以“形”解“數”，彰顯課堂實效

徐曉洲

數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般好，隔裂分家萬事非。”“數形結合”其實是一種很重要的數學思想，“以形解數”不但能提高學生的數學學習興趣，還能有效地用形象化思維延深學生的數學思維。

一、借助數軸，比較大小

數軸是體現數形結合的一個重要方法。利用數軸，能找到數與數軸上點的對應關系，讓數與數軸這個“形”緊密融合在一起。

例如，在教學五年級數學上冊“比較小數的大小”時，由于學生對小數只具有初步的認識，如果讓學生在總結比較時，用抽象的數學語言來表達則顯得非常困難，這時便可借助數軸來解決這一問題。因為對于每一個小數，數軸上都可以找到唯一的點和它相對應，因此，比較兩個小數的大小時，可以通過這兩個小數在數軸上對應點的位置關系來進行。

■

0.4 > （ ） > （ ） > （ ） > （ ） >0.1

讓學生在數軸上尋找小于0.4而大于0.1的小數，這樣的訓練讓抽象的數學變得具體、形象。

又如在教學五年級上冊“負數”時，給出數軸：

■

借助數軸讓學生知道在數軸上從左到右的順序就是從小到大的順序，就可以容易地讓學生掌握“負數都比0小，而正數都比0大，負數都比正數小”。而負數之間的大小比較，也只需要找到要比較的數在數軸上對應的點。

二、活用線段圖，分析數量關系

理清數量關系是正確解決問題的重要前提，線段圖是小學數學教師用來幫助學生分析數量關系長盛不衰的手段之一，利用線段圖的直觀性，能有效地提升學生解決問題的能力。

例如，學校食堂買來450千克大米。如果買的面粉比大米多■，買的面粉有多少千克？

本題如果僅從文字上就想讓學生弄清楚題目的數量關系，是有難度的。在做題時，可以引導學生畫出如下的線段圖幫助分析數量關系：

■

有了上面的線段圖，學生就容易理清題目數量關系，很快地找出買來的大米是“單位1”，■指的是面粉比大米多的量，要求面粉有多少千克，首先要求出面粉比大米多了多少千克。這樣做了以后，問題的解決就已經不存在難度了。

然而，“畫線段圖比解題更難”，這是在教學過程中常聽到學生說的一句話。因為畫線段圖這一手段的使用時間長，而且很多時候，教師對學生畫線段圖要求過于嚴格。其實，只要學生能根據自己畫出來的線段圖說清楚題目的數量關系，從而正確解答題目就行，至于線段圖應該可以隨意地畫，不應該有什么格式要求。

三、巧畫示意圖，突破難點

在解題時，學生經常會因為在某一點上理解不好或轉不過彎來而導致束手無策，感覺“山重水復疑無路”，但只要把這個難點突破，便有“柳暗花明又一村”的感覺。

解決生活中實際問題時，過多的條條框框會束縛學生的思維，相比線段圖，很多學生更喜歡畫示意圖來幫助自己解決問題。學生的思維很多時候是沒有任何條條框框的，他們會根據自己的經驗以及思維特點，畫出一些讓教師都意想不到的示意圖。因此作為教師要尊重孩子們，特別是當孩子們的示意圖畫出來的時候，可能不夠成熟，但教師應該很好地、認真地去挖掘他們的思維價值，保護孩子們的創造性。

如在教學四年級上冊的“找規律（一一間隔排列）”時，如果只滿足于從文字上進行講解，學生很難理解一一間隔排列的關鍵，因此很多教師都利用了示意圖幫助學生來理解，突破一一間隔排列教學上的難點，讓學生根據題意，作出類似于下面的示意圖：

① ＼___＼___＼___＼兩端都種

②___＼___＼___兩端都不種

③ ＼___＼___＼___或___＼___＼___＼一端栽種

學生借助于上面的示意圖，就能相對簡單地理解一一間隔排列，也能理解三種情況的區別。在進行課堂教學時，教師也可以讓學生借助直觀教具進行演示，用橡皮代表中間物體，用牙簽或者火柴棒表示兩端物體，讓學生動手擺一擺，然后進行教學。這樣做不但有利于學生理解、接受新知識，而且可以培養學生的動手操作能力。其實這也算得上是示意圖，它是把一一間隔排列這一抽象的情況形象具體到橡皮和牙簽或火柴棒這些實物上。實物也好，上面的線段示意圖也好，它們都是一一間隔排列問題所對應的“形”。

再如，6個點可以連多少條線段？8個點呢？

若讓學生自己得出規律，難度十分大，不現實；若是教師用文字描述規律，過于抽象，學生也是難以理解的。但是，如果通過示意圖，一步步來讓學生發現規律，學生理解起來就顯得容易，難點就得到了突破。

在教學這內容時，學生自由畫示意圖得到了意外的收獲，過程如下：

（1）讀題后，學生在草稿紙上畫兩個點就可以得到一條線段；

（2）繼續畫三個點。學生在草稿紙上畫三個點就可以得到三條線段；

（3）接著畫四個點，得到右圖：

學生根據自己所畫的示意圖，將找規律的數學問題轉化成了具體的圖形，而且學生能夠在教師的指引下從這些圖形中獲得啟發，這啟發就是每個字母旁邊的數字，這些數字代表著從該點出發，與其他各點分別連線，可以畫線段的條數。需要注意的是這些線段都重復計算了一遍（AB與BA為同一條線段，以下類同），因此可以很快用算式得出結果：如四個點時，4×3÷2=6；五個點時，5×4÷2=10。

接下去，我讓學生充分體驗成功的樂趣，分別計算了8個點、10個點的情況，學生都能總結出規律和計算方法。這樣在教學實踐中讓課堂的實效性表現得淋漓盡致，才能使學生真正體會到智力角逐的樂趣！

四、以形引入，理清算理

數學中計算的算理往往顯得比較抽象，學生理解起來也很吃力，因此，我們可以讓學生在紙上畫一畫、分一分，借助于直觀的圖形把抽象的算理進行具體化，將復雜問題簡單化，化難為易，形象地幫助學生理清算理，掌握計算方法，提高學生的分析、解決問題的能力。

在教學六年級上冊“整數除以分數”時，要學生記住整數除以分數的計算法則并不困難，但學生理解整數除以分數的算理有些難度，所以教學這一部分內容時，可以利用“數形結合”，幫助學生理清思路，從而理解整數除以分數的算理，掌握算法。如在探索“4÷■”計算方法時，教師就借助圖形來啟發學生進行思考。

師：“老師現在用圓規畫一個圓表示一個橙子，怎樣表示‘每人吃■個呢？”

生：“可以將畫的圓平均分成2份，其中的1份就表示每個人吃的量。”

師：“結合所畫的圖形，說一說1個橙子可以分給幾個人？4個橙子呢？”

生：“4÷■就是要求4個橙子，每人吃■個，可以分給幾個人。通過畫圖我明白了1個橙子可以分給2個人吃，因此4個橙子就可以分給8個人。”

通過這樣的方法，學生對知識有了直觀的體驗，能形象地理解原本抽象的算理，而且學生學得也很輕松，理解得也比較透徹。

以形解數是將復雜問題簡單化、抽象問題具體化的常用數學思想方法，在平時的教學中，要設計不同的教學環節，靈活運用數形結合的數學思想，著眼自主探究，主動構建概念，從而培養學生的思維能力，真正提高學生的數學素養。

（責編 金 鈴）endprint

數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般好，隔裂分家萬事非。”“數形結合”其實是一種很重要的數學思想，“以形解數”不但能提高學生的數學學習興趣，還能有效地用形象化思維延深學生的數學思維。

一、借助數軸，比較大小

數軸是體現數形結合的一個重要方法。利用數軸，能找到數與數軸上點的對應關系，讓數與數軸這個“形”緊密融合在一起。

例如，在教學五年級數學上冊“比較小數的大小”時，由于學生對小數只具有初步的認識，如果讓學生在總結比較時，用抽象的數學語言來表達則顯得非常困難，這時便可借助數軸來解決這一問題。因為對于每一個小數，數軸上都可以找到唯一的點和它相對應，因此，比較兩個小數的大小時，可以通過這兩個小數在數軸上對應點的位置關系來進行。

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0.4 > （ ） > （ ） > （ ） > （ ） >0.1

讓學生在數軸上尋找小于0.4而大于0.1的小數，這樣的訓練讓抽象的數學變得具體、形象。

又如在教學五年級上冊“負數”時，給出數軸：

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借助數軸讓學生知道在數軸上從左到右的順序就是從小到大的順序，就可以容易地讓學生掌握“負數都比0小，而正數都比0大，負數都比正數小”。而負數之間的大小比較，也只需要找到要比較的數在數軸上對應的點。

二、活用線段圖，分析數量關系

理清數量關系是正確解決問題的重要前提，線段圖是小學數學教師用來幫助學生分析數量關系長盛不衰的手段之一，利用線段圖的直觀性，能有效地提升學生解決問題的能力。

例如，學校食堂買來450千克大米。如果買的面粉比大米多■，買的面粉有多少千克？

本題如果僅從文字上就想讓學生弄清楚題目的數量關系，是有難度的。在做題時，可以引導學生畫出如下的線段圖幫助分析數量關系：

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有了上面的線段圖，學生就容易理清題目數量關系，很快地找出買來的大米是“單位1”，■指的是面粉比大米多的量，要求面粉有多少千克，首先要求出面粉比大米多了多少千克。這樣做了以后，問題的解決就已經不存在難度了。

然而，“畫線段圖比解題更難”，這是在教學過程中常聽到學生說的一句話。因為畫線段圖這一手段的使用時間長，而且很多時候，教師對學生畫線段圖要求過于嚴格。其實，只要學生能根據自己畫出來的線段圖說清楚題目的數量關系，從而正確解答題目就行，至于線段圖應該可以隨意地畫，不應該有什么格式要求。

三、巧畫示意圖，突破難點

在解題時，學生經常會因為在某一點上理解不好或轉不過彎來而導致束手無策，感覺“山重水復疑無路”，但只要把這個難點突破，便有“柳暗花明又一村”的感覺。

解決生活中實際問題時，過多的條條框框會束縛學生的思維，相比線段圖，很多學生更喜歡畫示意圖來幫助自己解決問題。學生的思維很多時候是沒有任何條條框框的，他們會根據自己的經驗以及思維特點，畫出一些讓教師都意想不到的示意圖。因此作為教師要尊重孩子們，特別是當孩子們的示意圖畫出來的時候，可能不夠成熟，但教師應該很好地、認真地去挖掘他們的思維價值，保護孩子們的創造性。

如在教學四年級上冊的“找規律（一一間隔排列）”時，如果只滿足于從文字上進行講解，學生很難理解一一間隔排列的關鍵，因此很多教師都利用了示意圖幫助學生來理解，突破一一間隔排列教學上的難點，讓學生根據題意，作出類似于下面的示意圖：

① ＼___＼___＼___＼兩端都種

②___＼___＼___兩端都不種

③ ＼___＼___＼___或___＼___＼___＼一端栽種

學生借助于上面的示意圖，就能相對簡單地理解一一間隔排列，也能理解三種情況的區別。在進行課堂教學時，教師也可以讓學生借助直觀教具進行演示，用橡皮代表中間物體，用牙簽或者火柴棒表示兩端物體，讓學生動手擺一擺，然后進行教學。這樣做不但有利于學生理解、接受新知識，而且可以培養學生的動手操作能力。其實這也算得上是示意圖，它是把一一間隔排列這一抽象的情況形象具體到橡皮和牙簽或火柴棒這些實物上。實物也好，上面的線段示意圖也好，它們都是一一間隔排列問題所對應的“形”。

再如，6個點可以連多少條線段？8個點呢？

若讓學生自己得出規律，難度十分大，不現實；若是教師用文字描述規律，過于抽象，學生也是難以理解的。但是，如果通過示意圖，一步步來讓學生發現規律，學生理解起來就顯得容易，難點就得到了突破。

在教學這內容時，學生自由畫示意圖得到了意外的收獲，過程如下：

（1）讀題后，學生在草稿紙上畫兩個點就可以得到一條線段；

（2）繼續畫三個點。學生在草稿紙上畫三個點就可以得到三條線段；

（3）接著畫四個點，得到右圖：

學生根據自己所畫的示意圖，將找規律的數學問題轉化成了具體的圖形，而且學生能夠在教師的指引下從這些圖形中獲得啟發，這啟發就是每個字母旁邊的數字，這些數字代表著從該點出發，與其他各點分別連線，可以畫線段的條數。需要注意的是這些線段都重復計算了一遍（AB與BA為同一條線段，以下類同），因此可以很快用算式得出結果：如四個點時，4×3÷2=6；五個點時，5×4÷2=10。

接下去，我讓學生充分體驗成功的樂趣，分別計算了8個點、10個點的情況，學生都能總結出規律和計算方法。這樣在教學實踐中讓課堂的實效性表現得淋漓盡致，才能使學生真正體會到智力角逐的樂趣！

四、以形引入，理清算理

數學中計算的算理往往顯得比較抽象，學生理解起來也很吃力，因此，我們可以讓學生在紙上畫一畫、分一分，借助于直觀的圖形把抽象的算理進行具體化，將復雜問題簡單化，化難為易，形象地幫助學生理清算理，掌握計算方法，提高學生的分析、解決問題的能力。

在教學六年級上冊“整數除以分數”時，要學生記住整數除以分數的計算法則并不困難，但學生理解整數除以分數的算理有些難度，所以教學這一部分內容時，可以利用“數形結合”，幫助學生理清思路，從而理解整數除以分數的算理，掌握算法。如在探索“4÷■”計算方法時，教師就借助圖形來啟發學生進行思考。

師：“老師現在用圓規畫一個圓表示一個橙子，怎樣表示‘每人吃■個呢？”

生：“可以將畫的圓平均分成2份，其中的1份就表示每個人吃的量。”

師：“結合所畫的圖形，說一說1個橙子可以分給幾個人？4個橙子呢？”

生：“4÷■就是要求4個橙子，每人吃■個，可以分給幾個人。通過畫圖我明白了1個橙子可以分給2個人吃，因此4個橙子就可以分給8個人。”

通過這樣的方法，學生對知識有了直觀的體驗，能形象地理解原本抽象的算理，而且學生學得也很輕松，理解得也比較透徹。

以形解數是將復雜問題簡單化、抽象問題具體化的常用數學思想方法，在平時的教學中，要設計不同的教學環節，靈活運用數形結合的數學思想，著眼自主探究，主動構建概念，從而培養學生的思維能力，真正提高學生的數學素養。

（責編 金 鈴）endprint

數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般好，隔裂分家萬事非。”“數形結合”其實是一種很重要的數學思想，“以形解數”不但能提高學生的數學學習興趣，還能有效地用形象化思維延深學生的數學思維。

一、借助數軸，比較大小

數軸是體現數形結合的一個重要方法。利用數軸，能找到數與數軸上點的對應關系，讓數與數軸這個“形”緊密融合在一起。

例如，在教學五年級數學上冊“比較小數的大小”時，由于學生對小數只具有初步的認識，如果讓學生在總結比較時，用抽象的數學語言來表達則顯得非常困難，這時便可借助數軸來解決這一問題。因為對于每一個小數，數軸上都可以找到唯一的點和它相對應，因此，比較兩個小數的大小時，可以通過這兩個小數在數軸上對應點的位置關系來進行。

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0.4 > （ ） > （ ） > （ ） > （ ） >0.1

讓學生在數軸上尋找小于0.4而大于0.1的小數，這樣的訓練讓抽象的數學變得具體、形象。

又如在教學五年級上冊“負數”時，給出數軸：

■

借助數軸讓學生知道在數軸上從左到右的順序就是從小到大的順序，就可以容易地讓學生掌握“負數都比0小，而正數都比0大，負數都比正數小”。而負數之間的大小比較，也只需要找到要比較的數在數軸上對應的點。

二、活用線段圖，分析數量關系

理清數量關系是正確解決問題的重要前提，線段圖是小學數學教師用來幫助學生分析數量關系長盛不衰的手段之一，利用線段圖的直觀性，能有效地提升學生解決問題的能力。

例如，學校食堂買來450千克大米。如果買的面粉比大米多■，買的面粉有多少千克？

本題如果僅從文字上就想讓學生弄清楚題目的數量關系，是有難度的。在做題時，可以引導學生畫出如下的線段圖幫助分析數量關系：

■

有了上面的線段圖，學生就容易理清題目數量關系，很快地找出買來的大米是“單位1”，■指的是面粉比大米多的量，要求面粉有多少千克，首先要求出面粉比大米多了多少千克。這樣做了以后，問題的解決就已經不存在難度了。

然而，“畫線段圖比解題更難”，這是在教學過程中常聽到學生說的一句話。因為畫線段圖這一手段的使用時間長，而且很多時候，教師對學生畫線段圖要求過于嚴格。其實，只要學生能根據自己畫出來的線段圖說清楚題目的數量關系，從而正確解答題目就行，至于線段圖應該可以隨意地畫，不應該有什么格式要求。

三、巧畫示意圖，突破難點

在解題時，學生經常會因為在某一點上理解不好或轉不過彎來而導致束手無策，感覺“山重水復疑無路”，但只要把這個難點突破，便有“柳暗花明又一村”的感覺。

解決生活中實際問題時，過多的條條框框會束縛學生的思維，相比線段圖，很多學生更喜歡畫示意圖來幫助自己解決問題。學生的思維很多時候是沒有任何條條框框的，他們會根據自己的經驗以及思維特點，畫出一些讓教師都意想不到的示意圖。因此作為教師要尊重孩子們，特別是當孩子們的示意圖畫出來的時候，可能不夠成熟，但教師應該很好地、認真地去挖掘他們的思維價值，保護孩子們的創造性。

如在教學四年級上冊的“找規律（一一間隔排列）”時，如果只滿足于從文字上進行講解，學生很難理解一一間隔排列的關鍵，因此很多教師都利用了示意圖幫助學生來理解，突破一一間隔排列教學上的難點，讓學生根據題意，作出類似于下面的示意圖：

① ＼___＼___＼___＼兩端都種

②___＼___＼___兩端都不種

③ ＼___＼___＼___或___＼___＼___＼一端栽種

學生借助于上面的示意圖，就能相對簡單地理解一一間隔排列，也能理解三種情況的區別。在進行課堂教學時，教師也可以讓學生借助直觀教具進行演示，用橡皮代表中間物體，用牙簽或者火柴棒表示兩端物體，讓學生動手擺一擺，然后進行教學。這樣做不但有利于學生理解、接受新知識，而且可以培養學生的動手操作能力。其實這也算得上是示意圖，它是把一一間隔排列這一抽象的情況形象具體到橡皮和牙簽或火柴棒這些實物上。實物也好，上面的線段示意圖也好，它們都是一一間隔排列問題所對應的“形”。

再如，6個點可以連多少條線段？8個點呢？

若讓學生自己得出規律，難度十分大，不現實；若是教師用文字描述規律，過于抽象，學生也是難以理解的。但是，如果通過示意圖，一步步來讓學生發現規律，學生理解起來就顯得容易，難點就得到了突破。

在教學這內容時，學生自由畫示意圖得到了意外的收獲，過程如下：

（1）讀題后，學生在草稿紙上畫兩個點就可以得到一條線段；

（2）繼續畫三個點。學生在草稿紙上畫三個點就可以得到三條線段；

（3）接著畫四個點，得到右圖：

學生根據自己所畫的示意圖，將找規律的數學問題轉化成了具體的圖形，而且學生能夠在教師的指引下從這些圖形中獲得啟發，這啟發就是每個字母旁邊的數字，這些數字代表著從該點出發，與其他各點分別連線，可以畫線段的條數。需要注意的是這些線段都重復計算了一遍（AB與BA為同一條線段，以下類同），因此可以很快用算式得出結果：如四個點時，4×3÷2=6；五個點時，5×4÷2=10。

接下去，我讓學生充分體驗成功的樂趣，分別計算了8個點、10個點的情況，學生都能總結出規律和計算方法。這樣在教學實踐中讓課堂的實效性表現得淋漓盡致，才能使學生真正體會到智力角逐的樂趣！

四、以形引入，理清算理

數學中計算的算理往往顯得比較抽象，學生理解起來也很吃力，因此，我們可以讓學生在紙上畫一畫、分一分，借助于直觀的圖形把抽象的算理進行具體化，將復雜問題簡單化，化難為易，形象地幫助學生理清算理，掌握計算方法，提高學生的分析、解決問題的能力。

在教學六年級上冊“整數除以分數”時，要學生記住整數除以分數的計算法則并不困難，但學生理解整數除以分數的算理有些難度，所以教學這一部分內容時，可以利用“數形結合”，幫助學生理清思路，從而理解整數除以分數的算理，掌握算法。如在探索“4÷■”計算方法時，教師就借助圖形來啟發學生進行思考。

師：“老師現在用圓規畫一個圓表示一個橙子，怎樣表示‘每人吃■個呢？”

生：“可以將畫的圓平均分成2份，其中的1份就表示每個人吃的量。”

師：“結合所畫的圖形，說一說1個橙子可以分給幾個人？4個橙子呢？”

生：“4÷■就是要求4個橙子，每人吃■個，可以分給幾個人。通過畫圖我明白了1個橙子可以分給2個人吃，因此4個橙子就可以分給8個人。”

通過這樣的方法，學生對知識有了直觀的體驗，能形象地理解原本抽象的算理，而且學生學得也很輕松，理解得也比較透徹。

以形解數是將復雜問題簡單化、抽象問題具體化的常用數學思想方法，在平時的教學中，要設計不同的教學環節，靈活運用數形結合的數學思想，著眼自主探究，主動構建概念，從而培養學生的思維能力，真正提高學生的數學素養。

（責編 金 鈴）endprint