數學建模一般認知過程及教學策略

畢 雁，張新華

（煙臺職業學院， 山東 煙臺 264000）

數學建模一般認知過程及教學策略

畢 雁，張新華

（煙臺職業學院， 山東 煙臺 264000）

為了適應數學教學改革的需求，逐步提升學生的數學文化及綜合應用能力，必須加強數學建模教學.從學生數學建模認知過程的研究入手，對數學建模一般認知規律進行了探討，并提出了相應的教學策略，以期不斷提高數學建模的教學效果.

數學建模；一般認知過程；教學策略

從數學發展史可知，數學在社會、自然科學及現實生活等各個領域均有十分重要的應用，也成為推動數學不斷發展的強大推動力，而采用數學方法進行模型構建，以解決實踐問題的數學建模法恰恰是充分發揮數學綜合應用功能的主要手段之一，在數學建模方法的應用過程中，不僅可以使人深深體會到數學的綜合應用價值，逐步培養起完善的數學應用意識，樹立科學的數學觀，還可以培養學生應用數學知識、方法有效解決實際問題的能力，以便更好地為數學教學、科研工作及日常生活服務.

1 數學建模一般認知過程分析

1.1 數學建模的一般過程

調查發現，學生的數學建模行為具有相同的一般過程.具體而言，包括如下方面：

1.1.1 實際問題情境信息

所謂的“情境信息”，主要包括學生數學建模測試中所遇到的實際建模問題的信息，包括學生對所遇及感覺到的實際情境所進行的觀察、抽象、分析及提煉的原始實際問題信息.

1.1.2 問題情境分析，合理假設以簡化問題

學生在對實際問題情境的信息進行感知的過程中，對實際問題的背景、脈絡進行梳理，正確理解實際問題的條件、關鍵術語及狀態，對實際問題的內在結構及相關關系進行解析，建立初步的假設，以便對變量個數進行控制，從而對實際問題進行簡化.

1.1.3 數學語言表述問題

數學語言表述問題是從對實際問題情境的解析及假設簡化所得的，就形式而言，同傳統數學應用問題相似，但是，其條件及結論表述仍存在一定的模糊性，是采用數學文字對實際問題情境進行表達.

1.1.4 構建數學模型

對數學文字所表述的問題進行深入分析，盡可能數量化、符號化，對問題內在結構及關系進行分析，并利用數學思想及方法構建數學模型，對問題條件及結構的關系進行科學表述.在這一過程需要采用附加假設及語言轉換等操作，需對原有假設根據數學模型的相關要求進行科學地調整.

1.1.5 數學模型

該數學模型指的是一種經過符號化與圖形化了的數學問題，具有確定的目標、要求及條件，是對實際問題建立假設、逐步明確條件的結果，是對數學語言表述問題明確而又近似的表述，也是對實際問題明確而又近似的表述.

1.1.6 模型求解

數學模型是一種基于數學形式的表達，模型顯化需要在系統內進行邏輯性分析，并采用科學的數學思想及方法進行求解.

1.1.7 簡化問題后的理論結果

對模型進行求解，所得出的結論即對實際問題簡化之后的理論結果，并不是原有實際問題情境的精確性結論，采用該模型對原有實際問題進行解釋，可能會有偏差.

1.1.8 對理論結果的分析、檢驗及解釋

經簡化之后的問題，其理論結果是否同實際問題相吻合，能否科學解釋所需解決實際問題，是否對實際問題均適用，這還需要對理論結果進行情境分析、檢驗及評估.經檢驗與評估，若確認可以解釋原有實際問題，則該數學建模行為就此結束，若確認結果并不滿意，則需要返回建模操作其他，重新進行操作.具體返回哪一操作環節，需要根據所采取的建模監控策略進行判斷.

1.2 數學建模的一般認知過程

本文以數學建模中學生的行為表現為基礎，對建模行為進行了深入分析，從認知角度進行解析，對數學建模一般認知過程進行了初步提煉，如圖1所示.為了明確各個環節的作用，以數學建模的一般過程作為基礎，并對其操作及作用方式進行明確.

圖1 數學建模一般認知過程模式圖

當學生面臨著實際問題或情境時，會啟動相應的知覺機制，并對實際問題情境信息進行全方位感知.實際問題情境信息直接決定了建模實際問題的結構及其類型，并對實際問題的表征及加工進行了規定；知覺啟動使得學生對問題情境信息進行全面感知，從而增強對于有關信息的敏感性，而這一過程離不開學生認知體系的支撐.特別是實際問題圖式中的類型及模式作為變量，對影響情境信息的可覺察性進行調節，并對無關信息進行剔除，手機、比較、整合相關信息，從而獲取實際問題表征；問題表征主要依賴學生的知識及經驗，在形成問題表征時，學生認知結構是否存在足夠數量的問題類型及其知識貯存方式，對于學生逐步深入地理解實際問題、并形成科學的問題表征具有十分重要的意義；當獲取問題表征之后，學生進行判斷，若不滿意，需要重新回到知覺啟動環節，重新獲取情境信息，并同學生的認知結構進行交互，對實際問題的內在數學結構及類型進行深入理解，從而形成連續的概念轉換，逐步逼近表征.若滿意，則認知結構將被激活，并形成建模策略的選擇、識別、對比與生成；此時，學生將所感知的實際問題情境及認知結構內在信息予以對比，若相互匹配，則作為該認知系統的實例，并形成和其原認知系統建模問題相對應的模型，若不匹配，需進行聯想，激發相關經驗，形成新的匹配樣例，形成建模策略；獲取模型后，在認知結構與數學認知結構的相互作用之下，生產模型求解思路，并對模型進行求解；以學生原有認知結構為基礎，采用觀察、對比等方法，采用模型及求解對實際問題予以分析、檢驗和解釋，判斷是否同個人預期相適應，若適應，則建模認知過程結束，若不適應，需要返回其他認知環節進行自我監控，并重新開展認知操作.

2 數學建模教學策略分析

本文以數學建模一般認知過程為基礎，對兩種數學建模教學策略進行了分析，一種是試例教學、變式教學、開放式教學相結合策略；另一種是一般性解題思維、數學建模與建模方法相結合策略，以下具體進行分析.

2.1 試例教學、變式練習、開放式訓練相互結合

2.1.1 試例教學

試例教學的意義在于減輕學生的認知負荷，將學習重點轉移到數學建模原理、方法以及結構特征等，提高學生對數學建模問題圖式的認知.與書面例題教學相比，試例教學的注重點在于數學建模教學策略的運用，而不是簡單的書面解答，故更容易被學生所接受.

2.1.2 變式練習

不同的數學建模問題需要不同的方法來解決.通過數學模型轉移、轉換、組合和更新等變式練習，增加數學建模遷移、實際問題轉化數學模型以及建模能力等學習內容，從而有效提高學生對數學建模問題圖式認知能力和表征能力.

2.1.3 開放式訓練

結構不良是數學建模的特征之一，在具體的數學建模問題中要設定多個假設、多個解決方法、多個情境分析以及多個結果分析，這就決定了建模問題圖式應采取開放式訓練的教學策略，幫助學生在建模過程中形成靈活性高、系統性強的圖式認知.

試例教學是數學建模教學的基礎，變式練習建模過程中問題圖式的鞏固，開放式訓練則是試例教學和變式練習的進一步拓展.上述三者在建模教學中是相輔相成、循序漸進的關系.因此，在實際的數學建模問題圖式教學中，只有充分運用三種方法才能發揮出數學建模教學的最佳效果.

2.2 一般性解題思維、數學建模與建模方法相互結合

2.2.1 一般性解題思維策略

一般性解題思維策略適用于任何一種解決問題的思維活動中，其過程如下：（1）解題時需要對題意進行準確地理解，切忌匆忙進行解答；（2）從整體結構上對題意進行把握，并對復雜的數量關系進行梳理，對深層次地結構關系進行挖掘；（3）對題目的整體意義進行把握，并以此為基礎對解題思路及方向進行明確；（4） 對已知條件及情境信息進行充分利用；（5）正向推理與反向推理相結合；（6）轉變傳統思維定勢，開展發散性思維；（7）解題之后需要對解題思路進行總結，充分發揮一般性解題思維策略對于解決實際問題的指導性作用.實踐顯示：僅僅解決量的積累，并不一定會提高學生解決問題能力的“質”，優秀和中等學生在解決數學問題能力方面的差異性，并非存在于基礎知識方面的差異，而是問題解決策略方面的差異.

2.2.2 數學建模策略

數學建模的策略有許多，可以建模過程的不同階段為依據，對建模策略進行分類，包括表征、假設、構建、求解、檢驗、調整、自我監控等策略.而且，可將上述不同階段的策略進行進一步細化，成為更加具體的策略.數學建模不同的策略特點也不同，教學過程中應根據各策略的特點組織和實施各類策略.如，利用表征策略進行教學時，教師應當引導學生采用合適的表征形式，注重暴露自身的思維，以外在形式對建模問題進行表征，有意識地使學生暴露于思維活動中，培養其表征習慣，反復進行表征練習，并采用各種形式進行相同問題的表征，同時，注重學生間的相互交流.

2.2.3 建模方法策略

建模方法指的是先將實際問題轉變為數學問題，建立數學模型，并研究模型，尋求解決問題的方法.應采用如下策略：（1）注重多層面建模方法，強調數學建模方法的各環節及步驟.對不同步驟的特點、作用及相互間的協同作用機制進行分析，并對問題分析、假設、模型建立、求解、驗證及評價等環節從方法層面予以研究；（2） 注重將建模方法逐層分化與相互貫通進行結合，以建模方法體系為依據，對建模方法進行逐層分化，并形成具體方法，通過學習實際問題，對建模方法進行掌握，經融會貫通對數學建模方法體系進行全面把握；（3） 采用遞進的方法順序，選取的問題難易程度，也應由簡至繁、由易至難地對問題進行梯級設計；（4）采用建模方法進行多維表征及多角度分析，以更全面地反映其綜合性質，采用多角度分析可使所隱含的潛在關鍵性因素逐步凸顯，有助于學生掌握并遷移至新的情境中來，以更好地提高學生的認知靈活性；（5）采用建模方法和情境問題相結合的方式，一方面，將某建模方法運用于不同的問題情境案例中，以增強學生對其的理解與遷移，另一方面，所選取的問題均能夠采用多種建模方法予以解決，并體現了各種建模方法的表征.

3 結束語

綜上所述，數學建模在解決問題方面具有特殊性，它不同于一般的數學問題和數學應用解決方法.數學建模一般認知過程的開放性更強、創造性更好且思維性更靈活，因此，一般理論、數學應用理論以及數學問題理論不能代替數學建模來解決相應的問題，其結果更不能運用到數學建模情形中.此外，在數學建模的學習過程中，要將高層次教學思維和教學策略融入到實際課程和研究，以順應時代教育改革發展的步伐，逐步提升學生數學應用能力、解決問題能力以及綜合素養.

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1673-260X（2014）08-0004-03