高速數控機床主軸用角接觸球軸承接觸特性研究

張世兵，馬偉，李濟順，薛玉君

(河南科技大學 河南省機械設計及傳動系統重點實驗室，河南 洛陽 471003)

高速數控機床主軸用角接觸球軸承的精度等級一般在P4以上，油潤滑[1]工況下，dm·n值一般為1.0×106～2.5×106mm·r∕min。角接觸球軸承在高速運轉時將產生很大的離心力和陀螺力矩，離心力使鋼球與溝道的接觸應力和接觸角發生改變；陀螺力矩使鋼球繞自身軸線旋轉，而當其大于溝道接觸部位的摩擦力矩時，鋼球發生滑動[2]。

在高速、急開、急停等特殊工況下，離心力、陀螺力矩、摩擦、熱變形等因素嚴重影響軸承的運動穩定性，使其內部運動形式變得異常復雜。文獻[3]基于外圈溝道控制理論，指出當接觸面的摩擦因數足夠大時可避免陀螺力矩引起的滑動，但把外圈的摩擦因數設為定值。文獻[4]提出克服陀螺樞軸滑動的摩擦力矩與鋼球到內、外圈距離的比例有關，但忽略了外界因素對摩擦力矩的影響。文獻[5]通過測量磁通量的變化研究了鋼球的運動狀態，但是試驗比較復雜。文獻[6]建立了高速主軸-軸承有限元模型，但忽略了轉子及軸承離心力的影響。文獻[7]基于Timoshenko梁建立了高速主軸系統的有限元模型，研究了軸承預緊和工作溫升對主軸動態特性的影響，但忽略了軸承轉速的影響。在此，綜合考慮轉速、受力、潤滑、摩擦、接觸情況等多種因素，建立高速軸承力學模型，以預測陀螺力矩、接觸載荷及摩擦因數的變化規律，為研究軸承的運動特性提供依據。

1 力學模型的研究

假定軸承內部變形均為彈性接觸變形，符合Hertz彈性接觸理論的變形規律，內、外圈在外載荷下只發生剛性位移。

1.1 軸承力學模型

軸承受力如圖1所示。Fx，Fy，Fz分別為軸承受到的x，y，z方向上的力；Mx，My分別為軸承受到x，y方向的力矩；Ψj為球的位置角；j為球的位置編號，以y軸正方向起，按逆時針方向編號。

圖1 軸承力學模型圖

1.2 滾動軸承的受力分析

按照Hertz彈性接觸理論，兩物體在接觸區的彈性趨近量與載荷滿足[8]

Q=kδ1.5，

(1)

式中：k為Hertz接觸常數，由材料的參數和接觸物體的幾何尺寸決定；δ為彈性變形量。

通過回歸法得出點接觸下的中心油膜厚度經驗公式，同樣適用于球軸承套圈與球之間油膜厚度的計算[9-10]，即

h=2.69RxV′69/100G′53/100W′-67/1 000×

(1-0.061e-73c/100)，

(2)

式中：Rx為接觸物體在x平面的等效曲率半徑；V′為歸一化速度參數；G′為材料系數；W′為歸一化載荷系數；c為Hertz接觸橢圓長軸與短軸的比值。

角接觸球軸承在高速旋轉時，內圈在高速下產生較大離心力，因此產生的徑向膨脹變形為[11]

(3)

式中：Ri，Re分別為軸承內、外圈半徑；ρ為材料密度；ν為泊松比；E為彈性模量；ω為內圈旋轉角速度。

接觸變形發生在球與內、外圈溝道的接觸處，當軸承受載并達到平衡后，內圈和球分別運動到新的位置，局部坐標系中軸承的受力如圖2所示。圖中l為內、外圈溝曲率中心之間的距離；A1j，A2j分別為內、外圈溝曲率中心的軸向、徑向距離；αij，αej分別為內、外圈接觸角；Lij，Lej分別為球中心與內、外圈溝曲率中心的距離。

圖2 球中心與溝曲率中心的位置

(4)

A2j=lcosα+δrcosΨj+εir+μir-εer,

(5)

式中：α為載荷作用前的初始接觸角；δa，δr和θ分別為內外圈相對軸向位移、徑向位移和角位移；dm為軸承平均直徑；fi為內圈溝曲率半徑系數；Dw為球徑；εir和εer分別為內、外圈的徑向熱膨脹變形，可由有限元熱分析得出[12]。

(6)

Lij=(fi-0.5)Dw+δij-hij，

Lej=(fe-0.5)Dw+δej-hej，

式中：hij，hej分別為內、外圈與鋼球之間的油膜接觸厚度；δij,δej分別為位置角Ψj時內、外圈的彈性變形。

高速角接觸球軸承的球和內、外溝道的接觸并非純滾動接觸，而是同時存在旋轉和滑移。考慮到離心力和陀螺力矩作用，鋼球的受力如圖3所示。對于外圈溝道控制，可設系數λij=0且λej=2，否則設λij=λej=1[8]，這樣可減小對精度計算的影響。

圖3 位置角Ψj處鋼球受力

考慮各力水平和豎直方向的平衡得

λijcosαij)，

(8)

式中：Fcj為離心力;Mgj為球受到的陀螺力矩;Qij,Qej分別為內、外圈接觸力。

考慮整個軸承平衡條件，可得

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(9)

r=0.5dm+(fi-0.5)Dwcosα0。

利用Newton-Raphson法對(1)～(9)式聯立求解，可得到軸承載荷分布、接觸角和陀螺力矩等參數。

1.3 彈流潤滑牽引系數

對于運轉的軸承，在載荷的作用下，球與內、外溝道之間存在點接觸彈流潤滑。由于接觸區域較小，導致油膜壓力很高。油在高壓下向玻璃體轉變，呈現出很強的非牛頓特性，即黏度與剪切率呈非線性變化，一般用黏-彈-塑性模型描述[13]。這種黏度的非線性變化導致了油膜的牽引系數也呈非線性。通過試驗和理論分析，得到描述油膜牽引系數的經驗公式為[12]

G[1-exp(-Cε)],

(10)

式中：ε為滑滾比；σmax為最大Hertz接觸應力；A，B，C，G為經驗系數。由此得到不同壓力下，牽引系數隨滑滾比的變化如圖4所示。由圖可知，初始時牽引系數隨滑滾比的增加而變大，當達到一定數值后逐漸降低，且接觸應力越大，牽引系數峰值越高。所以，對于球軸承，球在一定的接觸應力狀態下，其接觸區所能提供的牽引力和抵抗沿陀螺樞軸滑動的阻力矩都是存在極限的。當陀螺力矩大于該阻力矩極限值時，就不可避免地發生滑動。

圖4 牽引系數曲線

2 計算結果與分析

以7005角接觸球軸承為例，其幾何參數見表1。假設軸承不受徑向載荷的作用，且軸向力Fa為1 kN時，通過對軸承力學模型的編程計算，得到球與外圈的最大Hertz接觸應力為

σmax=0.007 33(n2dm)0.22(dmZη)-0.175，

(11)

式中：n為軸承轉速；η為潤滑油動力黏度，η=0.023 5 Pa·s。

計算結果與Boness[14]的經驗公式(11)式的對比結果如圖5所示。由圖可知，隨著轉速的提高，陀螺力矩作用愈加明顯，同時由于離心力作用使高速時外圈接觸應力逐漸變大，最后趨于平穩。文中計算結果比經驗公式的稍大，這是由于后者忽略了高速時內、外圈接觸角的變化以及長時間運轉引起軸承溫升的影響，計算值與經典模型值的趨勢相似、誤差值較小，從而間接說明所建立分析模型的正確性。

表1 7005軸承計算參數

圖5 外圈最大接觸應力計算結果對比

軸承僅承受軸向力時球受力均勻，當軸承受徑向力作用且軸向力不變(Fa=1 kN)時，軸承的受載區發生變化。球周向陀螺力矩和球與內、外圈接觸載荷的變化分別如圖6和圖7所示。

圖6 球陀螺力矩

圖7 內、外圈接觸載荷

由圖可知，隨著位置角和徑向載荷的變化，陀螺力矩發生規律性變化。位置角為180°的球承受的接觸載荷最大，陀螺力矩最小。在摩擦力一定的情況下，為了減少發熱和磨損，就要防止球與內、外溝道產生相對滑動。

摩擦因數一般取決于兩接觸物體的材料和表面粗糙度。不同的工況下，滾動軸承的工作溫度、潤滑條件及受力狀況差異很大。高速轉動的軸承在離心力的作用下球有向外運動的趨勢，使其與內圈的接觸角大于與外圈的接觸角；同時在徑向力的作用下，接觸載荷發生變化，油膜的厚度也隨之改變，從而影響摩擦因數。在不同位置角下摩擦因數的變化如圖8所示。由圖可知，摩擦因數不是一個定值，而是在0.04～0.12之間變化，隨著軸承載荷的增加，摩擦因數也逐漸變大。

圖8 內、外圈摩擦因數

軸承在高速旋轉時產生很大的離心力，會使其產生離心力膨脹。為了研究離心力膨脹對軸承特性的影響，研究考慮和不考慮內圈離心膨脹效應時軸承的內、外圈接觸角和接觸載荷隨轉速的變化規律，分別如圖9和圖10所示。

圖9 接觸角隨轉速的變化

由圖9可知，在離心力的作用下球有向外運動的趨勢，使其與外圈的接觸角變小，與內圈的接觸角變大。轉速越高，離心力越大，接觸角變化越明顯。考慮內圈離心膨脹作用時，外圈接觸角隨轉速升高的減小量增大；內圈接觸角隨轉速升高的增大量減小。

由圖10可知，隨著軸承轉速的提高，外圈接觸載荷變大，內圈的接觸載荷變小。考慮軸承離心膨脹作用時，外圈接觸載荷變化量比不考慮時的要大，而內圈則呈相反變化趨勢。

圖10 接觸載荷隨轉速的變化

3 結論

(1)建立了考慮轉速、受力、潤滑、摩擦及接觸情況等影響因素的高速軸承力學模型，得到軸承接觸角和接觸載荷等參數。通過將建立的高速軸承力學模型與經驗公式計算結果進行對比，間接證明了模型的正確性。

(2)隨著位置角和徑向載荷的變化，陀螺力矩發生規律性變化，在180°位置角時鋼球承受的接觸載荷最大，陀螺力矩最小。

(3)分析了不同位置角下鋼球與內、外圈的摩擦因數，其值在0.04～0.12之間變化，隨著軸承載荷的增加，摩擦因數也逐漸變大。

(4)考慮離心膨脹作用時，外圈接觸角及接觸載荷隨轉速的變化量比不考慮時的大；對于內圈，則結果相反。