一個數(shù)學問題的探究

朱 華 東

(江蘇省石莊高級中學，江蘇如皋 226531)

一個數(shù)學問題的探究

朱 華 東

(江蘇省石莊高級中學，江蘇如皋 226531)

對《數(shù)學通報》2013年第7期刊登的第2126號問題圓的外切四邊形的一個性質(zhì)進行探究.考慮能否推廣至圓的外切多邊形，再進一步探究橢圓外切四邊形的一個性質(zhì)，體會對數(shù)學問題探究從特殊到一般的方法.

圓外切多邊形；橢圓外切四邊形；定值

《數(shù)學通報》2013年第7期刊登的第2126號問題是：

已知四邊形ABCD是⊙I的外切四邊形，則下列恒等式成立：

此結(jié)論可否推廣至更一般的情形，本文進行了探究性研究，獲得了一些有趣的結(jié)論.

1 可否推廣

問題2126可否推廣到有內(nèi)切圓的多邊形中呢.

若n邊形A1A2…An是⊙I的外切n邊形，是否有

其中f(n)是僅與多邊形邊數(shù)n有關(guān)的函數(shù).由問題2126，f(4)=2.

若以上猜測成立，f(n)的表達式應為什么呢？顯然猜測成立時，當n邊形A1A2…An是正n邊形時也成立.據(jù)此，我們可求出f(n).

如圖1，設(shè)正n邊形A1A2…An的內(nèi)切圓⊙I與AnA1相切于Hn，設(shè)IHn=1，則

圖1

綜上，提出猜想：若n邊形A1A2…An是⊙I的外切n邊形，則

我們來否定這個猜想.

圖2

2 另辟蹊徑

圓的圓心在橢圓中既可看作中心，也可看作兩個焦點，即圓也可看作有兩個焦點，只不過兩個焦點重合于圓心而已.根據(jù)這一觀點，我們可以提出如下一個問題：

探究如下：

圖3

(a>b>0)的外切四邊形，F(xiàn)1(-C,0),F2(C,0).切點分別為E,F,G,H,設(shè)E(acosθ1,bsinθ1),F(acosθ2,bsinθ2),G(acosθ3,bsinθ3),H(acosθ4,bsinθ4),則直線DA的方程為：

xbcosθ4+yasinθ4=ab,

(1)

直線AB的方程為：

xbcosθ1+yasinθ1=ab.

(2)

(1), (2)聯(lián)立，解之得：

(3)

(4)

(5)、(6)代入(4) 得,

(7)

由(3), (7)得

(8)

同理，

(9)

已證命題成立.

同理，也可證得：

定理 若△ABC是橢圓L的外切三角形，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓L的兩個焦點，則

(責任編輯 張建軍)

2014-05-05

朱華東，男，江蘇如皋人，江蘇省石莊高級中學教師，中教一級.

G632.3

A

1671-1696(2014)11-0093-04