靜電場中的唯一性定理

張 清，鄭贛鴻，戴振翔，馬永青

（安徽大學 物理與材料科學學院， 安徽 合肥230039）

靜電場中的唯一性定理

張 清，鄭贛鴻，戴振翔，馬永青

（安徽大學 物理與材料科學學院， 安徽 合肥230039）

唯一性定理是解決靜電磁場問題的重要理論依據，應用構造恰當函數的技巧和一些數學運算，從給定的邊界條件出發，本文給出了靜電場唯一性定理的證明，最后給出了唯一性定理關于靜電場實際問題的應用舉例.

電動力學；唯一性定定理；邊界條件

靜電場中的唯一性定理是電動力學中的重要定理，在郭碩鴻的《電動力學》已經給出非常清晰的證明.但是還是有必要對靜電場的唯一性定理給出一個統一的系統證明，為解決靜場問題提供理論依據.本文從邊界條件出發，論證了唯一性定理的內在邏輯的合理性，最后給出實例，深化了對唯一性定理的認識.

1 靜電場邊界條件

對于介質表面，用下標i和j表示界面兩側，n表示界面法線方向的單位矢量，從i側指向j側.σ0表示自由電荷面密度.則：

由于界面電場處處不發散的條件，界面兩側的電勢應當在界面上連續.則上式可化為關于電勢的邊值關系：

2 靜電場唯一性定理的證明

2.1 區域內無導體情形

若所研究的區域V可以均勻分區成若干的Vi，即：

每個均勻區域的電容率為εi，給定自由電荷分布ρ(x)，則φ滿足泊松方程：

區域內兩個電解質界面處σ0=0，因而

此外，給定V邊界S電勢分布φ|S=f或電勢在邊界上的方向導數

則：V內的電場唯一確定，既滿足泊松方程及邊值關系的解是唯一的.

證明假設存在兩組不同的解φ1和φ2，且φ1和φ2都滿足泊松方程：

現構造一個新函數：φ=φ1-φ2

則在每個區域Vi內：▽2φ=▽2φ1-▽2φ2=0

兩均勻區域界面滿足邊值關系：

在區域V邊界S上：

構造區域Vi的界面Si上的面積分：

對所有Vi上的積分求和：

在兩均勻區域Vi和Vj的界面上，φ和ε▽φ的法向分量分別相等，而面積元dSi=-dSj；因此在內部分界面上的積分互相抵消.在V邊界S上的積分，由于在上：

φ|S=φ1|S-φ2|S=0或

因為被積函數εi(▽φ)2≥0

則：▽φ=0φ1-φ2=const

因而，φ1和φ2至多相差一個常量，但電勢的附加量對電場沒有影響，即所得到的電場唯一確定.

2.2 區域內有導體存在情形

區域V內含導體的情形分兩種類型進行討論.

設除去導體以后的區域為V1，因此V1的邊界包括界面S以及每個導體的表面Si.設V1內有給定的電荷分布，S上給定 φ|S或.同時給定每個導體上的電勢φi，即給出每個導體V1所有邊界上的 φ|S或值.對于此種情形，已經證明.

第二種類型是：

給定各導體上總電荷Qi以及V邊界上的φ或值，則V內電場唯一確定.

即：假設導體以外滿足泊松方程：

且在第i個導體上滿足

二是加快完善流域水利規劃體系。進一步完善流域綜合規劃體系，海河流域綜合規劃獲得國務院批復，獨流減河口綜合整治規劃治導線調整報告、拒馬河流域綜合規劃通過水規總院審查，流域水中長期供求規劃、滹沱河、薊運河、灤河等工程規劃取得階段性成果。

證明假設存在兩組不同的解φ1和φ2.且φ1和φ2都滿足泊松方程：

現構造一個新函數：φ=φ1-φ2

則在每個區域Vi內：▽2φ=▽2φ1-▽2φ2=0

φ|s=0或

對于區域Vi構造面積分：

面積分包括V的邊界S及每個導體表面Si上的積分.作為Vi上的邊界，Si的法線指向導體內部.在Si上的積分：

即▽φ=0φ1-φ2=const

可見，φ1和φ2只是相差一個常數，因此所得到的電場唯一確定.

綜合以上兩種情形，在給定的邊界條件下，滿足泊松方程及邊值關系的電場唯一確定.

3 結論

從靜場的角度論證電動力學中的唯一性定理已完成.在時變電場中論證唯一性定理和在運動的參考系下即相對論情形下論證電磁張量的特定給定的邊界條件下的唯一性定理是今后進一步的研究工作.

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O441.1

A

1673-260X（2014）07-0021-02

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