例談分類討論法在中考數(shù)學(xué)中的運(yùn)用

周鳴

摘 要： 本文通過具體事例說明了分類討論思想在近些年本省中考數(shù)學(xué)試題中的運(yùn)用.

關(guān)鍵詞： 分類討論 中考數(shù)學(xué) 運(yùn)用

在數(shù)學(xué)中常常需要根據(jù)研究對象的性質(zhì)，對各種不同的情況予以分析，這就是分類討論.由于分類討論題覆蓋的知識點(diǎn)較多，考查方式多樣，具有較高的邏輯性和綜合性，因此在這幾年的中考試題尤其是解答題中經(jīng)常用到這種方法.可以說，只要是有一定難度的試題，一般就會用到分類討論的思想.然而，一些學(xué)生在用分類思想解題時，卻常常出現(xiàn)因考慮不周而失分的現(xiàn)象，因此在平時教與學(xué)的過程中，尤其在中考復(fù)習(xí)時，對分類討論思想要進(jìn)行多方面的滲透，提高學(xué)生全面分析問題的能力，形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì).

任何分類討論方法都可以分為四個步驟：（1）確定分類對象.（2）進(jìn)行合理分類.（3）逐類討論，分級進(jìn)行.（4）歸納并作出結(jié)論.現(xiàn)從本省近幾年的中考數(shù)學(xué)試題中舉例說明分類討論思想在解題時的具體應(yīng)用.

一、根據(jù)相關(guān)政策法律和方案進(jìn)行分類

例1：（2013·徐州）為增強(qiáng)公民的節(jié)約意識，合理利用天然氣資源，某市自1月1日起對市區(qū)民用管道天然氣價格進(jìn)行調(diào)整，實(shí)行階梯式氣價，調(diào)整后的收費(fèi)價格如下表所示：

（1）若甲用戶3月份的用氣量為60m■，則應(yīng)繳費(fèi)？搖 ？搖元；

（2）若調(diào)價后每月支出的燃?xì)赓M(fèi)為y（元），每月的用氣量為x（m■），y與x之間的關(guān)系如圖所示，求a的值及y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在（2）的條件下，若乙用戶2、3月份共用氣175m■（3月份用氣量低于2月份用氣量），共繳費(fèi)455元，乙用戶2、3月份的用氣量各是多少？

分析：（1）根據(jù)單價×數(shù)量=總價就可以求出3月份應(yīng)該繳納的費(fèi)用；

（2）結(jié)合統(tǒng)計(jì)表的數(shù)據(jù)根據(jù)單價×數(shù)量=總價的關(guān)系建立方程就可以求出a值，再從0≤x≤75，75125運(yùn)用待定系數(shù)法分別表示出y與x的函數(shù)關(guān)系式即可；

（3）設(shè)乙用戶2月份用氣xm■，則3月份用氣（175﹣x）m■，分3種情況：x>125，175﹣x≤75時，75

由于我國正處于經(jīng)濟(jì)社會發(fā)展的關(guān)鍵時期，為了解決改革中出現(xiàn)的各種問題，國家相繼制定了相關(guān)法規(guī)和政策，其中不乏與中學(xué)數(shù)學(xué)知識有密切關(guān)系的.為了體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，此類問題是近些年中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)問題.如例1中的天然氣收費(fèi)問題，2012年淮安卷25題的階梯電價問題和2011年無錫卷28題的個人所得說的征收問題，解決這些問題的關(guān)鍵是要求考生運(yùn)用分類討論的思想，根據(jù)相關(guān)政策在不同階段的不同規(guī)定，求出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，最后根據(jù)題目具體要求代入數(shù)據(jù)或列出方程求出正確結(jié)果.

二、按對應(yīng)關(guān)系的不確定性進(jìn)行分類

例2：（2012·揚(yáng)州）已知拋物線y=ax■+bx+c經(jīng)過A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三點(diǎn)，直線l是拋物線的對稱軸.

（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

（2）設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個動點(diǎn)，當(dāng)△PAC的周長最小時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在直線l上是否存在點(diǎn)M，使△MAC為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

分析：（1）直接將A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中求出待定系數(shù)即可.

（2）由圖知：A、B點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，那么根據(jù)拋物線的對稱性及兩點(diǎn)之間線段最短可知：若連接BC，那么BC與直線l的交點(diǎn)即為符合條件的P點(diǎn).

（3）由于△MAC的腰和底沒有明確，因此要分三種情況討論：①M(fèi)A=AC，②MA=MC，③AC=MC.可先設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用M點(diǎn)縱坐標(biāo)表示△MAC的三邊長，再按上面三種情況列式求解.

此類問題的解決方法一般是按照題目中的條件或結(jié)論得出一些特殊幾何圖形，然后根據(jù)這些特殊圖形所具備的各種不同的對應(yīng)關(guān)系進(jìn)行分類，最后根據(jù)分類結(jié)果，依據(jù)相關(guān)數(shù)學(xué)定理如勾股定理、對應(yīng)邊相等或成比例，列出方程或函數(shù)關(guān)系式.由于此類問題易于考查學(xué)生思維的條理性和嚴(yán)密性，近幾年的中考中屢見不鮮.如例2中和2013年無錫卷26題的根據(jù)等腰三角形的腰的不確定性進(jìn)行分類，2012年徐州卷27題和2013年蘇州卷28題中△DOE與△ABC相似中對應(yīng)點(diǎn)的不確定性進(jìn)行分類.

三、按照不同的運(yùn)動狀態(tài)進(jìn)行分類

例3：（2011·淮安）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，點(diǎn)P在AB上，AP=2，點(diǎn)E、F同時從點(diǎn)P出發(fā)，分別沿PA、PB以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)A、B勻速運(yùn)動，點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)A后立刻以原速度沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動，點(diǎn)F運(yùn)動到點(diǎn)B時停止，點(diǎn)E也隨之停止.在點(diǎn)E、F運(yùn)動過程中，以EF為邊作正方形EFGH，使它與△ABC在線段AB的同側(cè).設(shè)E、F運(yùn)動的時間為t/秒（t>0），正方形EFGH與△ABC重疊部分面積為S.

（1）當(dāng)t=1時，正方形EFGH的邊長是？搖 ？搖；當(dāng)t=3時，正方形EFGH的邊長是？搖 ？搖.

（2）當(dāng)0

（3）直接答出：在整個運(yùn)動過程中，當(dāng)t為何值時，S最大？最大面積是多少？

分析：（1）當(dāng)時t=1時，可得EP=1，PF=1，EF=2即為正方形EFGH的邊長；當(dāng)t=3時，PE=1，PF=3，即EF=4；

（2）正方形EFGH與△ABC重疊部分的形狀，依次為正方形、五邊形和梯形，可分三段分別解答：

①當(dāng)0

②依次求S與t的函數(shù)關(guān)系式.

解決此類問題一般從運(yùn)動的觀點(diǎn)，根據(jù)平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱等相關(guān)知識，抓住運(yùn)動圖的一些基本特征，在不同位置構(gòu)造出不同的幾何圖形進(jìn)行分類討論，然后利用相似、面積公式和三角函數(shù)等知識求出關(guān)于時間t對應(yīng)函數(shù)關(guān)系式.由于運(yùn)動形式和運(yùn)動元素的多樣性，近些年此類問題的試題呈現(xiàn)一些新的特點(diǎn)，如本例中和2013年連云港卷26題的兩個動點(diǎn)問題，2012年淮安卷27題矩形旋轉(zhuǎn)問題，2011年鹽城卷28題動直線與圓的位置關(guān)系問題，雖然題目形式變化多樣，但應(yīng)用上述方法一般都可解決此類問題.

四、由參數(shù)的變化引起的分類討論

例4：（2011·南京）已知函數(shù)y=mx■-6x+1（m是常數(shù)），⑴求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖像都經(jīng)過y軸上的一個定點(diǎn)；⑵若該函數(shù)的圖像與x軸只有一個交點(diǎn)，求m的值.

分析：（1）由于二次函數(shù)的常數(shù)項(xiàng)為1，故x=0時，y=1得證.

（2）考慮一次函數(shù)和二次函數(shù)兩種情況，m=0函數(shù)為一次函數(shù)，與x軸有一個交點(diǎn)，m≠0函數(shù)為二次函數(shù)，由函數(shù)y=f（x）與x軸有一個交點(diǎn)的要求，對應(yīng)的一元二次方程f（x）=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，即根的判別式等于0.

求解某些含參數(shù)的數(shù)學(xué)問題時，由于參數(shù)的取值不同會導(dǎo)致所得結(jié)果不同，因此不同的參數(shù)值要運(yùn)用不同的求解或證明方法.如本文例4中的由于參數(shù)m的不確定性，需對函數(shù)類型進(jìn)行分類討論.根據(jù)數(shù)學(xué)中參數(shù)存在的形式不同，分類方法也不同.如2012年泰州卷28題，利用參數(shù)表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)坐標(biāo)滿足條件進(jìn)行分類；2012年鎮(zhèn)江卷27題中先求出由t決定再生二次函數(shù)，然后根據(jù)再生二次函數(shù)經(jīng)過的不同點(diǎn)進(jìn)行分類，求出相應(yīng)t的值.

總之，當(dāng)涉及的數(shù)學(xué)問題較復(fù)雜，難于按照統(tǒng)一的方式方法加以解決時，需要把待解決問題劃分為若干方面加以解決，最后得到問題的全部解決.分類討論思想在中考試題中的應(yīng)用很廣泛，需要學(xué)生在平時解題時仔細(xì)體會.

參考文獻(xiàn)：

[1]鈕必伍.考試，2009（11）.

[2]張洪斌.科技信息（科學(xué)·教研），2009（8）.

[3]鄭春安.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志（初中版），2010（3）.

[4]薛清華.四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報，2010（6）.

摘 要： 本文通過具體事例說明了分類討論思想在近些年本省中考數(shù)學(xué)試題中的運(yùn)用.

關(guān)鍵詞： 分類討論 中考數(shù)學(xué) 運(yùn)用

在數(shù)學(xué)中常常需要根據(jù)研究對象的性質(zhì)，對各種不同的情況予以分析，這就是分類討論.由于分類討論題覆蓋的知識點(diǎn)較多，考查方式多樣，具有較高的邏輯性和綜合性，因此在這幾年的中考試題尤其是解答題中經(jīng)常用到這種方法.可以說，只要是有一定難度的試題，一般就會用到分類討論的思想.然而，一些學(xué)生在用分類思想解題時，卻常常出現(xiàn)因考慮不周而失分的現(xiàn)象，因此在平時教與學(xué)的過程中，尤其在中考復(fù)習(xí)時，對分類討論思想要進(jìn)行多方面的滲透，提高學(xué)生全面分析問題的能力，形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì).

任何分類討論方法都可以分為四個步驟：（1）確定分類對象.（2）進(jìn)行合理分類.（3）逐類討論，分級進(jìn)行.（4）歸納并作出結(jié)論.現(xiàn)從本省近幾年的中考數(shù)學(xué)試題中舉例說明分類討論思想在解題時的具體應(yīng)用.

一、根據(jù)相關(guān)政策法律和方案進(jìn)行分類

例1：（2013·徐州）為增強(qiáng)公民的節(jié)約意識，合理利用天然氣資源，某市自1月1日起對市區(qū)民用管道天然氣價格進(jìn)行調(diào)整，實(shí)行階梯式氣價，調(diào)整后的收費(fèi)價格如下表所示：

（1）若甲用戶3月份的用氣量為60m■，則應(yīng)繳費(fèi)？搖 ？搖元；

（2）若調(diào)價后每月支出的燃?xì)赓M(fèi)為y（元），每月的用氣量為x（m■），y與x之間的關(guān)系如圖所示，求a的值及y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在（2）的條件下，若乙用戶2、3月份共用氣175m■（3月份用氣量低于2月份用氣量），共繳費(fèi)455元，乙用戶2、3月份的用氣量各是多少？

分析：（1）根據(jù)單價×數(shù)量=總價就可以求出3月份應(yīng)該繳納的費(fèi)用；

（2）結(jié)合統(tǒng)計(jì)表的數(shù)據(jù)根據(jù)單價×數(shù)量=總價的關(guān)系建立方程就可以求出a值，再從0≤x≤75，75125運(yùn)用待定系數(shù)法分別表示出y與x的函數(shù)關(guān)系式即可；

（3）設(shè)乙用戶2月份用氣xm■，則3月份用氣（175﹣x）m■，分3種情況：x>125，175﹣x≤75時，75

由于我國正處于經(jīng)濟(jì)社會發(fā)展的關(guān)鍵時期，為了解決改革中出現(xiàn)的各種問題，國家相繼制定了相關(guān)法規(guī)和政策，其中不乏與中學(xué)數(shù)學(xué)知識有密切關(guān)系的.為了體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，此類問題是近些年中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)問題.如例1中的天然氣收費(fèi)問題，2012年淮安卷25題的階梯電價問題和2011年無錫卷28題的個人所得說的征收問題，解決這些問題的關(guān)鍵是要求考生運(yùn)用分類討論的思想，根據(jù)相關(guān)政策在不同階段的不同規(guī)定，求出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，最后根據(jù)題目具體要求代入數(shù)據(jù)或列出方程求出正確結(jié)果.

二、按對應(yīng)關(guān)系的不確定性進(jìn)行分類

例2：（2012·揚(yáng)州）已知拋物線y=ax■+bx+c經(jīng)過A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三點(diǎn)，直線l是拋物線的對稱軸.

（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

（2）設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個動點(diǎn)，當(dāng)△PAC的周長最小時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在直線l上是否存在點(diǎn)M，使△MAC為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

分析：（1）直接將A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中求出待定系數(shù)即可.

（2）由圖知：A、B點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，那么根據(jù)拋物線的對稱性及兩點(diǎn)之間線段最短可知：若連接BC，那么BC與直線l的交點(diǎn)即為符合條件的P點(diǎn).

（3）由于△MAC的腰和底沒有明確，因此要分三種情況討論：①M(fèi)A=AC，②MA=MC，③AC=MC.可先設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用M點(diǎn)縱坐標(biāo)表示△MAC的三邊長，再按上面三種情況列式求解.

此類問題的解決方法一般是按照題目中的條件或結(jié)論得出一些特殊幾何圖形，然后根據(jù)這些特殊圖形所具備的各種不同的對應(yīng)關(guān)系進(jìn)行分類，最后根據(jù)分類結(jié)果，依據(jù)相關(guān)數(shù)學(xué)定理如勾股定理、對應(yīng)邊相等或成比例，列出方程或函數(shù)關(guān)系式.由于此類問題易于考查學(xué)生思維的條理性和嚴(yán)密性，近幾年的中考中屢見不鮮.如例2中和2013年無錫卷26題的根據(jù)等腰三角形的腰的不確定性進(jìn)行分類，2012年徐州卷27題和2013年蘇州卷28題中△DOE與△ABC相似中對應(yīng)點(diǎn)的不確定性進(jìn)行分類.

三、按照不同的運(yùn)動狀態(tài)進(jìn)行分類

例3：（2011·淮安）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，點(diǎn)P在AB上，AP=2，點(diǎn)E、F同時從點(diǎn)P出發(fā)，分別沿PA、PB以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)A、B勻速運(yùn)動，點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)A后立刻以原速度沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動，點(diǎn)F運(yùn)動到點(diǎn)B時停止，點(diǎn)E也隨之停止.在點(diǎn)E、F運(yùn)動過程中，以EF為邊作正方形EFGH，使它與△ABC在線段AB的同側(cè).設(shè)E、F運(yùn)動的時間為t/秒（t>0），正方形EFGH與△ABC重疊部分面積為S.

（1）當(dāng)t=1時，正方形EFGH的邊長是？搖 ？搖；當(dāng)t=3時，正方形EFGH的邊長是？搖 ？搖.

（2）當(dāng)0

（3）直接答出：在整個運(yùn)動過程中，當(dāng)t為何值時，S最大？最大面積是多少？

分析：（1）當(dāng)時t=1時，可得EP=1，PF=1，EF=2即為正方形EFGH的邊長；當(dāng)t=3時，PE=1，PF=3，即EF=4；

（2）正方形EFGH與△ABC重疊部分的形狀，依次為正方形、五邊形和梯形，可分三段分別解答：

①當(dāng)0

②依次求S與t的函數(shù)關(guān)系式.

解決此類問題一般從運(yùn)動的觀點(diǎn)，根據(jù)平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱等相關(guān)知識，抓住運(yùn)動圖的一些基本特征，在不同位置構(gòu)造出不同的幾何圖形進(jìn)行分類討論，然后利用相似、面積公式和三角函數(shù)等知識求出關(guān)于時間t對應(yīng)函數(shù)關(guān)系式.由于運(yùn)動形式和運(yùn)動元素的多樣性，近些年此類問題的試題呈現(xiàn)一些新的特點(diǎn)，如本例中和2013年連云港卷26題的兩個動點(diǎn)問題，2012年淮安卷27題矩形旋轉(zhuǎn)問題，2011年鹽城卷28題動直線與圓的位置關(guān)系問題，雖然題目形式變化多樣，但應(yīng)用上述方法一般都可解決此類問題.

四、由參數(shù)的變化引起的分類討論

例4：（2011·南京）已知函數(shù)y=mx■-6x+1（m是常數(shù)），⑴求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖像都經(jīng)過y軸上的一個定點(diǎn)；⑵若該函數(shù)的圖像與x軸只有一個交點(diǎn)，求m的值.

分析：（1）由于二次函數(shù)的常數(shù)項(xiàng)為1，故x=0時，y=1得證.

（2）考慮一次函數(shù)和二次函數(shù)兩種情況，m=0函數(shù)為一次函數(shù)，與x軸有一個交點(diǎn)，m≠0函數(shù)為二次函數(shù)，由函數(shù)y=f（x）與x軸有一個交點(diǎn)的要求，對應(yīng)的一元二次方程f（x）=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，即根的判別式等于0.

求解某些含參數(shù)的數(shù)學(xué)問題時，由于參數(shù)的取值不同會導(dǎo)致所得結(jié)果不同，因此不同的參數(shù)值要運(yùn)用不同的求解或證明方法.如本文例4中的由于參數(shù)m的不確定性，需對函數(shù)類型進(jìn)行分類討論.根據(jù)數(shù)學(xué)中參數(shù)存在的形式不同，分類方法也不同.如2012年泰州卷28題，利用參數(shù)表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)坐標(biāo)滿足條件進(jìn)行分類；2012年鎮(zhèn)江卷27題中先求出由t決定再生二次函數(shù)，然后根據(jù)再生二次函數(shù)經(jīng)過的不同點(diǎn)進(jìn)行分類，求出相應(yīng)t的值.

總之，當(dāng)涉及的數(shù)學(xué)問題較復(fù)雜，難于按照統(tǒng)一的方式方法加以解決時，需要把待解決問題劃分為若干方面加以解決，最后得到問題的全部解決.分類討論思想在中考試題中的應(yīng)用很廣泛，需要學(xué)生在平時解題時仔細(xì)體會.

參考文獻(xiàn)：

[1]鈕必伍.考試，2009（11）.

[2]張洪斌.科技信息（科學(xué)·教研），2009（8）.

[3]鄭春安.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志（初中版），2010（3）.

[4]薛清華.四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報，2010（6）.

摘 要： 本文通過具體事例說明了分類討論思想在近些年本省中考數(shù)學(xué)試題中的運(yùn)用.

關(guān)鍵詞： 分類討論 中考數(shù)學(xué) 運(yùn)用

在數(shù)學(xué)中常常需要根據(jù)研究對象的性質(zhì)，對各種不同的情況予以分析，這就是分類討論.由于分類討論題覆蓋的知識點(diǎn)較多，考查方式多樣，具有較高的邏輯性和綜合性，因此在這幾年的中考試題尤其是解答題中經(jīng)常用到這種方法.可以說，只要是有一定難度的試題，一般就會用到分類討論的思想.然而，一些學(xué)生在用分類思想解題時，卻常常出現(xiàn)因考慮不周而失分的現(xiàn)象，因此在平時教與學(xué)的過程中，尤其在中考復(fù)習(xí)時，對分類討論思想要進(jìn)行多方面的滲透，提高學(xué)生全面分析問題的能力，形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì).

任何分類討論方法都可以分為四個步驟：（1）確定分類對象.（2）進(jìn)行合理分類.（3）逐類討論，分級進(jìn)行.（4）歸納并作出結(jié)論.現(xiàn)從本省近幾年的中考數(shù)學(xué)試題中舉例說明分類討論思想在解題時的具體應(yīng)用.

一、根據(jù)相關(guān)政策法律和方案進(jìn)行分類

例1：（2013·徐州）為增強(qiáng)公民的節(jié)約意識，合理利用天然氣資源，某市自1月1日起對市區(qū)民用管道天然氣價格進(jìn)行調(diào)整，實(shí)行階梯式氣價，調(diào)整后的收費(fèi)價格如下表所示：

（1）若甲用戶3月份的用氣量為60m■，則應(yīng)繳費(fèi)？搖 ？搖元；

（2）若調(diào)價后每月支出的燃?xì)赓M(fèi)為y（元），每月的用氣量為x（m■），y與x之間的關(guān)系如圖所示，求a的值及y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在（2）的條件下，若乙用戶2、3月份共用氣175m■（3月份用氣量低于2月份用氣量），共繳費(fèi)455元，乙用戶2、3月份的用氣量各是多少？

分析：（1）根據(jù)單價×數(shù)量=總價就可以求出3月份應(yīng)該繳納的費(fèi)用；

（2）結(jié)合統(tǒng)計(jì)表的數(shù)據(jù)根據(jù)單價×數(shù)量=總價的關(guān)系建立方程就可以求出a值，再從0≤x≤75，75125運(yùn)用待定系數(shù)法分別表示出y與x的函數(shù)關(guān)系式即可；

（3）設(shè)乙用戶2月份用氣xm■，則3月份用氣（175﹣x）m■，分3種情況：x>125，175﹣x≤75時，75

由于我國正處于經(jīng)濟(jì)社會發(fā)展的關(guān)鍵時期，為了解決改革中出現(xiàn)的各種問題，國家相繼制定了相關(guān)法規(guī)和政策，其中不乏與中學(xué)數(shù)學(xué)知識有密切關(guān)系的.為了體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，此類問題是近些年中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)問題.如例1中的天然氣收費(fèi)問題，2012年淮安卷25題的階梯電價問題和2011年無錫卷28題的個人所得說的征收問題，解決這些問題的關(guān)鍵是要求考生運(yùn)用分類討論的思想，根據(jù)相關(guān)政策在不同階段的不同規(guī)定，求出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，最后根據(jù)題目具體要求代入數(shù)據(jù)或列出方程求出正確結(jié)果.

二、按對應(yīng)關(guān)系的不確定性進(jìn)行分類

例2：（2012·揚(yáng)州）已知拋物線y=ax■+bx+c經(jīng)過A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三點(diǎn)，直線l是拋物線的對稱軸.

（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

（2）設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個動點(diǎn)，當(dāng)△PAC的周長最小時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在直線l上是否存在點(diǎn)M，使△MAC為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

分析：（1）直接將A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中求出待定系數(shù)即可.

（2）由圖知：A、B點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，那么根據(jù)拋物線的對稱性及兩點(diǎn)之間線段最短可知：若連接BC，那么BC與直線l的交點(diǎn)即為符合條件的P點(diǎn).

（3）由于△MAC的腰和底沒有明確，因此要分三種情況討論：①M(fèi)A=AC，②MA=MC，③AC=MC.可先設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用M點(diǎn)縱坐標(biāo)表示△MAC的三邊長，再按上面三種情況列式求解.

此類問題的解決方法一般是按照題目中的條件或結(jié)論得出一些特殊幾何圖形，然后根據(jù)這些特殊圖形所具備的各種不同的對應(yīng)關(guān)系進(jìn)行分類，最后根據(jù)分類結(jié)果，依據(jù)相關(guān)數(shù)學(xué)定理如勾股定理、對應(yīng)邊相等或成比例，列出方程或函數(shù)關(guān)系式.由于此類問題易于考查學(xué)生思維的條理性和嚴(yán)密性，近幾年的中考中屢見不鮮.如例2中和2013年無錫卷26題的根據(jù)等腰三角形的腰的不確定性進(jìn)行分類，2012年徐州卷27題和2013年蘇州卷28題中△DOE與△ABC相似中對應(yīng)點(diǎn)的不確定性進(jìn)行分類.

三、按照不同的運(yùn)動狀態(tài)進(jìn)行分類

例3：（2011·淮安）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，點(diǎn)P在AB上，AP=2，點(diǎn)E、F同時從點(diǎn)P出發(fā)，分別沿PA、PB以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)A、B勻速運(yùn)動，點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)A后立刻以原速度沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動，點(diǎn)F運(yùn)動到點(diǎn)B時停止，點(diǎn)E也隨之停止.在點(diǎn)E、F運(yùn)動過程中，以EF為邊作正方形EFGH，使它與△ABC在線段AB的同側(cè).設(shè)E、F運(yùn)動的時間為t/秒（t>0），正方形EFGH與△ABC重疊部分面積為S.

（1）當(dāng)t=1時，正方形EFGH的邊長是？搖 ？搖；當(dāng)t=3時，正方形EFGH的邊長是？搖 ？搖.

（2）當(dāng)0

（3）直接答出：在整個運(yùn)動過程中，當(dāng)t為何值時，S最大？最大面積是多少？

分析：（1）當(dāng)時t=1時，可得EP=1，PF=1，EF=2即為正方形EFGH的邊長；當(dāng)t=3時，PE=1，PF=3，即EF=4；

（2）正方形EFGH與△ABC重疊部分的形狀，依次為正方形、五邊形和梯形，可分三段分別解答：

①當(dāng)0

②依次求S與t的函數(shù)關(guān)系式.

解決此類問題一般從運(yùn)動的觀點(diǎn)，根據(jù)平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱等相關(guān)知識，抓住運(yùn)動圖的一些基本特征，在不同位置構(gòu)造出不同的幾何圖形進(jìn)行分類討論，然后利用相似、面積公式和三角函數(shù)等知識求出關(guān)于時間t對應(yīng)函數(shù)關(guān)系式.由于運(yùn)動形式和運(yùn)動元素的多樣性，近些年此類問題的試題呈現(xiàn)一些新的特點(diǎn)，如本例中和2013年連云港卷26題的兩個動點(diǎn)問題，2012年淮安卷27題矩形旋轉(zhuǎn)問題，2011年鹽城卷28題動直線與圓的位置關(guān)系問題，雖然題目形式變化多樣，但應(yīng)用上述方法一般都可解決此類問題.

四、由參數(shù)的變化引起的分類討論

例4：（2011·南京）已知函數(shù)y=mx■-6x+1（m是常數(shù)），⑴求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖像都經(jīng)過y軸上的一個定點(diǎn)；⑵若該函數(shù)的圖像與x軸只有一個交點(diǎn)，求m的值.

分析：（1）由于二次函數(shù)的常數(shù)項(xiàng)為1，故x=0時，y=1得證.

（2）考慮一次函數(shù)和二次函數(shù)兩種情況，m=0函數(shù)為一次函數(shù)，與x軸有一個交點(diǎn)，m≠0函數(shù)為二次函數(shù)，由函數(shù)y=f（x）與x軸有一個交點(diǎn)的要求，對應(yīng)的一元二次方程f（x）=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，即根的判別式等于0.

求解某些含參數(shù)的數(shù)學(xué)問題時，由于參數(shù)的取值不同會導(dǎo)致所得結(jié)果不同，因此不同的參數(shù)值要運(yùn)用不同的求解或證明方法.如本文例4中的由于參數(shù)m的不確定性，需對函數(shù)類型進(jìn)行分類討論.根據(jù)數(shù)學(xué)中參數(shù)存在的形式不同，分類方法也不同.如2012年泰州卷28題，利用參數(shù)表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)坐標(biāo)滿足條件進(jìn)行分類；2012年鎮(zhèn)江卷27題中先求出由t決定再生二次函數(shù)，然后根據(jù)再生二次函數(shù)經(jīng)過的不同點(diǎn)進(jìn)行分類，求出相應(yīng)t的值.

總之，當(dāng)涉及的數(shù)學(xué)問題較復(fù)雜，難于按照統(tǒng)一的方式方法加以解決時，需要把待解決問題劃分為若干方面加以解決，最后得到問題的全部解決.分類討論思想在中考試題中的應(yīng)用很廣泛，需要學(xué)生在平時解題時仔細(xì)體會.

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