淺談數學試題中的合情推理

吳孝威

【摘要】合情推理是解決數學問題的一個重要方面，雖然相對于演繹推理來說，顯得不夠嚴謹，但這并不能讓我們忽視它在培養學生的歸納、類比等推理能力方面的重要作用。在近幾年的中考試題中，我們也發現了很多考查學生合情推理能力的優秀試題。本文將從近幾年實施新課程的地區中考數學試題中例選部分試題，分成三個方面淺析合情推理在中考數學中的試題形式。

【關鍵詞】中考示例；合情推理

反應數學問題有兩個側面，一方面它是一門嚴謹的科學，從這方面看，數學像是一門系統的演繹科學；另一方面，創造中的數學，看起來像是一門實驗性的歸納科學。這實際上是呼應了推理的兩個方面演繹推理和合情推理。演繹推理是思維過程中從一般到特殊的推理，這種推理以形式邏輯或論證邏輯為依據，每一步推理都是嚴密的，不可置疑的，因而可以用來肯定數學知識，建立嚴格的數學體系。合情推理是運用歸納、類比、試驗等方法進行的一種合乎情理、好像是真的推理。從所得命題的真假性來看，合情推理不想演繹推理所命題那樣嚴密和穩定，因此，合情推理又被稱為似真推理，但它是啟發式教學中重要的組成部分。

一、利用基礎規律性探究題考查學生的合情推理能力

基礎規律性探究題在新教材中經常出現，此類題型目的是培養學生的數學思維方式，培養觀察數學的眼光，也是培養學生運用數學知識的途徑之一。此類問題通常運用到一種推理方式——歸納推理。所謂歸納推理，就是從個別事實中推演出一半的結論的推理形式，歸納推理的思維過程包括觀察實驗——概括、推廣——猜測一般性結論。能否完成歸納，關鍵在于通過觀察、抽象、概括出隱含在想象背后的規律。

試題一般是以一系列的數或等式羅列、圖形特定變化為載體的，考查的重點不在于“數學知識”層面，而是以考查借助于觀察，歸納獲得規律的推理能力為核心目標，重點在考“數學思考”。

二、利用類比性探究題考查學生的合情推理能力

類比性探究題是筆者自己歸納出來的一類題型。我們往往采用類比推理的方式解決這類問題。所謂類比推理，就是由兩個對象的某些相同或相似的性質來推斷它們在其他性質上也有可能相同或相似的一種推理形式。它的思維過程一般是觀察——比較——聯想類推——猜測新結論。考查此類問題的關鍵是將條件、操作過程或結果進行恰當的類比，尋找到“類比點”。

三、根據實際生活經驗考查學生的合情推理能力

合情推理是一種合乎情理的推理，當然也包含著“符合現實或實際中的真實情況”的意思。教師在進行數學教學活動時，如果只以教材的內容為素材對學生的合情推理能力進行培養，這樣的教學活動能促進學生的合情推理能力的發展，但是，除了學校的教育教學活動以外，還有很多甚或中的問題也能有效地發展學生合情推理能力。日常生活中有很多問題不能夠也不必要用嚴密的邏輯推理來加以證明，因為他是日常生活中的“必然事件”或“不可能事件”，憑借實際生活經驗，就可以獲得問題的結論。

例：小明中午放學回家自己煮面條吃，有下面幾道工序：①洗鍋盛水2分鐘；②洗菜6分鐘；③準備面條及佐料2分鐘；④用鍋把水燒開10分鐘；⑤煮面條和菜共3分鐘。以上各道工序，除了④之外，一次只能進行一道工序。小明要將面條煮好，最少要用()分鐘。

答案是15分鐘。先完成第一步，需要2分鐘；然后完成第四步，而在完成第四部的時候可以同時完成第二和第三部，這樣的話需要10分鐘。最后呢，完成第五步了，需要3分鐘，總共就是15分鐘了。這實際上是統籌原理。按理說是課程標準所不要求的，但是它并不需要嚴格的推理和驗證，只是讓學生憑借自己的實際生活經驗，合情合理地計算出最少的時間，考查學生處理生活中的信息的能力。

四、根據函數圖像的變化考查學生的合情推理能力

隨著課程改革的不斷深入，對考查學生合情推理能力的試題的探索已經呈現出靈活多樣的內容與形式。特別對于一類變化問題，當不需要函數的精確表示形式（解析表達式），而只需用圖像形式表示函數時，可利用合情推理的思考方法對圖像的變化進行合情、合理地選擇。

此類問題的共同特點都是要求考生借助合情推理的方法探索量與量之間在某種變化中的“大致”圖像，不需要學生進行類似求函數解析式的操作。每個問題的問題情境，為學生利用合情推理獲得正確的結論提供了現實支撐。

綜觀上述試題及其分析，可以看出，合情推理的試題不僅存在于不同題型中，還存在于不同的知識內容之中。由于它包含了觀察、歸納、抽象、概括、類比、猜想等基本的思維活動。因此容易考查學生對基本的數學方法的理解程度，也有利于促進教師的教學方式和學生學習方式的改進及完善。教學中對學生進行合情推理能力的培養，對于老師，能提高課堂效率，增加課堂教學的趣味性，優化教學條件，提升教學水平和業務水平；對于學生，它不但能使學生學到知識，會解決問題，而且能是學生掌握在新問題出現時該如何應對的思想方法，所以，在初中數學教學中越來越引起廣大教師的重視。

參考文獻：

[1]朱建明.《以中考試題為例談合情推理》.南京市教學研究室

[2]楊世明，王雪琴.《數學發現的藝術(數學探索中的合情推理)》.青島海洋大學出版社

[3]【美】G·波利亞《數學與猜想：合情推理模式(第二卷)》.科學出版社