“方格圖”在平面圖形教學中的有效運用

李延江

平面圖形是《圖形與幾何》領域的重要內容，教學中要讓學生經歷觀察、操作、推理、交流等活動，探究圖形性質及其變化規律，豐富活動經驗，發展空間觀念。方格圖就是一個有效載體，它不僅使抽象枯燥的數學變得形象、具體、可測，充滿樂趣，而且有利于學生利用已有的經驗對靜止的平面圖形進行動態地思考，將觀察、想象、推理、表達等有機融合，促使空間觀念的發展。

一、在平面圖形測量教學中有效運用“方格圖”

點、線、面是構成平面圖形的三大要素。在平面圖形的比較中，學生最早接觸到的是比較線的長短，這是學生空間觀念的起點，從比較線的長短到比較面的大小，這是空間觀念的一次飛躍，這種飛躍需要提供一種介質——方格圖，它不僅為飛躍鋪平道路，更為重要的是可以為學生的想象提供廣闊的空間，也為學生今后更高層次的飛躍提供方法上的支持。

1.運用“方格圖”引導學生從生活經驗到量化思考

數學源于生活而又高于生活。最初人們用自己的生活經驗進行主觀判斷來認識客觀世界，后來從主觀判斷到選擇標準進行準確測量，從直接測量到轉化后的間接測量，從平移、旋轉到割補轉化，人們認識世界的能力不斷增強，數學也就應運而生。

例如讓一年級學生觀察比較：如圖1，從A到B有兩條路可走，走哪條比較近？絕大多數學生說甲比較長，理由很簡單，因為它折了很多次，如果拉直了就會很長。這是他們的生活經驗，真實的感受。緊接著在上面加一張方格圖（如圖2），學生就會數出兩條路線包含的邊數來比較長短，也有的學生把它轉化為長方形：事實上，兩條路的長都等于長方形的長與寬的和。

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學生從感性判斷到理性分析，出現這種轉變方格圖功不可沒，方格圖的直觀性為空間觀念的建立搭起了引橋。

2.運用“方格圖”引導學生從直接比較到精確測量

比較是測量的基礎。學生在比較兩個面的大小時，第一反應是把兩個平面圖形重疊在一起進行比較，把兩個圖形多出的部分剪下來再進行比較（如圖3），依此類推最終比出大小。

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直接比較中蘊藏了豐富的內涵，我們可以相信這是學生經驗的表現，但生活中有很多東西是不能直接比較的，只有通過測量才能使比較變得精確。面對學生對新領域表現出來的真實而樸素的比較方法，我們會思考一個問題：數學經驗如何與數學接軌？從直接比較兩個面的大小到精確測量需要一個過程，怎樣引導使它成為今后學習的普遍方法？教學中我進行了嘗試：在兩個圖形上放了一張方格圖（如圖4），現在你怎樣比較兩個圖形面積的大小？

用數格子與重疊的方法比較面積大小有什么不同？學生的觀點是：一個是剪下來比，剪下部分大的那個圖形面積就大；一個是數著比，格子數多的圖形面積大。這兩種方法又有哪些相同的地方？學生觀點：它們都是把整個圖形分成許多較小的部分進行比較的。當交流兩種方法有什么優勢與不足時，學生體會到數方格圖比較準確、方便。

二、在平面圖形面積推導教學中有效運用“方格圖”

各種平面圖形之間存在著密切的聯系，面積公式的推導過程各有側重，學生面對全新圖形的面積推導時，是否會自然地想到我們認為理想的轉化推導方法呢？學生的知識經驗起點在哪里？如何自然而然地由知識經驗指向面積推導，進行有價值的思考呢？學生的思考是否有價值取決于教學中提供的素材是否具有想象的空間，方格圖就為學生打開了想象的空間。

1.運用“方格圖”使推導過程凸顯數學思考

面積公式的推導過程就是面積計算模型建立的過程，需要大量的直觀經驗。在長方形上擺小正方形再發現長方形的面積計算公式，這就過于重視擺的過程而忽視發現的過程，因為要想整齊地擺好那么多小正方形難度很大，很難擺出不同的長方形加以比較分析，影響了推導過程的準確性和計算公式的普遍性。在方格圖中畫長方形可以直觀地看出長度與面積之間的區別與聯系。

例如，推導長5厘米、寬3厘米的長方形面積，讓學生在方格圖上畫出長5厘米、寬3厘米的長方形，就可以很直觀地看出：長包含了5個面積單位，即一行可以擺5個面積單位；寬包含了3個面積單位，即可以擺3行。從而輕松發現長方形的面積等于長與寬的積，再通過對多個長方形進行觀察比較，發現“長與寬的積等于長方形面積”具有普遍性。小方格的直觀、簡潔且準確，回避了因測量產生的誤差，突出了面積與長、寬之間的關系，使整個教學過程變得更有效。

2.運用“方格圖”使數學思想方法自然滲入

小學生以形象思維為主，平面圖形的轉化建立在熟知各種圖形的特征和它們之間關系的基礎上。學生對圖形特征和關系的認識還比較膚淺，這使得轉化變得更為困難，方格圖可使圖形的特征顯現得更為直觀，使它們之間的聯系更為明顯，為平面圖形的轉化提供了直觀參照。

例如，數平行四邊形的面積時不到半格的為什么都按半格計算？

如圖5，用數格子的方法求平行四邊形的面積。學生會提出問題：不滿一格的怎么辦？這是學生在推導長方形面積時沒有碰到過的，如果直接告訴學生不滿一格的都按半格計算，學生又會有新的疑問：有的比半格大，有的比半格小，為什么都按半格算呢？從而陷入困惑之中。

教學中我們可以這樣引導：怎樣數更方便？觀察兩邊不滿一格的部分，你發現了什么？學生觀察后發現：第一行左邊的比半格少，右邊的比半格大，兩邊合在一起剛好是一格（如圖6），其他幾行左右兩邊合在一起也剛好是一格（如圖7）。為了計算方便，便把不滿一格的都按半格計算。

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怎樣才能更容易知道平行四邊形的面積？你能把平行四邊形轉化成什么圖形？通過觀察，學生順利地想到：沿著平行四邊形的高剪開可轉化成長方形（如圖8）。

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整個轉化過程在方格圖中由局部到整體逐步進行，使轉化的思想方法自然滲入學生的心田。

3.運用“方格圖”使推導過程更加豐富endprint

在平行四邊形面積計算推導過程中，教材上只介紹了沿著高剪開，通過平移把兩部分拼成一個長方形的方法。如果借用方格圖，學生不僅可以順利想到沿著高剪開拼成長方形，有的學生還會創造性地想到其他轉化方法（如圖9）。

在三角形面積推導過程中，教材中只提供了用兩個完全一樣的三角形拼成一個平行四邊形推導出面積的方法。只用一個三角形能否推導出三角形的面積呢？有的學生在旁邊畫個完全一樣的三角形拼成平行四邊形，有的學生卻無從下手。如果把三角形放在方格圖上，學生不僅可以想到再畫一個完全一樣的三角形從而轉化成平行四邊形，還可以沿著中位線剪開拼成平行四邊形（如圖10）。

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在教材的課外知識部分還介紹了我國古代數學家劉徽利用出入相補原理來計算平面圖形的面積（如圖11）。

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面對教材中提供的這些方法，學生還是很難理解，如：從哪里剪開，怎么轉化等。此時，方格圖的直觀性就可以激活學生已有的經驗，打開學生的思維，幫助學生理解出入相補原理。

三、在平面圖形變換教學中有效運用“方格圖”

小學數學平面圖形領域蘊藏著很多規律需要引導學生去探索，有很多精美的圖案就是通過基本圖形的變換得到的，教學中讓學生在動手實踐的基礎上感受平移、旋轉的圖形變換方法及圖形的對稱特征，能喚起學生欣賞數學美的心，激發學生創作的熱情，為進一步學習平面圖形積累寶貴的方法和經驗。

1.運用“方格圖”探索圖形變換的規律

周長和面積是平面圖形的兩個重要概念，它們之間有著密切的聯系，用直白的語言描述很難表達清楚，也不符合小學生的認知特點。如果讓學生在方格圖上畫一畫，通過觀察、比較就可以獲得周長和面積的變化規律。

例如，在學習了“面積和面積單位”之后讓學生在方格圖上畫出面積是4平方厘米的圖形，并觀察周長的變化與什么有關。在探索中學生畫出了很多圖形（如圖12）。

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通過觀察比較發現：周長的大小與重疊的邊數有關，重疊的邊數越多周長就越短，重疊的邊數越少周長就越長。

同樣還可以讓學生在方格圖中畫出面積是12平方厘米的長方形，探索發現周長的變化規律：長和寬的差越小，周長也就越小。還可以讓學生在方格圖中畫出周長相等的長方形，觀察面積的變化規律，學生通過探索發現：長和寬的差越小，面積就越大。

只有把發現圖形變換規律的過程變為學生親身體驗的過程，這種規律才是鮮活的規律，才能給學生留下深刻的印象，豐富學生探索圖形的經驗。方格圖便為此提供了一個良好的平臺。

2.運用“方格圖”感受密鋪圖形的神奇

生活中有很多密鋪現象，在精美的密鋪圖案的背后蘊含著豐富的圖形變換。

例如，在方格圖上找可以密鋪的圖形，學生很快就能發現正方形是可以密鋪的；接著進一步提出探索要求：以小正方形為基礎，通過割補、平移、旋轉等方法設計簡單的密鋪圖案。有的學生在正方形的左邊割下一個三角形，平移到右邊變成一個組合圖形（如圖13），并通過在方格圖上反復試驗，最終發現這個變換后的圖形就是一個密鋪圖形。

受其啟發，學生找到了一個又一個的密鋪圖形，設計出一幅又一幅精美的圖案（如圖14），經歷了欣賞數學美、創造數學美的過程，培養了自身的操作、觀察、猜測、驗證以及推理能力。

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任何有價值的發現都需要一個有價值的素材作為支撐。學生的空間觀念正在發展中，讓其在沒有任何參照的情況下繪制某一特征的圖形，往往會有很大的偏差。在圖形變換教學中，方格圖為學生提供了清晰、準確的參照。

3.運用“方格圖”體驗創作圖形的樂趣

平面圖形的創作是展現學生個性、感悟圖形特征和體會圖形變換的有效手段。創作有時只是靈光一現，方格圖的便捷性能讓學生快速捕捉靈感，完成想象中的作品，有時還會激發新的靈感，使數學的美感與個性魅力同時展現，學生從中體驗到創作的樂趣，增強了學習的信心。

例如，設計面積是5平方厘米的圖案。有的學生畫成十字架，有的學生畫成動物頭像，還有的學生畫成喇叭……（如圖15）

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上面圖形的面積都是5平方厘米，但形狀各異，為學生對割補、轉化提供了直觀感受，為圖形面積的推導埋下了伏筆，也為組合圖形面積的計算積累了感性經驗。

總之，方格圖為多樣化的數學學習搭建了探索平臺，激活了學生的經驗，讓探索的過程精彩紛呈。方格圖避免了為操作而操作，使探索自然地深入，結論自然地生成，它在教材中隨處可見，我們要善于挖掘，讓學生在方格圖的背景下探索發現，釋放它的能量，展現其神奇的魅力。

（責編 金 鈴）endprint

在平行四邊形面積計算推導過程中，教材上只介紹了沿著高剪開，通過平移把兩部分拼成一個長方形的方法。如果借用方格圖，學生不僅可以順利想到沿著高剪開拼成長方形，有的學生還會創造性地想到其他轉化方法（如圖9）。

在三角形面積推導過程中，教材中只提供了用兩個完全一樣的三角形拼成一個平行四邊形推導出面積的方法。只用一個三角形能否推導出三角形的面積呢？有的學生在旁邊畫個完全一樣的三角形拼成平行四邊形，有的學生卻無從下手。如果把三角形放在方格圖上，學生不僅可以想到再畫一個完全一樣的三角形從而轉化成平行四邊形，還可以沿著中位線剪開拼成平行四邊形（如圖10）。

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在教材的課外知識部分還介紹了我國古代數學家劉徽利用出入相補原理來計算平面圖形的面積（如圖11）。

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面對教材中提供的這些方法，學生還是很難理解，如：從哪里剪開，怎么轉化等。此時，方格圖的直觀性就可以激活學生已有的經驗，打開學生的思維，幫助學生理解出入相補原理。

三、在平面圖形變換教學中有效運用“方格圖”

小學數學平面圖形領域蘊藏著很多規律需要引導學生去探索，有很多精美的圖案就是通過基本圖形的變換得到的，教學中讓學生在動手實踐的基礎上感受平移、旋轉的圖形變換方法及圖形的對稱特征，能喚起學生欣賞數學美的心，激發學生創作的熱情，為進一步學習平面圖形積累寶貴的方法和經驗。

1.運用“方格圖”探索圖形變換的規律

周長和面積是平面圖形的兩個重要概念，它們之間有著密切的聯系，用直白的語言描述很難表達清楚，也不符合小學生的認知特點。如果讓學生在方格圖上畫一畫，通過觀察、比較就可以獲得周長和面積的變化規律。

例如，在學習了“面積和面積單位”之后讓學生在方格圖上畫出面積是4平方厘米的圖形，并觀察周長的變化與什么有關。在探索中學生畫出了很多圖形（如圖12）。

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通過觀察比較發現：周長的大小與重疊的邊數有關，重疊的邊數越多周長就越短，重疊的邊數越少周長就越長。

同樣還可以讓學生在方格圖中畫出面積是12平方厘米的長方形，探索發現周長的變化規律：長和寬的差越小，周長也就越小。還可以讓學生在方格圖中畫出周長相等的長方形，觀察面積的變化規律，學生通過探索發現：長和寬的差越小，面積就越大。

只有把發現圖形變換規律的過程變為學生親身體驗的過程，這種規律才是鮮活的規律，才能給學生留下深刻的印象，豐富學生探索圖形的經驗。方格圖便為此提供了一個良好的平臺。

2.運用“方格圖”感受密鋪圖形的神奇

生活中有很多密鋪現象，在精美的密鋪圖案的背后蘊含著豐富的圖形變換。

例如，在方格圖上找可以密鋪的圖形，學生很快就能發現正方形是可以密鋪的；接著進一步提出探索要求：以小正方形為基礎，通過割補、平移、旋轉等方法設計簡單的密鋪圖案。有的學生在正方形的左邊割下一個三角形，平移到右邊變成一個組合圖形（如圖13），并通過在方格圖上反復試驗，最終發現這個變換后的圖形就是一個密鋪圖形。

受其啟發，學生找到了一個又一個的密鋪圖形，設計出一幅又一幅精美的圖案（如圖14），經歷了欣賞數學美、創造數學美的過程，培養了自身的操作、觀察、猜測、驗證以及推理能力。

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任何有價值的發現都需要一個有價值的素材作為支撐。學生的空間觀念正在發展中，讓其在沒有任何參照的情況下繪制某一特征的圖形，往往會有很大的偏差。在圖形變換教學中，方格圖為學生提供了清晰、準確的參照。

3.運用“方格圖”體驗創作圖形的樂趣

平面圖形的創作是展現學生個性、感悟圖形特征和體會圖形變換的有效手段。創作有時只是靈光一現，方格圖的便捷性能讓學生快速捕捉靈感，完成想象中的作品，有時還會激發新的靈感，使數學的美感與個性魅力同時展現，學生從中體驗到創作的樂趣，增強了學習的信心。

例如，設計面積是5平方厘米的圖案。有的學生畫成十字架，有的學生畫成動物頭像，還有的學生畫成喇叭……（如圖15）

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上面圖形的面積都是5平方厘米，但形狀各異，為學生對割補、轉化提供了直觀感受，為圖形面積的推導埋下了伏筆，也為組合圖形面積的計算積累了感性經驗。

總之，方格圖為多樣化的數學學習搭建了探索平臺，激活了學生的經驗，讓探索的過程精彩紛呈。方格圖避免了為操作而操作，使探索自然地深入，結論自然地生成，它在教材中隨處可見，我們要善于挖掘，讓學生在方格圖的背景下探索發現，釋放它的能量，展現其神奇的魅力。

（責編 金 鈴）endprint

在平行四邊形面積計算推導過程中，教材上只介紹了沿著高剪開，通過平移把兩部分拼成一個長方形的方法。如果借用方格圖，學生不僅可以順利想到沿著高剪開拼成長方形，有的學生還會創造性地想到其他轉化方法（如圖9）。

在三角形面積推導過程中，教材中只提供了用兩個完全一樣的三角形拼成一個平行四邊形推導出面積的方法。只用一個三角形能否推導出三角形的面積呢？有的學生在旁邊畫個完全一樣的三角形拼成平行四邊形，有的學生卻無從下手。如果把三角形放在方格圖上，學生不僅可以想到再畫一個完全一樣的三角形從而轉化成平行四邊形，還可以沿著中位線剪開拼成平行四邊形（如圖10）。

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在教材的課外知識部分還介紹了我國古代數學家劉徽利用出入相補原理來計算平面圖形的面積（如圖11）。

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面對教材中提供的這些方法，學生還是很難理解，如：從哪里剪開，怎么轉化等。此時，方格圖的直觀性就可以激活學生已有的經驗，打開學生的思維，幫助學生理解出入相補原理。

三、在平面圖形變換教學中有效運用“方格圖”

小學數學平面圖形領域蘊藏著很多規律需要引導學生去探索，有很多精美的圖案就是通過基本圖形的變換得到的，教學中讓學生在動手實踐的基礎上感受平移、旋轉的圖形變換方法及圖形的對稱特征，能喚起學生欣賞數學美的心，激發學生創作的熱情，為進一步學習平面圖形積累寶貴的方法和經驗。

1.運用“方格圖”探索圖形變換的規律

周長和面積是平面圖形的兩個重要概念，它們之間有著密切的聯系，用直白的語言描述很難表達清楚，也不符合小學生的認知特點。如果讓學生在方格圖上畫一畫，通過觀察、比較就可以獲得周長和面積的變化規律。

例如，在學習了“面積和面積單位”之后讓學生在方格圖上畫出面積是4平方厘米的圖形，并觀察周長的變化與什么有關。在探索中學生畫出了很多圖形（如圖12）。

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通過觀察比較發現：周長的大小與重疊的邊數有關，重疊的邊數越多周長就越短，重疊的邊數越少周長就越長。

同樣還可以讓學生在方格圖中畫出面積是12平方厘米的長方形，探索發現周長的變化規律：長和寬的差越小，周長也就越小。還可以讓學生在方格圖中畫出周長相等的長方形，觀察面積的變化規律，學生通過探索發現：長和寬的差越小，面積就越大。

只有把發現圖形變換規律的過程變為學生親身體驗的過程，這種規律才是鮮活的規律，才能給學生留下深刻的印象，豐富學生探索圖形的經驗。方格圖便為此提供了一個良好的平臺。

2.運用“方格圖”感受密鋪圖形的神奇

生活中有很多密鋪現象，在精美的密鋪圖案的背后蘊含著豐富的圖形變換。

例如，在方格圖上找可以密鋪的圖形，學生很快就能發現正方形是可以密鋪的；接著進一步提出探索要求：以小正方形為基礎，通過割補、平移、旋轉等方法設計簡單的密鋪圖案。有的學生在正方形的左邊割下一個三角形，平移到右邊變成一個組合圖形（如圖13），并通過在方格圖上反復試驗，最終發現這個變換后的圖形就是一個密鋪圖形。

受其啟發，學生找到了一個又一個的密鋪圖形，設計出一幅又一幅精美的圖案（如圖14），經歷了欣賞數學美、創造數學美的過程，培養了自身的操作、觀察、猜測、驗證以及推理能力。

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任何有價值的發現都需要一個有價值的素材作為支撐。學生的空間觀念正在發展中，讓其在沒有任何參照的情況下繪制某一特征的圖形，往往會有很大的偏差。在圖形變換教學中，方格圖為學生提供了清晰、準確的參照。

3.運用“方格圖”體驗創作圖形的樂趣

平面圖形的創作是展現學生個性、感悟圖形特征和體會圖形變換的有效手段。創作有時只是靈光一現，方格圖的便捷性能讓學生快速捕捉靈感，完成想象中的作品，有時還會激發新的靈感，使數學的美感與個性魅力同時展現，學生從中體驗到創作的樂趣，增強了學習的信心。

例如，設計面積是5平方厘米的圖案。有的學生畫成十字架，有的學生畫成動物頭像，還有的學生畫成喇叭……（如圖15）

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上面圖形的面積都是5平方厘米，但形狀各異，為學生對割補、轉化提供了直觀感受，為圖形面積的推導埋下了伏筆，也為組合圖形面積的計算積累了感性經驗。

總之，方格圖為多樣化的數學學習搭建了探索平臺，激活了學生的經驗，讓探索的過程精彩紛呈。方格圖避免了為操作而操作，使探索自然地深入，結論自然地生成，它在教材中隨處可見，我們要善于挖掘，讓學生在方格圖的背景下探索發現，釋放它的能量，展現其神奇的魅力。

（責編 金 鈴）endprint