巧用幾何圖形解決代數(shù)問題

田金玲

【摘要】構造幾何圖形解代數(shù)題，能夠使問題大大簡化，也使得題目的條件和結論之間的關系更清晰，更直觀，同時也拓寬了幾何定理的應用。

【關鍵詞】代數(shù)問題幾何定理數(shù)量關系

【中圖分類號】G64 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）05-0127-01

有些非幾何問題，可根據(jù)題中的數(shù)量關系的幾何意義，以某種方式構造圖形，將題設中的數(shù)量關系直接在圖形中實現(xiàn)，利用幾何圖形的直觀性尋求證明。用幾何法證代數(shù)題構思精巧，直觀，方法簡單。

例一 已知a，b，m∈R+,且a＜b,求證■＞■。

思路：先從比例式考慮，若■=■，可構造相似三角形，使a+m與a,b+n與b為對應邊，若a＜b,則n＞m。變等式為不等式要將左邊的分母縮小，可令n→m,由斜邊大于直角邊表示，故可構造相似直角三角形，如圖

證明：以b為斜邊，a為直角邊做Rt△ABC,延長AB至D，使BD=m,延長AC至E,使得ED⊥AD,過C做AD的平行線交DE于F，如上圖所示，則△ABC∽△ADE。令CE=n。

∴■=■=■

又CE＞CF,即n＞m

∴■＞■=■。

例二 設a,b,c,d∈R+,■=■,且a為最大，求證a+d＞b+c。

思路：由ad=bc,可構造圓的割線，由a為最大，將a作為通過直徑的割線，在其中尋找d和b+c,比較其長短。

證明：取直線ABC,使AC=a,AB=d,以BC為直徑做半圓O,不妨設b≧c,做割線AD=b,交圓于E,過O做弦ED的垂線OF,F為垂足。如圖

∵AC·AB=AD·AE ∴AE=c

又AO=AB +■=d+■=■

AF=AE+■=c+■=■

在△AOF中，AO＞AF

∴a+d＞b+c。

例三 已知a2+b2=1,x2+y2=1,ax+by=0, 求證a2+x2=1, b2+y2=1,ab+xy=0。

思路：由a2+b2=1,x2+y2=1可構造兩個具有長度為1的公共斜邊的直角三角形，又由ax+by=0,即■=■,得到|■|=|■|可知兩個三角形還是全等的。

證明：做Rt△ABC和Rt△ADC,AC=1,AB=|a|,BC=|b|,AD= |x|,DC=|y|,且|a|=|y|, |b|=|x|。

∴a2+ x2=1, b2+y2=1, 且|ab|=|xy|,由ax+by=0可知a,b 若同號，則x,y異號，a,b若異號，則x,y同號，即ab與xy異號。故此，

ab+xy=0。

例四 若0＜θ ＜■，求證sinθ +cosθ ≤■

思路：將原式變形為■﹒sinθ+■﹒cosθ≤1，先考慮等式成立時可視為托勒密定理形式，構造圓內接四邊形，1為最大，故圓直徑為1既可。

證明：做直徑為1的圓AB為直徑，做∠CAB=θ(可以是0到的任意角)，∠ABD=■,C,D為圓上的點，則AC=cosθ，BC=sinθ， AD= BD=■。

由托勒密定理，得BC·AD + AC·BD = AB·CD

即■﹒sin+■﹒cosθ= CD≤1

因此sinθ+cosθ≤■

這個例題在構思上確實是十分巧妙的，固定了直徑AB，有了直角三角形正弦和余弦值轉化為圓內接四邊形的邊，使托勒密定理的應用非常成功。

構造幾何圖形解代數(shù)題能夠使問題大大地簡化，也使得題目的條件和結論之間的關系更清晰直觀，同時幾何定理的作用也被拓寬了。

特別要注意，構造圖形與構造函數(shù)等方法相比，在其構造上有一點重要區(qū)別，那就是構造圖形時，不僅要考慮構造什么圖形，而且還要考慮圖形的所在位置及其代表的量的方向。

構造圖形的解題訓練有益于培養(yǎng)良好的思維品質，對幾何知識的綜合掌握，熟練掌握也有促進作用。平時積累的構造的圖形越多，構造的技巧也會越來越妙。常用的基本代數(shù)式與幾何圖形的對應關系如下:

1.勾股定理a2+b2=c2

2.相似三角形■=■ ad=bc

3.圓冪定理ad=bc

4.射影定理x=■,分別見下圖：

5.托勒密定理