關(guān)于分式線性變換的一點(diǎn)思考*

張 杰 康 海 燕 任 新 安

(中國礦業(yè)大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系，江蘇徐州 221116)

關(guān)于分式線性變換的一點(diǎn)思考*

張 杰 康 海 燕 任 新 安

(中國礦業(yè)大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系，江蘇徐州 221116)

分式線性變換是復(fù)變函數(shù)中最簡單的一類解析函數(shù)，但卻有著許多重要的性質(zhì).本文細(xì)化了一些已有的結(jié)論，還考慮了更廣一些的解析函數(shù)，以及分式線性變換的其它一些新的性質(zhì).

分式線性變換； 解析函數(shù)；差分變換

1 分式線性變換簡介

2 分式線性變換的類型

分式線性變換也是解析函數(shù)中最簡單的一類函數(shù)，卻具有很好的性質(zhì)，起著很大的作用，可以作為解析函數(shù)研究的重要工具.我們知道每一個(gè)分式線性變換都可以分解為以下四種基本分式線性變換：

(1)旋轉(zhuǎn)L(z)=eiθz,其中θ是實(shí)數(shù)；

(2)伸縮L(z)=rz,r>0；

(3)平移L(z)=z+a,其中a是實(shí)數(shù)；

3 分式線性變換的性質(zhì)

我們知道分式線性變換具有保圓、保角、保交比、保對稱性等性質(zhì)，即有下面的定理.

定理1[2，3]線性變換具有保圓周性.

我們對該定理作如下一些詳細(xì)的說明，即上面四種基本分式線性變換具體保圓性質(zhì)：

我們分以下兩大類考慮：

綜上所述，我們可以得到如下結(jié)論：

例1 求將上半平面變?yōu)閱挝粓A盤的所有分式線性變換.

4 分式線性變換間的運(yùn)算

4.1 分式線性變換間的差分運(yùn)算

差分方程理論和求解方法在數(shù)學(xué)建模和解決實(shí)際問題的過程中起著重要作用.已知L(z)是分式線性變換，那么L(z+1)也是一個(gè)分式線性變換，它可以看成L和平移的復(fù)合，定義L(z+1)-L(z)為L的差分運(yùn)算.對于線性變換與差分方程，我們?nèi)菀子邢旅孢@個(gè)定理.

定理 2 設(shè)L(z)是分式線性變換，那么L的差分運(yùn)算L(z+1)-L(z)不再是分式線性變換.

當(dāng)c≠0時(shí)，L(z+1)-L(z)是一個(gè)2次有理函數(shù).所以L(z+1)-L(z)不是分式線性變換.

4.2 分式線性變換間的乘積運(yùn)算

顯然，分式線性變換之間的乘積運(yùn)算不再是分式線性變換，但有限個(gè)分式線性變換之間的乘積也有很好的性質(zhì)和作用.

結(jié)論：對于分式線性變換L(z)，經(jīng)過四種基本分式線性變換復(fù)合后是分式線性變換，但是僅限于復(fù)合運(yùn)算，不能推廣到四則運(yùn)算(特別地，差分運(yùn)算).

最后我們把保圓、保角定理結(jié)合起來作如下一些說明，分式線性變換把圓Γ1映射為圓Γ2，那么如何判別把圓的內(nèi)部映射為圓的內(nèi)部還是圓的外部.我們只要在Γ1上按照Γ1圍的圓γ1的正向依次取3個(gè)點(diǎn)z1，z2，z3，即z1→z2→z3，保持區(qū)域γ1在左手邊，然后找出它們的像w1，w2，w3，繞Γ2走時(shí)，左手邊的區(qū)域就是γ1的像.

解：設(shè)L(z)是將邊界R映射為邊界R的分式線性變換，那么產(chǎn)生的結(jié)果就是：

[1]Tristan N. Visual, Complex Analysis[M]. Oxford: Oxford University Press, 1997.

[2]譚小江，伍勝健.復(fù)變函數(shù)簡明教程[M].北京：北京大學(xué)出版社，2006.

[3]廖良文.復(fù)分析基礎(chǔ)[M].北京：科學(xué)出版社，2014.

(責(zé)任編輯 張建軍)

] 校級(jí)項(xiàng)目“關(guān)于《復(fù)變函數(shù)》課程教學(xué)改革的一些研究”(項(xiàng)目編號(hào)：2014QN34).

2014-8-23

張 杰，男，江蘇常州人，中國礦業(yè)大學(xué)理學(xué)院講師，博士.

0174.5

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1671-1696(2014)11-0004-03

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