高等代數中的反例研究

謝余波

(咸寧市高級中學，湖北 咸寧 437100)

一、基于弱化命題條件下的反例研究

高等代數中的命題有些條件是必不可少的。當弱化命題條件時，會降低結論的可靠性，甚至會導致命題的錯誤。因此這就要求我們對命題的條件盡可能的簡化，抓住中間最主要的推理關系，只要命題中缺少必要的條件時，就可以對結論得以反駁。而推翻結論需采用列舉反例的證明方法，即舉出特定的例子來加以說明。以下通過弱化命題條件得出了關于多項式的整除、不可約多項式、線性方程解及空間直和的反例。

命題1.1 如果h(x) 整除f(x)·g(x)，且(h(x),f(x))=1，那么h(x)整除g(x)。但是，當一個多項式整除兩個多項式之積時，如果沒有互素的條件，這個多項式一般不能整除因式之一。

例設h(x)=x2-1,f(x)=(x+1)2,g(x)=(x-1)2,顯然h(x)與f(x)或g(x)都不互素。h(x)整除f(x)·g(x),但h(x)不整除f(x)且h(x)不整除g(x)。

命題1.2 設p(x)是一個不可約多項式，而f(x)是一個任意多項式，那么，或者(p(x),f(x))=1，或者p(x)整除f(x)。若p(x)是可約多項式，則上述性質不成立。

二、基于逆命題的反例研究

高等代數中充要命題有利于解決有關性質和判定的命題。但并非所有的命題都是充要的，本節通過列舉有關數域、多項式不可約性、實對稱矩陣等反例，對原命題的逆命題的成立性進行了深入的探討。

命題2.1 設f(x)≠0,h(x)為任意多項式，若(f(x),g(x))=1，則(f(x),g(x)h(x))=(f(x),h(x))，反之不真。

例則有f(x)=x2-1,g(x)=(x+1),h(x)=(x-1)2(x+1)，則有(f(x),g(x)h(x))=(f(x),h(x))=x2-1,但是(f(x),g(x))=x+1≠1。

命題2.2 如果次數≥2的有理系數多項式有有理根，那么在有理數域上它一定是可約的，反之則不然。

例f(x)=x4-4在有理數域上，有f(x)=(x2-2)(x2+2)，所以是可約的，但它無有理根。

三、基于存在性的反例研究

命題3.1[12]艾森斯坦判別法告訴我們：當f(x)=anxn+an-1xn-1+…a0是一個整系數多項式，存在一個素數p，使得：1.p不整除an

2.p/an-1,an-2,a0

3.p2不整除a0.

那么f(x)在有理數域上是不可約的。可是當我們找不到這樣的素數p，我們便不能判定其是否是可約的。

例f(x)=x2+3x+2,g(x)=x2+1，對f(x)及g(x)來說，都找不到滿足判定法條件的素數p，但f(x)在有理數域上是可約的，g(x)不可約。

四、基于矩陣性質的反例研究

矩陣是高等代數中的一個重要概念，它在其中占有突出的重要的位置，矩陣理論也是高等數學許多分支的不可缺少的工具，在處理許多實際問題上也是很有力的，而我們在學習一個新的知識的時候，為了弄清楚它的性質，往往會選擇聯系我們之前學過的內容，有時可以起到加強知識點的作用，但不合理的沿用之前的結論或無限的延伸結論往往會得到一些錯誤的命題。下面舉出一些相關的反例。

命題4.1 存在零因子，即A≠0，B≠0，但AB=0。

命題4.2 矩陣乘法的消去律不成立，即A≠0，AB=AC，未必有B=C。

于是AB=AC，且A≠0，但B≠C。

五、基于λ-矩陣特殊性的反例研究

λ-矩陣作為一種特殊的矩陣，它與一般的數字矩陣既有聯系又有區別，數字矩陣為λ-矩陣的零次矩陣，而λ-矩陣一般定義上不包含數字矩陣，故其性質往往有所差異，數字矩陣滿足的一些性質及關于數字矩陣的一些定理不可以延拓到λ-矩陣，下面就列舉一些有關λ-矩陣特殊性質的一些反例。

命題5.1 對于數字矩陣而言，滿秩與可逆等價，但對于n階λ-矩陣，滿秩不一定可逆。

命題5.2 數字矩陣如果滿秩，則可表為一系列初等矩陣之積，但滿秩λ-矩陣不一定能這么做。

在社會實踐和學習的過程中，當我們對一個問題苦思冥想而不得其解時，從反面想一想，常能獲得意外的收獲。本文就通過綜合論述高等代數中五種常見類型的反例，加深了對書中定理和定義的理解和認識，并在此基礎上靈活運用于相關的命題中，解決實際生活中的問題。