淺析轉移矩陣分析法的應用

高卓

（華南農業大學 珠江學院，廣東 廣州 510900）

淺析轉移矩陣分析法的應用

高卓

（華南農業大學 珠江學院，廣東 廣州 510900）

隨機變量只要具有馬爾可夫隨機過程的特征，都可以用轉移矩陣法構建數學模型進行分析.通過教學質量評價的實例來說明怎么使用轉移矩陣分析法，并得到用轉移矩陣分析法進行評價能更好地反映學習的轉變情況.

馬爾可夫鏈；轉移矩陣分析法；數學模型

1 知識背景

20世紀初，俄國數學家馬爾科夫提出了轉移矩陣，他發現：一個系統的某些因素在轉移中，第n次結果只受第n-1的結果影響，即只與當前所處狀態有關，而與過去狀態無關.就像荷花池中的一只青蛙的跳躍一樣，青蛙依照它起跳瞬間的念頭從一片荷葉跳到另一片荷葉上，因為青蛙是沒有記憶的，當現在所處位置已知時，它下一步跳往何處和它以往走過的路徑無關.現假設所有可能的狀態為1,2,…,n，則Pij表示系統由狀態i經過一次轉移后到達狀態j的概率，那么轉移矩陣為

如果從初始狀態S0出發，經過n步轉移之后的狀態Sn=S0Pn，那么當n→∞時的極限狀態就為齊次馬爾可夫鏈的平穩分布.設平穩分布為S，則有S=SP，即(I-PT)ST=0可以得到平穩分布S=(s1,s2,…, sn)，其中I為單位矩陣.

2 實例分析

實例分析怎樣運用轉移矩陣分析法對兩名數學教師的教學質量進行評估.

設某校同一年級相同專業的兩個班A、B，每個班各有48名學生，第一學期由同一個數學老師任教高等數學（上），但第二學期分別由兩名老師任教高等數學（下），以下兩表為兩個班的高等數學（上、下）期末成績，試分析哪班的數學老師教學效果更好一些.

表1 A班考試成績

表2 B班考試成績

如果單從均分來衡量兩個班的教學效果，則根據A班高等數學（下）的平均分為58.83，而B班為68.69，顯然B班要好于A班.但是A班高等數學（上）的平均分為62.81，B班為72.88，明顯B班高于A班，所以單憑均分考慮的話就忽略了兩個班學生的基礎差異，學生從第一學期到第二學期學習進步情況沒有反應出來，并不能真實反應教師的教學質量.而利用轉移矩陣分析法就可以較好地彌補這一缺陷.

3 數學模型

我們將學生的考試成績分為五個等級：不及格[0,60)、及格[60,70)、中[70,80)、良[80,90)和優[90,100]，分別用狀態1,2,3,4,5表示.成績的變化過程可以看做以{1,2,3,4,5}為狀態空間的馬爾可夫鏈.我們用ni表示高等數學（上）處于狀態i的總人數，nij表示由高等數學（上）的狀態i轉移到高等數學（下）的狀態j的人數，則反映學生從i轉移到j的可能性大小，Pij構成轉移矩陣P.由表1和表2得到A班和B班的轉移數據如表3.

表3 兩個班的轉移數據

由此得到A班和B班的轉移矩陣分別為：

分別代入 (I-PT)ST=0，并加入方程s1+s2+s3+s4+s5=1，得到兩個方程組，如下：

利用Excel可以解出方程組A的解為：

從這兩組解可以看出，如果兩個班的教學條件一直保持不變，兩個班的不及格率都達到一半以上，并且比較接近，都為56%左右.若為了對遠期的整體情況進行評估，可取每個狀態的中值為等級分，比如狀態1不及格[0,60)為30分，狀態2及格[60,70)為65分，以此類推，狀態5優[90,100]為95分，則兩個班的預期總分分別為：

由此可見，SA>SB，即A班教師的教學效果高于B班教師，這和我們單從平均分來評價兩個班數學老師教學效果是恰恰相反的.

4 應用結論

轉移矩陣分析法是在馬爾可夫過程假設前提下，通過分析隨機變量的現時變化情況來預測未來變化情況的一種預測方法.這種方法已成為市場預測的有效工具，同時也應用在企業的人力資源管理上.當然，如果隨機變量滿足馬爾可夫隨機現象的特征，則都可以運用轉移矩陣分析法.比如本文中評價教師教學效果的實例，在教師、學生、教學條件等情況基本穩定不變的條件下，全過程的教學情況趨于穩定性，由相鄰兩階段的變化情況可以推測后面的變化情況.從而運用轉移矩陣分析法來評價教學效果就比單純用分數評價更具合理性.

〔1〕S.M.勞斯.隨機過程[M].北京:中國統計出版社, 1997:114-148.

〔2〕彭玉忠.基于馬爾可夫鏈的教學階段性評價和遠期預測模型[J].安慶師范學院學報（自然科學版）,2009,15(4):92-95.

〔3〕張雅清.馬爾可夫鏈在教學質量評價中的應用[J].湖北廣播電視大學學報,2010,30(3):128-129.

〔4〕朱風琴,徐伯華.大學生數學成績轉移的實證研究與啟示[J].大學教育,2012,1(12):38-40.

〔5〕沈晉會.馬爾可夫鏈法在教學質量評估中的應用[J].內蒙古師范大學學報（教育科學版）,2013, 26(6):10-13.

O151.21

A

1673-260X（2014）03-0001-03

華南農業大學珠江學院2012年度科技基金項目資助（HZKJ201220）