斐波那契數列的探究性學習教學設計

邱香蘭

數學探究性課題學習是指學生圍繞某個數學問題，自主探究、學習的過程。這個過程，包括：觀察分析數學事實，提出有意義的數學問題，猜測、探求適當的數學結論或規律，給出解釋或證明。

一、斐波那契數列的探究式教學設計

（1）學情及學習任務分析。斐波那契數列是人民教育出版社《普通高中課程標準實驗教科書·數學·必修5》第37頁的閱讀材料，是學習完數列概念與表示方法后安排的一節課外學習內容。斐波那契數列是個較復雜的數列，有奇妙的性質，有有趣的通項公式，有廣泛的應用價值。如果按教材上的安排來探究斐波那契數列，學生可能難以全面理解。因此，筆者將它放到數列這一章的末尾來學習。

（2）教學目標設計。通過了解斐波那契數列，激發學生的學習興趣，體會抽象數學概念的實際意義；通過展示生活中的數學，讓學生欣賞數學的外在美和體會數學的內在美，欣賞數學的藝術美；通過證明斐波那契數列的通項公式，體會構造法的神奇；讓學生學會在現代技術條件下如何從網絡上選擇知識、學習知識進而解決問題。

（3）教學重點與難點。讓學生全方位了解斐波那契數列是重點，證明斐波那契數列的通項公式是教學難點。

（4）教學過程設計。

①展示情景，引發問題。通過欣賞小說《達芬奇密碼》片斷，引起學生探究“1332211185”的欲望。

②學生自學教材，解決問題。通過自學教材內容，操作（13-3-2-21-1-1-8-5）→（1-1-2-3-5-8-13-21），學生恍然大悟，原來“1332211185”是斐波那契數列1，1，2，3，5，8，13，21，34，

55，……的前8項打亂排列次序之后形成的一串數。學生猜想斐波拉契數列之聞名，可能還跟美國懸疑作家丹·布朗有關，因為他在他的小說《達芬奇密碼》之中巧妙地運用了該數列。

③小組自主探究，合作交流。分小組探究下列情景中的問題：斐波那契數列的原型——兔子繁殖問題，斐波那契數列與植物生長，斐波那契數列與動物生長，斐波那契數列與螺線。第一小組匯報。一般而言，兔子在出生兩個月后，就有繁殖能力，一對兔子每個月能生出一對小兔子。如果所有兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少對兔子？（篇幅所限，圖略）。第二小組匯報。一棵樹一年后長出一條新枝，新枝隔一年后成為老枝，老枝又可每年長出一條新枝，如此下去，十年后新枝將有多少？第三小組匯報。從蜜蜂的繁殖來看，蜜蜂的生長規律很有趣：雄蜂只有母親，沒有父親，因為蜂后產的卵，受精的孵化為雌蜂（即工蜂或蜂后），未受精的孵化為雄蜂。人們在追溯雄蜂的祖先時，發現一只雄蜂的第n代的祖先數目剛好就是斐波那契數列的第n項Fn. （篇幅所限，雄蜂的家屬結構圖略）。第四小組匯報。薊，它們的頭部幾乎呈球狀。根據教學中出示的圖片，可以看出，順時針旋轉的螺旋一共有13條，而逆時針旋轉的則有21條。例如帶小花的大向日葵的管狀小花排列成兩組交錯的斐波那契螺旋，并且順時針和逆時針螺旋的條數恰是斐波那契數列中相鄰的兩項，其中順時針的螺旋有34條，逆時針的螺旋有55條。蒲公英和松塔、蜘蛛網、水流的旋渦、蝸牛殼的螺紋以及星系內星球的分布等，也是按照斐波那契螺旋排列的。

④抽象出斐波那契數列概念。第一、二、三組發現，若用Fn表示第n個月兔子的總對數、n年后新枝的條數、一只雄蜂的第n代的祖先數目，則可以看出斐波那契數列是一個由遞推關系F1=1，F2=1，Fn=Fn-1+Fn-2給出的數列。第四組發現薊順時針旋轉的與逆時針旋轉的螺旋條數分別是斐波那契數列的第七項和第八項。

⑤探求斐波那契數列通項公式、前n項和公式。探究結果：通項公式為an=■[（■）n -（■）n ] ，前n項和公式Sn=■[（■）n+2 -（■）n+2 ]-1，Sn=an+2-1. 學生發現一個很有趣的事實：一個完全是自然數的數列，通項公式居然是用無理數來表達的。

⑥利用初等數學知識驗證上述公式。教師提示學生通過構造等比數列來求斐波那契數列的通項公式。匯報結果：已知a1=1，a2=1，an=an-1+an-2.

1）首先構建等比數列。設an+αan-1=β（an-1+αan-2） ，則an=（β-α）an-1+αβan-2，比較系數可得：β-α=1，αβ=1。不妨設β > 0，α > 0，解得：α=■，β=■，即an+αan-1為等比數列。

2）求出數列an+αan-1. 由以上可得：an+1+αan=（a2+αa1）βn-1=（1+α）βn-1+βn，變形得：■+■■=■， 令bn=■，則bn+1+■bn=■。

3）求數列bn進而得到an. 設bn+1+λ=-■（bn+λ） ，解得λ=-■，故數列bn+λ為等比數列，即有bn+λ=（-■）n-1（b1+λ） ，而b1=■，故有bn+λ=（-■）n-1（■+λ）。又有bn=■，λ=-■，β-α=1，αβ=1，故有： an=-（-α）nβ-β2λ（-α）n-λβn=-β（1+βλ）（-α）n-λβn=-λ[βn-（-α）n]。又α=■，β=■，故an=■[（■） n-（■） n]，得出an 的通項公式。

⑦教師小結。今天同學探究到的僅僅是斐波那契數列的一部分知識，該數列還有很多奇妙的屬性。比如：隨著數列項數的增加，前一項與后一項之比逼近黃金分割0.6180339887……其實，我國現行的高中教材中提及了楊輝三角，斐波那契數列可在其中尋得。另有斐波那契數列的變式，比如：帕多瓦數列。

⑧練習。1）一只蜜蜂從0號蜂房開始爬，只能往比原來的房號大的蜂房爬，最后爬到9號蜂房，問有多少種不同的爬法？（2003年全國希望杯數學邀請賽） 2）有一條n級樓梯，如果每步只能跨上一級或兩級，要登上第n級臺階，共有幾種走法？

二、教學設計的評述

本節課精心設計了斐波那契數列的探究實驗活動。首先，創設數學情境，激起學生探究興趣。其次，過渡到學生自學教材，小組自主探究，合作交流。然后，抽象出斐波那契數列的概念、通項公式、前n項和公式。最后，引導學生證明結論。另外，教師小結時，注意引導學生把探究學習從課內延伸到課外，讓學生養成探究的習慣。學生在了解數學概念和結論的產生過程中，學會查詢資料、收集信息、閱讀文獻，體驗了數學研究的過程和創造的激情，提高了發現、提出、解決數學問題的能力，發揮了自己的想象力和創新精神。如果離開信息技術，便難以達到這樣的教學效果。這也充分說明利用信息技術進行數學探究是很有必要的。

參考文獻：

[1]教育部.高中數學課程標準（實驗稿）[S].北京：人民教育出版

社，2003.

（江西萍鄉學院）