廣義Camassa-Holm方程的幾種新結論

伊麗娜,包俊東,套格圖桑

(內蒙古師范大學數學科學學院,內蒙古呼和浩特　010022)

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廣義Camassa-Holm方程的幾種新結論

伊麗娜,包俊東,套格圖桑

(內蒙古師范大學數學科學學院,內蒙古呼和浩特010022)

摘要：給出一種輔助方程的幾種新結論,構造了廣義Camassa-Holm方程的多種無窮序列新解.首先,利用首次積分與函數變換,給出了一種輔助方程的新解、B¨acklund變換和解的非線性疊加公式.然后,通過函數變換,把廣義Camassa-Holm方程的求解問題轉化為非線性常微分方程的求解問題.最后,借助符號計算系統Mathematica,構造了廣義Camassa-Holm方程的多種無窮序列新解.

關鍵詞：廣義Camassa-Holm方程;輔助方程;首次積分;多種新解

1　引言

1993年, Camassa和Holm在CH方程[1]中首次獲得了尖峰孤立子解:

其中k是常數.

在Camassa-Holm方程中,發現尖峰孤立子解后在其他孤立子方程中不僅發現了此類新解,還發現了另外一種新解,即緊孤立子解.文獻[2]推導出CH-r方程,并獲得了尖峰孤立子解.

其中c0,α/= 0, r是常數.

文獻[3-4]用定性分析理論,研究了Degasperis-Procesi方程(3)的求解問題,獲得了尖峰孤立波解和周期尖波解.

其中α,β,γ,δ,θ和c0均為常數.

文獻[5-6]分別研究K(m,n)方程和B(m,n)方程,獲得了三角函數型緊孤立子解.文獻[7]用試探函數法,研究證明了廣義Camassa-Holm方程(4)存在緊孤立子解.并獲得了三角函數型緊孤立子解和雙曲函數型孤立子解.

其中k,α,β,γ,δ和p均為任意常數.

當

時,廣義Camassa-Holm方程(4)轉化為Camassa-Holm方程(1).

廣義Camassa-Holm方程(4)具有重要研究價值.本文用一種輔助方程的相關結論,通過幾個步驟獲得了廣義Camassa-Holm方程的由雙曲函數、Jacobi橢圓函數、Riemann θ函數、三角函數和有理函數組成的無窮序列新解.首先,利用首次積分與函數變換,給出了一種輔助方程的新解、B¨acklund變換和解的非線性疊加公式.然后,通過函數變換,把廣義Camassa-Holm方程的求解問題轉化為非線性常微分方程的求解問題.最后,借助符號計算系統Mathematica,構造了廣義Camassa-Holm方程的多種無窮序列新解.

2　二階非線性常微分方程的幾種結論

下面給出一種二階非線性常微分方程的新結論,并構造廣義Camassa-Holm方程的無窮序列新解.

其中a,b,c是常數.

2.1二階非線性常微分方程的首次積分

通過函數變換,可以把二階非線性常微分方程(5)轉化為一階常微分方程組:

通過函數變換,將一階常微分方程組(6)轉化為下面的一階常微分方程組:

經計算獲得了一階常微分方程組(8)的如下首次積分:

這里m是任意常數.

將(9)式代入常微分方程組(8)的第一方程后得到下列常微分方程:

2.2常微分方程(10)的B¨acklund變換

下面分三種情況討論,獲得了常微分方程(10)的新結論.

定理2.1當b = 0時,方程(10)通過函數變換轉化為下列Riccati方程:

定理2.2當b = 0時,若G(ξ)是常微分方程(10)的非常數解,則下列也是常微分方程(10)的解.

這里f, h, s是不全為零的任意常數.

定理2.3當b = 0時,常微分方程(10)存在下列解.

定理2.4當b = a時,若G(τ)是常微分方程(10)的解,則下列也是常微分方程(10)的解.

定理2.5當b = a時,常微分方程(10)存在如下解.

當a2m =θ24(0)θ22(0), ac = 2θ24(0)θ22(0),θ44(0) =θ42(0)時,

當a2m =?θ24(0)θ22(0), ac =?2θ24(0)θ22(0),θ44(0) =θ42(0)時,

這里

定理2.6當a =?2b時,方程(10)通過下列變換轉化為如下Riccati方程:

定理2.7二階非線性常微分方程(5)通過函數變換,轉化為下面的Riccati方程:

根據文獻[9]中給出的有關結論,可以獲得Riccati方程(27)的解、B¨acklund變換和解的非線性疊加公式(未列出).因而,通過函數變換(26),獲得二階非線性常微分方程(5)的無窮序列解.

3　廣義Camassa-Holm方程的多種新解

將u(x,t) = u(ξ),ξ=μx+ωt(這里μ和ω是待定常數),代入廣義Camassa-Holm方程(4)后得到下列非線性常微分方程

非線性常微分方程(28),通過下列函數變換,轉化為如下非線性常微分方程:

假設非線性常微分方程(30)的形式解為:

這里g0和g1是待定常數.

將(31)式與輔助方程(5)代入非線性常微分方程(30),并令

的系數為零后得到一個g0, g1, a, b, c,λ,μ,ω為未知量的非線性代數方程組(未列出).利用符號計算系統Mathematica求出該方程組的如下解:

下面用代數方程組的解(32)-(35)和二階非線性常微分方程(5)的相關結論,構造廣義Camassa-Holm方程(4)的多種新解.

3.1廣義Camassa-Holm方程的無窮序列類孤子新解

將(31),(32)式代入(29)后得到廣義Camassa-Holm方程的如下形式解:

用定理1-定理3的結論,構造廣義Camassa-Holm方程的由雙曲函數、三角函數和有理函數組成的光滑孤立子解和雙曲函數型尖鋒孤立子解.

情形1通過下列疊加公式,構造廣義Camassa-Holm方程的雙曲函數型無窮序列新解.

情形2通過下列疊加公式,構造廣義Camassa-Holm方程的三角函數型無窮序列新解.

情形3通過下列疊加公式,構造廣義Camassa-Holm方程的有理函數型無窮序列新解.

這里A, B, C, d是不全為零的任意常數.

情形4通過下列疊加公式,構造廣義Camassa-Holm方程的指數函數型無窮序列尖鋒孤立子新解.

這里f, h, s是不全為零的任意常數.

將(31)式, (33)式代入(29)式后得到廣義Camassa-Holm方程的如下形式解:

用定理1.4-定理1.5的結論,通過形式解(41),可以獲得由Jacobi橢圓函數型緊孤立子解和Riemann θ函數和Jacobi橢圓函數組成的光滑孤立子解.

將(31)式,(34)式代入(29)式,后得到廣義Camassa-Holm方程的如下形式解.

用定理1.6的結論,通過形式解(42),可以得到廣義Camassa-Holm方程的有理函數型光滑孤立子解.

3.2廣義Camassa-Holm方程的無窮序列孤子新解

將(31)式,(35)式代入(29)式后得到廣義Camassa-Holm方程的如下形式解:

根據文獻[9-11]中給出的有關結論,可以獲得Riccati方程(27)的解、B¨acklund變換和解的非線性疊加公式(未列出).將獲得的無窮序列解代入形式解(43)后得到廣義Camassa-Holm方程的由雙曲函數、三角函數和有理函數組成的光滑孤立子解(下面列出一個疊加公式).

通過下列疊加公式,可以獲得廣義Camassa-Holm方程的雙曲函數無窮序列新解.

這里A, B, C, d是不全為零的任意常數.

4　結論

文獻[7]用試探函數法,構造了廣義Camassa-Holm方程的三角函數型緊孤立子解和雙曲函數型光滑孤立子新解.本文在文獻[8-19]的基礎上,給出一種二階非線性常微分方程的幾種新結論.并用這些新結論與符號計算系統Mathematica,構造了廣義Camassa-Holm方程的無窮序列類孤子新解.這些解包括由Riemann θ函數、Jacobi橢圓函數、雙曲函數、三角函數和有理函數組成的無窮序列光滑孤子新解. Jacobi橢圓函數型緊孤立子新解和雙曲函數型尖鋒孤立子解.

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2010 MSC: 35Q51, 35Q58

Some kind of new conclusions of the generalized Camassa-Holm equation

Yi Li′na , Bao Jundong , Taogetusang
(The College of Mathematical Science, Inner Mongolia Normal University, Huhhot 010022, China)

Abstract:Some kinds of new conclusions of a kind of auxiliary equation are presented to construct the multiple new infinite sequence solutions of the generalized Camassa-Holm equation. First, with the help of the first integral and the function transformation, the new solutions of a kind of auxiliary equation, B¨acklund transformation and the nonlinear superposition formula of solutions are put forward. Then, by the function transformation, the problem of solving the solutions of the generalized Camassa-Holm equation is changed to the problem of solving the solutions of the nonlinear ordinary differential equation. Finally, with the help of symbols calculation system Mathematica, the multiple new infinite sequence solutions of the generalized Camassa-Holm equation are constructed.

Key words:generalized Camassa-Holm equation, auxiliary equation,first integral, multiple new solutions

作者簡介：伊麗娜(1991-),碩士生,研究方向：復雜系統的穩定與控制.

基金項目：國家自然科學基金(11361040);內蒙古自治區高等學校科學研究基金(NJZY12031);內蒙古自治區自然科學基金(2015MS0128).

收稿日期：2015-09-25.

DOI：10.3969/j.issn.1008-5513.2016.01.007

中圖分類號：O175.29

文獻標識碼：A

文章編號：1008-5513(2016)01-0045-10