（a）+g（b）-2g（■）<（b-a）ln2.

原不等式得證

評析:本題含有兩個不等式,因此分別構造兩個函數并利用導數來解決。

二、意蘊

以上題型都是通過對原不等式進行變形之后,觀察其特點，構造函數，然后再利用導數來進行解決問題，利用導數方法證明不等式都是難點，對綜合能力的考查達也到了相當的高度。但只要我們掌握了其解題之規律，我們就能從審視題目中很快找到解題思路，從而輕松解決。

數學知識發源于問題，活用于問題解決，問題解決實質上運用已有的知識去探索新情境的問題，以達到新問題的解決，在問題解決中作為老師一定要注重培養學生的思想方法及解題技巧，這樣才能有利于學生解題能力的拓展。

參考文獻：

馮仕虎.例說應用導數證明不等式［J］.數學學習與研究：教研版，2008（11）.

（作者單位 廣西河池市鳳山縣高中）

編輯 溫雪蓮