淺析直線和圓的方程中常見的錯誤

安桂林

【摘要】直線和圓是解析幾何的重要內容之一，它是圓錐曲線的基礎，也是連接平面與解析幾何的橋梁，在解析幾何中占有很重要的作用。在解題過程中，常有一些若暗若明、含而不露的條件，隱藏在題設或結論的背后，在我們沒有覺察的情況下，將我們的解題思路引向歧途，如何躲開題中預設的“陷阱”，得到正確的解題結果，這就需要我們對常見的“陷阱”做到心中有數，筆者整理出了解析幾何題中的各種“陷阱”，同學們如果在解答解析幾何題的時候，對照這些可能忽略的條件，一定可以得出更全面正確的答案。

【關鍵詞】直線；圓；曲線；錯解；正解

一、因概念不清而導致錯誤

例1：求經過P（2，3）且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程。

錯解：設直線方程為x-a+y-a=1，將P(2,3) 代入得a=5故x+y-5=0即為所求方程。

剖析：混淆了“截距”和“距離”的概念，忽略了直線過原點時截距為0的特殊情形，此時，直線方程為x+y-5=0。

正解：當直線經過原點時，直線在兩坐標軸上的截距均為０，即3x-2y=0，符合題意；當直線不經過原點時，解法同錯解，故所求直線方程為x+y-5=0和3x-2y=0。

二、忽視斜率不存在

例2：直線l過點P(2,1)且與直線過 的夾角為30°，求直線l的方程。

錯解:設直線l的斜率為k則直線l的方程為y-1=k(x-2),據題意得解得，故所求的直線方程為 。

剖析：在運用直線的點斜式和斜截式方程時，經常會發生此類錯誤，即沒有考慮直線的斜率不存在的情況。事實上當所求直線斜率不存在時也滿足條件，即所求直線還有一解為x=2。

正解：當斜率不存在時，所求直線方程為x=2,符合題意，當斜率k存在時，解法同錯解，故所求直線的方程為x=2和。

評注：若將直線方程設為點斜式或斜截式時，則解題時需分斜率存在和不存在兩種情況討論，否則極易漏解。

三、夾角公式與到角公式混同

例3：求過點p(1,2)，且被兩條平行線4x-3y-1=0與4x+3y+4=0截得的弦長為的直線方程。

錯解：兩條平行線間的距離為，故所求直線與兩條平行線的夾角為45°，設所求直線方程為y-2=k(x-1)，則由題意有，解得，故所求直線方程為x+7y-15=0。

剖析：錯解原因是誤用到角公式代替兩直線的夾角公式。

正解：兩直線間的距離為，設所求直線方程為y-2=k(x-1)，則由題意，解得或k=7，故所求直線方程為x+7y-15=0或7x-y-5=0。

評注:求兩條直線相交所成的角，一定要分清夾角還是倒角。

四、忽視過兩條相交直線交點的直線系方程中的限制條件

例4：求過兩條直線x-2y+3=0與x+y-3=0的交點且在兩坐標軸上截距相等的直線方程。

錯解：設所求直線方程 X-2Y+3+λ(X+Y-3)=0即(1+λ)x+(λ-2)y+3-3λ=0，令X=0得，令Y=0得依題意得，解得λ=1，故所求直線方程為2x-y=0。

剖析：方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0

表示經過兩條直線l1和l2交點的直線系方程，上述解法正是遺漏了的方程，即x+y-3=0也符合題意，故所求直線方程為2x-y=0和x+y-3=0。

評注：運用直線系方程解題時，一定要考慮l2是否符合題意，否則極易漏解。

五、忽視圓的一般方程的充要條件

例5：已知圓的方程為x2+y2+ax+2y+a2=0，過定點A(-1,-2)的圓的切線有兩條，求a的取值范圍。

錯解：將圓的方程配方，得．

設圓心為C，則其坐標為，圓的半徑，

過A(-1,-2)所作圓的切線有兩條，點A在圓外．

|AC|>r，即

化簡，得a2-a+1>0

∵△=1-4=-3<0∴a∈R

故a的取值范圍是R

剖析：要求a的取值范圍應同時滿足兩個條件：方程x2+y2+ax+2y+a2=0表示圓的條件是a2+4-4a2>0；已知點A必須在圓外，即|AC|>r上述解答忽視了方程表示圓的條件而致誤。

正解：方程x2+y2+ax+2y+a2=0表示圓，a2+4-4a2>0即3a2-4<0

解得以下同錯解部分，故a的取值范圍是。

評注：對含參數的圓的一般方程，應注意該方程表示圓的條件，即D2+E2-4F>0。

六、直線夾角中的增漏解

兩直線夾角定義可概括為“從一條直線到另一條的角中，把不大于直角的角叫做兩條直線所成的角，簡稱角”。這個概念雖然簡單，但在解題時，仍會不自覺地走進認識的誤區，導致解題錯誤。

1.多求了一條直線

例：已知直線l1：x+y-2=0，l2：7x-y+4=0，求直線l1和l2夾角的平分線的方程。

錯解：設直線l1和l2夾角的平分線的斜率為k，則由夾角公式得：，解得或k=-3又由，得兩直線交點坐標為．直線l1和l2夾角的平分線方程為x-3y+7=0或6x+2y-3=0。

剖析：由于k1·k2≠-1，所以l1和l2互相不垂直，按兩直線夾角的定義，l1和l2的夾角只能是銳角，它們夾角的平分線方程有且僅有一條，即6x+2y-3=0。而上述解答中，因為忽視了兩直線夾角的概念，而多求了夾角的鄰補角的平分線方程x-3y+7=0。

2.少求了一條直線

例：求過點p(2,3)且與直線l：2x+3y-6=0的夾角為的直線方程。

錯解：設所求直線的斜率為k，因直線l的斜率為，故，解得所求直線的方程為，即5x-12y+26=0。

剖析：由平面幾何知識可知本題由兩解，而上面的解法僅解出一解，漏掉了一解，導致錯誤的原因是沒有考慮斜率不存在的情況。

（1）若所求直線的斜率存在，由上法解得直線方程為5x-12y+26=0。

（2）若所求直線的斜率不存在，由直線過點p(2,3)，故直線方程為x=2，直線x=2與直線2x+3y-6=0的夾角為，滿足要求，故所求直線方程為5x-12y+26=0或x=2。