偽球面運(yùn)動(dòng)與孤子方程及其Backlund變換

房春梅,樊彩虹

（集寧師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系，內(nèi)蒙古 烏蘭察布 012000）

偽球面運(yùn)動(dòng)與孤子方程及其Backlund變換

房春梅,樊彩虹

（集寧師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系，內(nèi)蒙古 烏蘭察布 012000）

本文在偽球面的兩種不同的運(yùn)動(dòng)下獲得了兩個(gè)新的孤子方程，并利用孤子方程的2×2線性表示在規(guī)范變換下的不變性獲得了這兩個(gè)方程的Backlund變換.

偽球面運(yùn)動(dòng)；孤子方程；Backlund變換

1 前言

從靜止的偽球面自然地獲得了Sine-Gordon方程，那么運(yùn)動(dòng)的偽球面必然能夠產(chǎn)生一系列的孤子方程.這些孤子方程均包含Sine-Gordon方程.本文主要考慮偽球面的兩種不同的運(yùn)動(dòng)，從而導(dǎo)出兩個(gè)新的孤子方程，最后構(gòu)造這兩個(gè)方程的Backlund變換.

2 偽球面運(yùn)動(dòng)

其中η=η(t),?=?(u,v,t)是關(guān)于u,v,t的函數(shù).

由正交標(biāo)架{A,B,C}，可以得到保持正交性質(zhì)的時(shí)間演化：

其中e,f,g是關(guān)于u,v,t的實(shí)函數(shù).

已知，Gauss-Weingarten系統(tǒng)與（2.1）之間滿足相容性條件可得：

將上式展開(kāi)后

假設(shè)偽球面∑的運(yùn)動(dòng)速度在正交標(biāo)架{A,B,C}下的形式為

則由A=ru,B=-rucos?+rvcosec?,C=N可得到：

利用正交標(biāo)架{A,B,C}上的時(shí)間演化保持正交性獲得如下式子

將（2.9）代入（2.2），（2.3）可得到如下條件

因此可以得出偽球面的運(yùn)動(dòng)需要滿足的可行的演化條件是（2.8），（2.10）-（2.12）.

取滿足上述演化條件（2.8）以及（2.10）-（2.12）的兩種不同的運(yùn)動(dòng)如下所示

從而可以得出如下兩個(gè)新的孤子方程為：

其中η˙=0,σ(t),ω(t)為任意函數(shù).

3 Backlund變換

本小節(jié)從方程（2.1）的2×2線性表示出發(fā)，利用一個(gè)規(guī)范變換來(lái)獲得孤子方程（2.14）與（2.15）的Backlund變換[3].具體如下：

由關(guān)系式

由規(guī)范變換Ψ2=QΨ1以及（3.1）-（3.3）可以得出

其中

同樣利用偽球面∑2上的正交標(biāo)架{E2,F2,G2}以及條件E2=r2,u,F2=-r2,u×N2,G2=N2,可以設(shè)Γ2=ΛΓ1,其中

已知Γ1,Γ2∈SO(3),從而Λ∈SO(3).再利用同構(gòu)關(guān)系so(3)?su(2)，能得到一個(gè)包含于SU(2)的轉(zhuǎn)換矩陣[4]為如下所示：

由規(guī)范變換Ψ2,=Q(θ,ξ)Ψ1以及（3.1）-（3.3）能得到如下式子

其中

由關(guān)系式（3.4）可以得出上述兩個(gè)新的孤子系統(tǒng)的Backlund變換.

對(duì)于孤子方程

利用關(guān)系式（2.9），（3.4）可以得到如下式子：

從而可以得出其Backlund變換為：

對(duì)于孤子方程

利用關(guān)系式（2.9），（3.4）可以得到如下式子：

從而可以得出其Backlund變換為：

〔1〕Doliwa A,Santini P.An elementary geometric characterization of the integrable motions of a curve[J].Phys.Lett.A 1994,185:373-384.

〔2〕Rodica Cimpoiasu,Rodu Constantinescu.Lie symmetries and invariants for a 2D nonlinear heat equation[J].Nonlinear Analysis,2008,68:2261-2268.

〔3〕Rogers C,Schief W K.Backlund and Darboux transformations[M].New York:Cambridge University Press,2002.

〔4〕Fan EG,Zhang HQ.A new approach to Backlund transformation of nonlinear evolution equations[J].Appl Math Mech 1998;19(7):645-650.

O175

A

1673-260X（2014）10-0009-02

內(nèi)蒙古高等學(xué)校科學(xué)研究資助項(xiàng)目（NJZC13283）