淺談二次函數在高中階段的應用

丁衍君

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）03-0084-01

在初中教材中，對二次函數作了較詳細的研究，由于初中學生基礎薄弱，又受其接受能力的限制，這部份內容的學習多是機械的，很難從本質上加以理解。進入高中以后，尤其是高三復習階段，要對他們的基本概念和基本性質（圖象以及單調性、奇偶性、有界性）靈活應用，對二次函數還需再深入學習。

一、進一步深入理解函數概念

初中階段已經講述了函數的定義，進入高中后在學習集合的基礎上又學習了映射，接著重新學習函數概念，主要是用映射觀點來闡明函數，這時就可以用學生已經有一定了解的函數，特別是二次函數為例來加以更深認識函數的概念。二次函數是從一個集合A（定義域）到集合B（值域）上的映射：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）與集合A的元素X對應，記為（x）= ax2+ bx+c（a≠0）這里ax2+bx+c表示對應法則，又表示定義域中的元素X在值域中的象，從而使學生對函數的概念有一個較明確的認識，在學生掌握函數值的記號后，可以讓學生進一步處理如下問題：

類型I：已知（x）= 2x2+x+2，求（x+1）

這里不能把（x+1）理解為x=x+1時的函數值，只能理解為自變量為x+1的函數值。

類型Ⅱ：設（x+1）=x2－4x+1，求（x）

這個問題理解為，已知對應法則下，定義域中的元素x+1的象是x2－4x+1，求定義域中元素X的象，其本質是求對應法則。

一般有兩種方法：

（1）把所給表達式表示成x+1的多項式。

（x+1）=x2－4x+1=（x+1）2－6（x+1）+6，再用x代x+1得（x）=x2－6x+6

（2）變量代換：它的適應性強，對一般函數都可適用。

令t=x+1，則x=t-1 ∴（t）=（t-1）2－4（t-1）+1=t2－6t+6從而（x）= x2－6x+6

二、二次函數的單調性，最值與圖象

在高中階階段學習單調性時，必須讓學生對二次函數y=ax2+bx+c在區間（－∞，－b2a ]及[－b2a ，+∞） 上的單調性的結論用定義進行嚴格的論證，使它建立在嚴密理論的基礎上，與此同時，進一步充分利用函數圖象的直觀性，給學生配以適當的練習，使學生逐步自覺地利用圖象學習二次函數有關的一些函數單調性。

類型Ⅲ：畫出下列函數的圖象，并通過圖象研究其單調性。

（1）y=x2+2|x－1|－1

（2）y=|x2－1|

（3）= x2+2|x|－1

這里要使學生注意這些函數與二次函數的差異和聯系。掌握把含有絕對值記號的函數用分段函數去表示，然后畫出其圖象。

類型Ⅳ設（x）=x2－2x－1在區間[t，t+1]上的最小值是g（t）。

求：g（t）并畫出 y=g（t）的圖象

解：（x）=x2－2x－1=（x－1）2－2，在x=1時取最小值－2

當1∈[t，t+1]即0≤t≤1，g（t）=－2

當t＞1時，g（t）=（t）=t2－2t－1

當t＜0時，g（t）=（t+1）=t2－2

t2－2， （t<0）

g（t）=-2，（0≤t≤1）

t2－2t－1， （t>1）

首先要使學生弄清楚題意，一般地，一個二次函數在實數集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但當定義域發生變化時，取最大或最小值的情況也隨之變化，為了鞏固和熟悉這方面知識，可以再給學生補充一些練習。

如：y=3x2－5x+6（-3≤x≤－1），求該函數的值域。

三、二次函數的知識，可以準確反映學生的數學思維

類型Ⅴ：設二次函數（x）=ax2+bx+c（a>0）方程（x）－x=0的兩個根x1，x2滿足0

（Ⅰ）當X∈（0，x1）時，證明X<（x）

（Ⅱ）設函數（x）的圖象關于直線x=x0對稱，證明x0< x2。

解題思路：

本題要證明的是x<（x），（x）

（Ⅰ）先證明x<（x），令（x）=（x）-x，因為x1，x2是方程（x）-x=0的根，（x）=ax2+bx+c，所以能（x）=a（x－x1）（x－x2）

因為00，又a＞0，因此（x） ＞0，即（x）-x＞0。至此，證得x<（x）

根據韋達定理，有x1x2=ca ∵ 0＜x1＜x2<1a ，c=ax1x2（0），所以當x∈（0，x1）時（x）<（x1）=x1，

即x<（x）

（Ⅱ） ∵（x）=ax2+bx+c=a（x+－b2a ）2+（c－），（a>0）

函數（x）的圖象的對稱軸為直線x=－b2a ，且是唯一的一條對稱軸，因此，依題意，得x0=－b2a ，因為x1，x2是二次方程ax2+（b－1）x+c=0的根，根據違達定理得，x1+x2=－b-1a。

∵x2－1a <0

∴x0=－b2a =12 （x1+x2－1a ）

二次函數，它有豐富的內涵和外延。作為最基本的冪函數，可以以它為代表來研究函數的性質，可以建立起函數、方程、不等式之間的聯系，可以偏擬出層出不窮、靈活多變的數學問題，考查學生的數學基礎知識和綜合數學素質，特別是能從解答的深入程度中，區分出學生運用數學知識和思想方法解決數學問題的能力。

二次函數的內容涉及很廣，本文只討論至此，希望各位同仁在高中數學教學中也多關注這方面知識，使我們對它的研究更深入。