高一學生對函數對應關系的理解偏差及解決對策

楊瓊洲

摘要：函數對應關系是高中學生經常出現理解偏差的重要知識點，分析學生出現理解偏差的原因并從根源予以杜絕、糾正，是確保學生得以順利掌握函數對應關系概念的關鍵。本文分析了高一學生函數對應關系理解偏差的原因，并探討了解決對策，希望能為高中函數教學提供新思路。

關鍵詞：函數對應關系；概念；偏差；理解

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）10-105-02

我國數學教學歷來重視基礎的學習，函數對應關系作為中學最重要也最復雜的概念之一，是教學過程中學生們經常出現表述模糊或理解偏差的難點之一，為何學生們對這個概念的理解經常出現失誤，是數學教學中我們需要反思的重要課題，也是教學中需要予以積極引導和解決的難點。下面我們結合高中數學教學中學生對函數對應關系理解偏差出現的原因和解決對策加以分析探究。

一、 高一學生函數對應關系理解偏差的原因

函數對應關系定義：函數的核心是對應關系.在函數符號y＝f(x)中，f是表示函數的對應關系，等式y＝f(x)表明，對于定義域中的任意x，在對應關系f的作用下，可得到y，因此，f是使“對應”得以實現的方法和途徑。高一學生函數概念的理解水平低，出現偏差的情況比比皆是，這主要與三個原因有關。

1、學習態度

學生高一學習函數對應關系是在高一上學期開始，此時學生們正結束初中生活，心態極度放松，中學學習過的一次、二次和反比例函數知識已然變淡，在高一開始學習時多數不會做過多詳細的復習，對于突然間開始學習函數對應關系的學生而言在認識上有一定阻礙與排斥。

2、函數概念的抽象性

函數概念本身的復雜性和發展性，作為高中數學中的一個重要知識點，函數對應關系形式豐富多彩，形成函數關系的兩個集合元素可以是任意的，對于學生而言，深入理解難度較大，學生不易從多樣的表征形式中抽象出函數共同的本質的對應關系，無法排除非本質因素的干擾去正確識別表征類型[1]。從初中簡單的x變量與y變量的對應關系到高中變量與集合的對應關系，函數概念變得更加復雜多元化，使得學生頭腦中存在著多種函數表象，無法抽象統一，造成理解混亂。

3、初中函數概念的負遷移

函數對應關系本身概念抽象且內涵豐富，學生在初接觸時如果未及時理清其內涵與外延之間關系，得出簡明扼要的理解，就會為之后概念的深入理解和再現埋下隱患，但是如果過度解讀概念，也會使得學生覺得難度加大，不知所云。

二、高一學生函數對應關系理解偏差的類型及解決對策

對于學生在函數對應關系理解偏差這個問題，要從多個方面入手，解決問題，注重教學觀念的更新與方法的進步，從表征形式的識別和轉換角度引導學生區分本質和非本質因素，從而讓學生掌握函數對應關系的本質，結合自身理解與認識扭轉偏差。具體到教學中，可以從余下方面做出改變：

1、早期注重概念的滲透

早期要注重函數概念的滲透。高一函數教學中，學生受中學函數思想影響，在初期學習時并未意識到函數的對應關系，只是根據頭腦中熟悉的幾種函數模型來識別函數，或是認為函數是含有字母的等式、變量的關系式，從而出現認知偏差。基于此，要注重引導學生理解和認識函數對應關系思想，正確與初中所學知識相區分，了解到量與量之間的依存性，在通過數的概念的發展，讓學生明確幾何的概念、思想和意義，并批核坐標與數軸等教學，逐步滲透并確立對應關系的思想，在此鋪墊基礎上，學生日后在接觸概念時才可能盡少的出現偏差。對于剛升上高一的學生，學習函數時必須對一次、二次和反比例函數的解析式和圖像及圖像上變量的關系做詳細復習，以便讓抽象的函數概念可以以具體的函數為依托，遵循從特殊到一般的認知規律，根據學生認知特點，完成難易過渡，防止偏差與混淆。

2、中期著眼于微觀

學生在初步學習后，對函數對應關系已有所認識，但是只局限于了解函數表對應關系，不了解函數對應的內涵，認知上較為寬泛，不細致、不深入，是一種全局式的泛泛了解。對于高一新生而言，初中函數的學習著眼于全局，重點考察宏觀數量之間的彼此依存關系，關注總體發展趨勢，高中函數則著眼于微觀，關注靜態發展，尤其是兩個數集之間對應關系的描述，這種宏觀與微觀上的差異也是造成學生落差過大，學習與理解難度增大的原因之一，需要在教學中引導學生逐步認識。比如在講述集合時，讓學生夯實基礎，借助veen圖和圓與圓加箭頭的樹圖讓學生反復理解A、B兩個集合關系，及其和初中所學x、y兩變量的關系，讓學生形象理解集合的對應。對y=f（x）中的對應法則“f”的理解可進行以下形象的比喻：“（ ）”就像一個加工廠，“x”就像進入了加工廠的原材料，則“f”就是加工程序。只有滿足了規格即定義域的產品才能進入工廠，而進入到工廠的原材料即x就必須按照加工程序f進行加工。如函數 中，只要是非負數就按照加程序“開平方根”進行加工，故有 ， 。

3、后期注重知識建構

當學生對函數對應關系的認識已經逐步深入之后，在整體把握上多數會出現偏差，雖然可以理解“單值對應”關系，但在對變化了的、不熟悉的函數表征形式則常常難以區分自變量和函數值。因此，教學中要注重學生對函數概念的掌握過程的體驗，及時修正錯誤概念。通過揭示學生知識發生、發展的過程幫助其加強理解，構筑起完整的知識框架，從實際問題引入，完成知識建構。對于教學中發現的學生認識錯誤，及時予以指導和糾正，鼓勵學生明晰正確概念與錯誤概念之間的差異，從而針對性的加以修正[2]。教師要簡明扼要的將函數概念的實質、靈魂抽取出來，將之變成學生口頭能說、腦子易記、今后能夠慢慢理解的東西，比如可以將函數的概念簡述為——任意、唯一四字，以此為主干，讓學生自己不斷充實豐滿。或者將函數對應關系分為清晰的層次加以描述，比如任取的一個x必對應唯一的y，即一對一，如y=x；任取的y不一定對應唯一的x，即一對多，如y=x2；任意一個x不可對應多個y，即不可一對多，如y2=x不是函數。這種層次描述可以幫助學生更好的理解和記憶，糾正偏差。

函數對應關系認知偏差作為高中數學教學中的一個典型問題，造成學生認知偏差的原因有多種，只有在深入認識分析這些原因的基礎上通過針對性對策予以解決，才能夠真正解決學生學習中的這個大難點，更好的完成數學知識的學習。

參考文獻：

[1] 宋健.高中學生函數概念理解水平的初步研究[D].蘇州大學,2010.

[2] 李吉寶.數學概念教學應該幫助學生形成七種數學觀念[J].數學教育學報,2011(02)