差分方程在高中數列教學中的應用

張國勇

【摘要】關于差分方程的研究我們要先從它的發展歷史說起，差分方程是在微分方程誕生之后產生的。因此人們是先研究了微分方程然后才開始研究差分方程的。而這些都是在微積分發明之后才出現的。從大的方向來說它是從函數方程演變過來的，因此其與函數方程有著緊密的聯系。

【關鍵詞】差分方程高中數學數列教學應用研究

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）05-0154-02

從差分方程發展的歷史進程來看首先要從函數方程說起，由于函數方程在理論研究方面的復雜性，因此在最近的兩百年來的發展極其緩慢。直到二十世紀初隨著第一次工業革命的進一步發展和第二次工業革命在科學技術方面的迅猛發展，人們才發現函數方程在許多生產和科研領域的有非常重要的作用，因此從二十世紀初開始其發展在理論上非常迅速，并迅速地推動了科學技術和生產技術的進步。尤其是在航天技術和計算機網絡技術方面的應用和推廣直接推動了人類文明爆炸性的發展。本文主要從蘇教版的高中數學方面對其進行分析和討論。目前對差分方程的教學研究主要集中在解的定性結構分析方面。

一、從差分方程在高中教學中的應用進行分析

當前對差分方程的研究主要是在精確解的定性結構方面，下面主要是從高中數學教學的方面來對差分方程進行分析：

（一）從其在高中數學的教學地位方面進行分析

為了推動新一輪高中數學的課程改革，國務院先后發布一系列重要的文件。在新課改的方案中既強調了各個教學模塊的獨立性也同時強點了各個模塊之間的邏輯關聯性。高中數學在課程內容安排上分為選修和必修兩個部分。必修的課程內容是高考的重點，而選修的課程則是根據學生的未來發展方向和興趣愛好設置的，許多高中數學選修的內容都是大學里面高等數學的內容。這主要是為了學日后的深造奠定良好的數學基礎。高中數學的選修主要分為四個系列，其中差分方程被列入了選修系列四。選修系列四的課程內容主要是針對有良好數學基礎的和期望在數學方面進行長期發展的學生設置的。這也是將高中數學與大學數學連接一個教學延伸。

（二）從其在生產生活領域應用的分析

隨著信息技術的進一步的發展，差分方程在理工和經濟方面的范圍逐步廣泛，同時其在理工和經濟方面的應用程度也不斷加深。在高中數學教學內容上設置這些內容可以使學生切身體會到數學的實用性。使他們提高對數學的興趣。差分方程是中學遞歸序列知識的提升和系統化。其在很大程度上直接推動了高中數學的建設進而發展。尤其是在中學數學建模方面的發展。主要目的是為了培養其在實際問題分析方面的能力。差分方程與數列是高中數學新課程中重要的內容。因為其具有起點低、終點高、技巧性強，難度大和直觀性弱的特點。因此其學習難度比較大。因此其在最近幾年的高考中被作為壓軸題，大部分都是解差分方程的內容。為了使學生掌握一些用離散變量解決基本問題的方法，蘇教版高中數學教材在選修內容上做了具體的規劃。

差分方程與數列的極值、增減和函數圖象的凹凸變化：

例：在y=2x,y=log2x,y=x2,y=cos2x這兩個函數中，當0＜x1＜x2＜1時，使f=■＞■恒成立的函數的個數是（）

A.0 B.1 C.2 D.3

解：已知，滿足f■＞■性質的是凸函數，而在（0，1）為凸函數的有y=Log2x,而y=2x，y=x2為（0,1）上的凹函數，y=cos2x在（0，90°]為凸函數，（90°，1]為凹函數，所以這題的正確答案是B選項。

（1）接著是學習一些差分方程的基本知識，這主要就包括一階性差分方程和二元一階性差分方程組的知識，這就包括數學建模、接等差數列以及通解關系和通解公式，使學生在具體的實例中認識并了解一些描述現實世界的數學模型，了解一階線性差分方程的通解和特解，會用迭代法求一階線性差分方程組的解，對給定的方程組會求出極值并描繪其線性變化等方面的能力。

例如：已知數列{an}中，a1=0,an+1=an+2n-1,求數列的通項公式an。

解： ∵an+1=an+2n-1

∴an+1-an=2n-1

∴a2-a1=1,a3-a2=3,…,an-an-1=2n-3

∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1）

=0+1+3+5+…+（2n-3)=■[1+(2n-3)](n-1)=(n-1)2

又∵a1=0=(1-1)2

∴an=(n-1)2

（2）通過與實際生活中密切相關的實例體會差分方程數學模型的實用性。如企業經營狀況和人口增長，工程進度等生產實例來進行解釋。是抽象的數學概念具體化，生動化。例如以某個人的住房公積金為例利用差分方程對其進行分析。例如：張先生在去年買了一套三室一廳的房子，銀行工作人員告訴他如果利用住房公積金貸款在十年內還清，每個月的利率是0.36%，張先生想貸款十萬元，利用差分方程計算張先生每個月要還銀行多少錢？

解：設Xk為K月末欠銀行的金額，十年內月利率為I,每個月還款額為A，貸款額度為L，下一個月月末欠銀行的金額加上一個月的利息并減去當月的還款額。

即： XK+1=XK+I?鄢XK-A,或XK+1=XK(1+I)-A,K=1,2,…120,

這是一個一階線性差分方程。

∴XK=(1+I)K?鄢C+■,其中C是待定常數,

注意到其中X0是表示最初欠銀行的錢，即X0=L,

代入得L=C+■，解C=L-■，

∴XK=(1+I)K?鄢(L-A/I）+■=L(1+L)K+■[1-(1-I)K]

假設在K個月月末全部還清貸款，即成立 XK=0，應有：

L（1+L)K+■[1-(1+L）K]=0

∴A=■

這就是計算每個月還款的公式。

所以張先生的住房公積金貸款計算過程就是：

已知L=100000（元），K=120個月，I=0.00036，代入數據計算式：A=■≈■≈1020.77（元）

所以張先生在十年內每個月向銀行要還1020.77元錢。

（3）在學習應用方面主要是為了讓學生通過初步的學習能夠

運用差分方程和差分方程組解決實際問題的能力，并使其感受到連續變量與離散的思想。使學生對數列與差分方程的結構由一個步了解到更深層次的認識。鼓勵學生提高用差分方程建立數學方程式和數學模型的能力，因為用差分方程關系式建立數學模型是學會用數學知識解決社會實際問題的重要前提和思想基礎，結合實際問題探討解意義的能力。在教學過程中還應將差分方程與導數的基本性質和概念進行比較，使學生進一步感受到差分方程含義的作用和意義。初步了解將連續變量進行離散化的思想。

二、從差分方程在高考和競賽方面的分析

（一）從高考方面進行分析

（1）由于差分方程是解決許多實際問題的重要基礎，因此近年來一直都是高考的必考內容。差分方程是描述離散變量變化的重要工具，因此在高考中主要考在運算、思維、邏輯推理、實踐能力和分析解決問題方面的能力。作為離散函數典型模型的內容也包含其中，而且差分方程的相關內容已經在許多版本的高中數學教材中唄編入了選修的專題，蘇教版的高中數學教材和這也差不多。這是高中數學課程的良好延伸，同時也是高中數學與大學高等數學的良好銜接。這將十分有利于提高學生在數學方面的使用和實踐能力。例如：

已知數列{an}中，a1=1,an=■an-1+1,n=1,2…求an

解：an=■an-1+1,得an-2=■（an-1-2）

又∵a1-2=-1≠0

所以數列{an-2}是首項為-1，公比為■的等比數列

∴an-2=-1×（■）n-1

∴an=2-21-n,n∈N+

（二）從高中數學競賽方面進行分析

近幾年來針對高中數學的學科知識競賽項目特別多，有許多還成為了學生進入名牌大學的敲門磚。因此在教學過程中通常許多教育工作者會把差分方程與數列的使用作為教學工作和學科研究的重點的。

三、從教學運用和理論方面進行分析

(一)從運用差分方程求解數列問題的方面分析

我國在高中數學差分方程教學應用方面從1992年開始至今已經取得了許多理論性的進展。這對我國近年來的高中數學教材改革有著非常重要的指導作用和參考價值。這研究重要集中用在求和、近似計算以及遞推數列等數學方面的教學性問題。

（二）從用差分方程解決數列應用問題的分析

由于差分方程的運用范圍特別廣泛，尤其是數學建模，這就吸引了許多學者對其進行研究。其中就有在2007年由王樹忠李冬梅兩人共同編著的《數學建?！吩敿毥忉屃藬祵W建模的具體步驟。在《數學建?！芬粫袑＞唧w步驟的描述是：建模準備→模型假設→模型建立→模型求解→模型分析等一共五個步驟。這些都在很大程度上進一步強化了數學在生產生活領域的實用性作用。

總之，近年來對于數學在實際生產生活和科研方面的研究日趨廣泛，并在理論研究方面逐漸成熟。并迅速影響了國家在教育方面的改革，尤其是對高考的改革。

參考文獻：

[1]孟祖國.高中數列的有效教學研究[D].華中師范大學,2011.

[2]景蘭.差分方程在FIR數字濾波器中的應用[J].數學學習與研究,2013,01:113-114.

[3]張楠.HP圖形計算器在高中數列教學中的應用示例[J].數學教育學報,2009,02:63-65.

[4]劉楊.高中數學“數列與差分”專題教學設計研究[D].山東師范大學,2012.

[5]張婷.高中數列不同版本教科書內容的比較研究[D].東北師范大學,2009.