極限式中待定常數的幾種題型和求法

張小華

【摘要】本文主要通過一些典型例題講解了含有待定常數的極限式的幾種題型和求解相關待定常數的方法。包括：有理函數極限式，分式函數極限式和根式極限式中的待定常數，以及利用結論、命題、數學定理、法則和性質等方法來求解待定常數。

【關鍵詞】函數 極限式待定常數

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）05-0146-02

已知一極限式，求其待定常數的題型有下述幾類：

題型一 求有理函數的極限式中的待定常數

常用下述極限結果求之，其中：a0≠0 ，b0≠0：

■■=a■b■，n=m0，n＜m∞，n＞m（結論1）

應用上述結果時，應注意x→∞ 這一極限過程，當然對x→±∞也適用，但當x趨于有限值時，上述結論不再成立，還應注意m,n為任意實數。

例1：已知在（-∞，+∞）上f′■(x)=■+1，且■（■-ax-b)=■[f(x+1)-f(x)]，則

(A) a=1，b=0 (B) a=0，b=1 (C) a=1，b=1 (D)a=1，b=-2

解：由拉格朗日中值定理得到：

f(x+1)-f(x)=f′(ξ)=■+1，ξ∈(x，x+1).當x→∞時，有ξ→∞因而■[f(x+1)-f(x)]=■（■+1）=1，于是有■（■-ax-b）=■■=■■=1， 由（結論1）有1-a=0，-(a+b)=1，解之得a=1，b=-2，僅（D）入選

注意 ：因■f(x)不一定存在，極限■[f(x+1)-f(x)]不一定為0

例2：設a＞0，a≠1，且■xp(a■-a■)=1na，則p=▁▁▁。

解 ：a■-a■=a■(a■-1)=a■(a■-1)，當x→+∞時，

a■→1,a■-1~■1na，故原式左端=■xpa■(a■-1)=■■由（結論1）知當p=2時，原式左端=■■=1na

題型二 確定分式函數極限式中的參數

求法一 用下述命題求之

已知■■=A（x0與A均為常數），且■Q（x)=0[或■P（x)=0]，則P（x)[或Q（x)]必為無窮小量，即■P（x)=0[■Q（x)=0]

上述命題可說成分式極限存在，而分母（或分子）的極限為零，則分子（或分母）的極限也必為零。

先由上述命題推知分子（或分母）的極限為零，從而建立待求參數所滿足的（第1個）方程。

如有多個待求參數，可多次使用洛必達法則（每次使用都要驗證是否滿足洛必達法則的條件）得到多個其分子（或分母）極限為零的等式，從而得到多個待求參數所滿足的多個方程，直接由這些方程能求出待求參數為止。

例3 ： 若■■(cosx-b）=5,則a=▁，b=▁

解：因■■=5，■sinx(cosx-b）=0，由上述命題知■（ex-a）=0，則a=■ex=1

當x→0時，sinx~x,ex-1~x，此時有■■=■■=■（cosx-b)=5

故b=■cosx-5)=1-5=-4

例4 ：已知■■=1，求a，b，c.

解：■x■=0，且■■=1，由上述命題知，必有■（axsinx+bcosx+c）=0即b+c=0，于是使用洛必達法則得到原式（■）=■■=■■（■）=■■=■■=1(*)因■12x■=0，由上述命題知必有■[(2a-b)cosx-axsinx]=0，即■(2a-b)cosx=■(2a-b）=0，因而b=2a，將b=2a代入(*)式得到■■=■■=-■=1即a=-12，從而b=2a=-24，c=-b=24

注意：上例中各式每次使用洛必達法則后，其分子極限總為零，據此求出待定常數。

求法二 利用無窮小的性質求之

這里的無窮小性質是指，有界變量與無窮小之積為無窮小；在極限的加減運算中高階無窮小可以略去；在極限的乘除運算中等價無窮小可以代換。

例5：設■■=2，其中a2+c2≠0，則必有

（A)b=4d (B)b=-4d (C)a=4c (D)a=-4c

解：因x→0時，tanx是與x等價的無窮小，1-cosx是與■等價的無窮小，a≠0,所以b(1-cosx)在x→0時是較atanx高階的無窮小；在x→0時，1n（1-2x)與-2x是等價無窮小，1-e-x■=-(e-x■-1)與x2是等價無窮小，c≠0,故d(1-e-x■)在x→0時是較c1n（1-2x)高階無窮小，根據無窮小的性質：在極限的加減運算中高階無窮小可以略去，得到原式=■■=■■=-■=2，故a=-4c，僅（D）入選。

題型三求∞±∞型的根式極限中的待定常數

一般可用兩種方法確定之。一是直接將所給無理式有理化，求出極限式中所含待定常數；

二是先提出無窮大因子，將∞±∞化為■型，然后由極限存在的條件求出待求常數。

例6：設■（αx+■-β)=0，求α，β

解法1： 原式=■[α+■-β/x]/(1/x)=0，因為，■(1/x)=0，故必有■（α+■-β/x）=0，而■（α+■-β/x）=α+1，故1+α=0，從而α=-1，將α=-1代入給定極限式得到■（■-x-β)=0，于是β=■（■-x）=■■=■■=■=-■

解法2：β=l■（αx+■）=l■■=l■■因β為常數，而上式右端分母的的最高方冪為1，因而有α2-1=0，此時有β=l■■=l■■=■=β,于是α≠1，有α+1=0，故α=-1，從而β=-1/2.

參考文獻：

[1]數學分析中的典型問題與方法[M]．北京：高等教育出版社，1995．

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