常微分方程課程教師案例式教學(xué)法探討與實踐

張秋杰　母麗華　杜紅

摘 要：為社會培養(yǎng)具有創(chuàng)新精神和實踐能力高素質(zhì)人才，需要新的教育理論和教育觀念。案例式教學(xué)是創(chuàng)新教學(xué)方法的有效途徑，它有助于加深學(xué)生對理論知識的理解，培養(yǎng)學(xué)生的實踐能力。我們在常微分方程課程中加入了案例式教學(xué)，實踐表明，教學(xué)效果很好。

關(guān)鍵詞：案例式教學(xué)；常微分方程；教學(xué)方法

中圖分類號：G640 文獻標(biāo)志碼：A 文章編號：1673-291X（2014）09-0269-03

前言

常微分方程是數(shù)學(xué)專業(yè)的一門專業(yè)基礎(chǔ)課，一般安排在第三學(xué)期。它的前期課程是：數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何、大學(xué)物理等。本課程是數(shù)學(xué)應(yīng)用于物理、力學(xué)等的橋梁，是運用數(shù)學(xué)工具解決實際問題的重要工具和基礎(chǔ)，也是加深理解數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)等課程的重要課程。常微分方程是綜合性大學(xué)數(shù)學(xué)系各專業(yè)的重要基礎(chǔ)課，也是應(yīng)用性很強的一門數(shù)學(xué)課。通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生正確理解常微分方程的基本概念，掌握基本理論和主要方法，具有一定的解題能力，為學(xué)習(xí)本學(xué)科的后續(xù)課程打下基礎(chǔ)。另一方面培養(yǎng)學(xué)生理論聯(lián)系實際分析問題和解決問題的能力。根據(jù)本門課程應(yīng)用廣泛的特點為了達到上述的教學(xué)目標(biāo)，引入案例式教學(xué)。

一、案例式教學(xué)特點

案例式教學(xué)學(xué)生分組進行，學(xué)生在案例研究中，運用課程所學(xué)的理論和方法，搜索與案例有關(guān)的信息，發(fā)揮自己的智慧運用所學(xué)的知識解決問題，使學(xué)生“參與”研究、討論從而“掌握”課程內(nèi)容的知識點。教師就學(xué)生討論給予引導(dǎo)，就學(xué)生的研究內(nèi)容加以專業(yè)點評，使學(xué)生能夠迅速掌握理論聯(lián)系實際問題的方法。案例可以把抽象的原理、概念等具體化，學(xué)生通過案例，可以明白這些原理在實際問題中的應(yīng)用之處，案例教學(xué)中每組學(xué)生聚集本組智慧的同時，也吸收了其他組的想法，達到培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神、實踐能力、團結(jié)合作的學(xué)習(xí)效果。事實證明：案例教學(xué)對學(xué)生能力現(xiàn)實提升有著極好的促進作用。

二、運用案例式教學(xué)法，應(yīng)做好以下三點

（一）教師注意案例的選取要為教學(xué)內(nèi)容服務(wù)

采用案例教學(xué)法時，案例的選擇不是隨意地拿來，而是要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)對象的不同，精心選擇，精心設(shè)計。我們要注意：首先，案例能夠恰當(dāng)?shù)姆从辰虒W(xué)內(nèi)容，為教學(xué)內(nèi)容的知識點服務(wù)；其次，案例要典型、生動，最好和現(xiàn)實生活能夠接觸到的事物聯(lián)系到一起，具有吸引力。這樣的案例貼近于學(xué)生的生活，使他們更有興趣參與，更有助于對所學(xué)內(nèi)容的理解。最后，案例難易要適應(yīng)學(xué)生理解知識的進度。一般案例要由易到難，使得學(xué)生逐漸接受知識的理解和運用，考慮學(xué)生自身能力的差異，盡量選擇和設(shè)計出所有學(xué)生都可理解接受的案例。

（二）案例式教學(xué)適當(dāng)?shù)膽?yīng)用在教學(xué)過程中，準(zhǔn)確掌控教學(xué)過程

案例教學(xué)的過程就是在已學(xué)知識的基礎(chǔ)上適度的提問引出案例，組織學(xué)生分組思考、討論、研究并自我總結(jié)，最后教師講評、總結(jié)教學(xué)內(nèi)容，從而完成教學(xué)目的的過程。在教學(xué)過程中要注意以下幾點：（1）案例提問要適度，要有目的，有層次性。所提的問題要圍繞教學(xué)內(nèi)容精心設(shè)計，突出教學(xué)內(nèi)容的知識點。一般采取由易而難，逐漸深入課題，要考慮到學(xué)生對問題的認(rèn)知順序，利用問題誘導(dǎo)學(xué)生一點一點的逐層思考，最終得出結(jié)果，從而達到全面掌握所學(xué)知識的目的。（2）教師要有掌控課堂，處理學(xué)生突發(fā)情況的能力。教師是課堂教學(xué)的“領(lǐng)航”者，不僅要視大多數(shù)學(xué)生對問題的理解、掌握情況循循誘導(dǎo)，盡量讓學(xué)生自己理解案例，得出正確結(jié)果，而且要對有不同想法的學(xué)生，給予必要的解釋，掌控課堂上的正確學(xué)術(shù)氣氛，這就要求教師上課前預(yù)想好各種可能的答案，并作好回答，以保證教學(xué)的正常進行。

（三）教師對知識點的總結(jié)要求精準(zhǔn)，對案例的分析要求詳盡、精確

教學(xué)的最后環(huán)節(jié)是知識點的歸納，教師要幫助學(xué)生整理零星的知識點，并對案例中未出現(xiàn)的知識內(nèi)容加以補充。這需要教師加深對教學(xué)內(nèi)容的掌握程度，對知識點的理解程度，和加強對案例的剖析能力。

三、常微分方程課程案例教學(xué)的實施過程

（一）案例式教學(xué)的實施步驟

第一步，首先教師根據(jù)常微分方程課程教學(xué)大綱所規(guī)定的內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)，分析內(nèi)容的重點和難點確定教學(xué)的知識點，由知識點的教學(xué)內(nèi)容選擇適合的案例，并對案例進行教學(xué)上的制準(zhǔn)備。例如制作動畫、仿真、課件、操作實驗等。第二步，教師課堂上講授不同方程的求解方法，引入比較適合的案例，與學(xué)生一起對案例開展分析和討論，并對學(xué)生留有思考問題和要求學(xué)生提交研究方案等。第三步，學(xué)生分組討論案例物理背景所提供的條件、建立微分方程求解對解函數(shù)做物理解釋并提交研究方案。第四步，教師對學(xué)生的案例分析和研究方案進行講評，總結(jié)強調(diào)案例相關(guān)的知識點和理論。第五步，學(xué)生根據(jù)之前的案例的特點分析知識點的應(yīng)用適用范圍，并尋找新的案例作為小組的討論和研究內(nèi)容，提交研究報告，教師對學(xué)生所提交的報告批改并給予指導(dǎo)。從而使學(xué)生真正的掌握教學(xué)的知識點。

實施步驟（見圖1）：

（二）常微分方程教學(xué)內(nèi)容中涉及的案例

（1）變量分離方程涉及的案例：嫌疑犯問題、人口問題、電容器充電問題、飛行員跳傘問題、細(xì)菌繁殖問題、傳染病問題；（2）齊次方程涉及的案例：探照燈反射鏡面形狀問題；（3）一階非齊次線性方程涉及的案例：RLC電路問題；（4）可降階二階微分方程涉及的案例：交通事故的勘察、懸鏈線張力分析問題、目標(biāo)跟蹤問題；（5）二階常系數(shù)線性微分方程涉及的案例：彈簧自由振動問題、強迫振動與共振問題。

（三）實施案例式教學(xué)舉例

本文利用變量分離方程涉及的案例——嫌疑犯問題為例來說明實施案例式教學(xué)的過程。

案例式教學(xué)應(yīng)用在教學(xué)中，需要教師授課前做好充足的準(zhǔn)備。為了使學(xué)生理解案例中問題的物理背景，有時需要教師利用多媒體軟件以及實驗教具輔助教學(xué)，因此，教師需要根據(jù)案例的不同準(zhǔn)備相適應(yīng)的教學(xué)手段。嫌疑犯問題采取的是動畫制作，從聲音和視覺上震撼學(xué)生，從而激發(fā)學(xué)生的興趣。endprint

首先，教師在課堂上講授變量分離方程概念、特點及求解方法。

其次，教師在課堂上播放動畫視頻提出案例。

嫌疑犯問題：受害者的尸體于晚上7∶30被發(fā)現(xiàn)。法醫(yī)于晚上8∶20趕到兇案現(xiàn)場，測得尸體溫度為32.6℃，1小時后，當(dāng)尸體即將被抬走時，測得尸體溫度為31.4℃，室溫在幾小時內(nèi)始終保持在21.1℃，此案最大的嫌疑犯是張某，但張某聲稱自己是無罪的，并有證人說：“下午張某一直在辦公室上班，5∶00時打了一個電話，打完電話后就離開了辦公室”。從張某的辦公室到受害者的家（兇案現(xiàn)場）步行需3分鐘，現(xiàn)在的問題是：張某不在現(xiàn)場的證言能否使他被排除在嫌疑犯之外？

教師用探討的方式和學(xué)生溝通“關(guān)鍵問題計算出受害者的死亡時間是否在5∶03分前，如是則張某排除在嫌疑犯之外”。教師這時提出“那么如何計算出死亡時間哪？” 大家分成四組討論，最后達成一致的想法是“求解出尸體溫度隨時間變化的函數(shù)，從而確定死亡時間”。

接著，教師引導(dǎo)學(xué)生討論案例的物理背景并建立微分方程。

解：設(shè)T（t）表示尸體的溫度函數(shù)，并記晚8∶20為t=0，則T（0）=32.6，T（1）=31.4，假設(shè)受害者死亡時體溫是正常的，即T=37℃，要確定受害者死亡的時間，也就是求T（t）=37的時刻t0，如果此時張某在辦公室，則他可被排除在嫌疑犯之外，否則張某不能排除在嫌疑犯之外。

人死后體溫調(diào)節(jié)功能消失，尸體的溫度受外界環(huán)境溫度的影響服從牛頓冷卻定律，即尸體溫度的變化率正比于尸體溫度與室溫的差，則得到方程為：

=-k（T-21.1）

這是變量分離方程。

然后，教師組織學(xué)生用變量分離方程的求解方法解出T（t）=

21.1+11.5

-t，當(dāng)T=37時，得到t≈-2.95小時≈-2小時57分，故死亡時間為8小時20分-2小時57分，即下午5∶23分，所以張某不能被排除嫌疑犯之外。

案例的整個分析、研究、建立方程、求解方程均有4個小組討論而成，教師在課堂上起啟示、引導(dǎo)的作用，當(dāng)學(xué)生得到最后的結(jié)果，教師給予講評和總結(jié)。

最后，教師歸納總結(jié)教學(xué)內(nèi)容，幫助學(xué)生梳理所學(xué)的知識點，并對無法納入到案例的內(nèi)容進行補充。教師留兩個實踐作業(yè)：（1）“如果張某的律師找到新證據(jù)，證明受害者在死亡當(dāng)天下午去醫(yī)院看病，當(dāng)時測得體溫為38.7℃”，回去進一步探討判斷一下張某是否可以排除在嫌疑犯之外？（2）提出新的案例—人口問題，讓學(xué)生自己分析問題、建立方程、求解方程，從而解決問題。通過這兩項作業(yè)，不僅讓學(xué)生獨立完成一個與教學(xué)案例相似的練習(xí)案例，而且鞏固了所學(xué)的知識。

結(jié)語

根據(jù)常微分方程課程的教學(xué)特點，在教學(xué)過程中開展案例式教學(xué)是對該門課程傳統(tǒng)教學(xué)方法的一種教學(xué)改革，通過案例式教學(xué)可以促進教師專業(yè)化發(fā)展、完善課堂教學(xué)，激發(fā)學(xué)生對課堂的學(xué)習(xí)興趣，加深學(xué)生對知識的理解和掌握程度，提高學(xué)生創(chuàng)新能力、實踐能力。案例式教學(xué)在實踐過程中，需要教師具有課堂討論的控制能力，教學(xué)內(nèi)容的專業(yè)理解能力，才能發(fā)揮案例式教學(xué)特有的優(yōu)越性。endprint