尋求師生數學思維的共同發展——《可能性大小》磨課的實踐與思考

謝 華（浙江省龍游縣實驗小學）

數學思維是指數學活動中的思維，是人腦和數學對象（空間形式、數量關系、結構關系）交互作用并按一定思維規律認識數學內容的內在理性活動.不同層次的學生，其數學思維能力有很大差異.就后進生而言，其知識結構、學習習慣與行為方式等直接造成了他們思維的遲鈍與膚淺，他們的數學思維能力尚處于較低層次的發展水平；就中等生而言，雖能推理分析較簡單的數學材料，解決一般性數學問題，但對于難度較高的問題，其思維的靈活性、深刻性與獨創性明顯不夠，其數學思維能力處于中等發展水平；就優等生而言，其推理、想象與解決問題能力較強，能將所學知識融會貫通，思維表現出較好的敏捷性、靈活性、深刻性等品質，他們的數學思維能力發展水平較高.因而，我們在培養學生數學思維時，應基于學生已有知識經驗、心理發展規律以及教學內容的特點，開展有效性教學，不斷提升學生的數學思維水平.下面，筆者以執教北師大版五年級下冊《可能性大小》為例，粗淺探討在學習數學知識、解決問題的過程中如何尋找學生的數學思維、將解決問題和數學思維有機結合，讓師生的數學思維共同發展.

一、順應學生的數學思維，確定學習起點

在學生已掌握的數學知識的背后，有其特有的數學思維方法，教師應該順應學生的思維，確定教學起點.

1.課堂從0/2開始教學

在一次下鄉送教時，課前談話，我和學生聊了一陣家鄉的旅游景點——龍游石窟：根據你的了解，說說龍游石窟最初用途的可能性，用學過的可能性的知識，完整地說句話.隨后開始進入課堂，出示情景，在一紙盒里放入兩顆紅球.

師：在這個盒子里，你摸到白球的可能性用學過的詞說一下.

生：不可能.

師：為什么？

生：因為盒子里沒有白球.

師：假如用數學中的數來表示，你會用什么數表示？

生：0/2

師：（表情驚訝），你是怎么想的？隨即馬上進行了板書0/2

生：盒子里共有兩顆球，我就把分母寫成2，因為沒有白球，所以分子就寫成0

師：同學們有沒有聽明白，趁機讓其余學生復述一下.

在其他課堂教學《可能性》時，一般學生都是用原來學過的不可能這個詞來表述，用數就是用0來表述 ，學生認為沒有白球，摸到白球的可能性自然是0，大多數學生對這個知識還是有的.但這個學生在掌握這個知識時，還把自己的數學思維展現給了大家，這恰恰也是本節課的教學重點.課堂就從0/2開始了，讓多個學生的復述，培養他們的數學思維，幫助學生理解，分母就表示球的總數，分子就表示白球的數量，老師也適時地進行了相應的板書，以便于學生更好地理解.

2.從認知起點出發，改編例題

維果茨基的最近發展區理論中指出，學生在數學知識的建構過程中，其已有的知識經驗與新知識的距離將極大地影響學生學習的有效性.他將學生的學習分為兩種發展水平：一種是已有的發展水平；另一種是學習者通過學習可以達到的水平，這兩種水平之間的距離就是“最近發展區”.最近發展區過大，學生學習會有困難；過小，不利于學生思維和發展.考慮以上的原因，教師將例題進行了較大的改動，將數學書上原有的多個盒子情景圖進行了整合，去掉原來分散的、單一的教學情景圖，設計成運動的盒子圖，圖中原有一個白球，一個紅球，摸到白球的可能性是多少.情景中，白球的數量不變，紅球的個數不斷增加，讓學生說說用什么分數表示，觀察后引導學生思維：什么變了，什么不變？如果在0和1之間的線段里，你想這分數會愈來愈趨向幾；有沒有可能就是0？教師在整個教學設計中讓學生經歷了猜想——驗證——想象，拓展了學生的思維，建構了數學模型.

古羅馬教育家普魯塔克曾說：兒童的心靈是一顆需要點燃的火種.通過這樣改編后的動感的情景，打破了學生的思維定勢，逐漸提升了學生的思維層次，拓展了同學們的思維空間，更有利于培養學生思維的靈活性和變通性.

二、同步學生的數學思維，完成教學新知

學生數學思維發展中的個性差異，又稱為數學思維的智力品質，它是數學思維發展水平的重要指標.教師應設計條件開放的練習，由學生確定解題策略并組合成各種有效的解題方法，以同步學生的數學思維.

1.合作分工，要求由學生制定，發展學生思維

按教學慣律，合作活動時學生的活動分工都是由教師提前制定的，學生只能按要求去執行，學生的數學活動處于被動狀態.在課堂上，我嘗試讓學生來進行合作分工，并制定合作要求.開始，教師讓學生拿出準備好的活動器材和統計表格.然后，就把問題直接拋給了學生，你們覺得該怎么分工，怎么活動？看著學生們躍躍欲試的表情，教師心里清楚，現在全班學生開始合作學習，許多學生是無法快速有效完成合作活動的.教師讓最踴躍的合作小組上來，讓學生說說是怎么分工的，小組里每位同學都做哪些事情，每位同學活動時又要注意些什么.并當場讓他們進行了現場嘗試.其余學生做了些小小的補充.學生得出了活動的要求：

①組長拿袋子并安排好摸球并記錄，全組摸10次，記錄時可用“正”字法；

②摸球前搖一搖袋子，摸球時不要看袋子里的球，摸完后把球放回袋子；

③記錄員把你組里摸的總次數和摸到紅球的次數記錄在活動記錄表中.

學生的合作活動就開始了.教師適時地參與了部分困難組的活動.教師發現，這樣的活動方式使學生興趣更加濃厚，參與的積極性自然很高.從反饋情況看，學生的參與度高，每組的分工方式有些不同，有的是一個人摸球，有的是輪著摸球，搖袋、記錄、監督也是如此.學生的記錄統計方式也不同，有些組是用數記錄的，鉛筆在不斷添寫；有些組是用打橫線記錄的；有些組是打鉤記錄的；有些組是用“正”字法記錄的.

這樣的合作活動既能有效地讓學生理解用分數表示可能性的意義，又培養了學生的思維習慣，知識得到有機銜接、融會貫通，豐富了學生的知識，提升了學生的思維能力.

2.數據統計，方式選用學生的，同步師生數學思維

數學統計的教學是數學知識教學的重要組成部分，由于其本身的復雜性、抽象性，我們在理解和掌握時可將其分解為多個層次，先一層一層地認識，理解每一層次表達的意思，然后再分析和綜合各層次間的內在聯系，使形成完整的易于掌握的知識成為學生思維的必然.許多課堂里，教師的思維和學生的思維都是不盡相同的.在統計全班活動數據時，許多教師會機械重復地做些簡單的統計，花費了較多的時間，又難以計算.在發現學生多種統計的方法后，我引導學生比較：哪種統計方法簡潔，快速，是你喜歡的方式？在學生匯報各組活動數據時，我也采用了學生的思維方式，用“正”字法進行統計.這時，師生的數學思維是同步的，學生在理解和統計時，會覺得容易、自然，縮短了教師板書的時間，也減少了學生統計的時間，學生很快就算出全班摸球的總次數以及摸到白球的次數，得出全班的摸到白球的可能性，用分數表示是多少，然后再想象，摸的次數越來越多的情況下，摸到的白球的可能性震蕩幅度會越來越小，越來越趨向于準確值.

三、互補師生數學思維，強化實際應用

在教學實踐中發現，數學思維功能僵化現象在學生中是大量存在的.教師應啟發學生在數學思維中善于抓住問題本質的能力，正確、合理、巧妙地運用概念、法則、性質、公式等基本知識，強化實際應用，共同發展師生數學思維.

在課堂的實際應用環節，我設計了以下的題目：

1.任意擲一下骰子，數字5朝上的可能性是（ ）

奇數朝上的可能性為（ ），合數朝上的可能性為（ ）

這個練習，綜合了數的有關知識，進一步理解可能性的大小用分數表示的方法.

2.十字路口的交通信號燈在一分鐘內紅燈亮30秒

綠燈亮25秒，黃燈亮5秒，當你抬頭看信號燈時，看到的是紅燈的可能性是（ ），看到的是黃燈的可能性是（ ）.

遇到生活中常見的情況，將學過的知識進行應用.

3.現有紅、白、藍、黃4種球各10個.摸到白球的可能性是（ ）.

學生在應用時，舉例證明擺放的方法.大多數學生都能說出兩到三種方法，但很少有學生比較系統地全部說出各種可能.在發現學生這種情況后，我及時提高了應用目標.提出新的問題：你覺得這種情況下，白球最多能放幾個，非白球能放多少個？學生的思維得到激發，他們在積極思考，探求各種途徑，有的還在一一舉例；有的從分數意義出發，考慮分數的特征；有的用份數在思考，白球占其中的幾份；還有部分學生從最多10個白球出發，倒推回來.學生的思維各有其特點，教師在學生匯報的過程中，更多地了解了學生的思維特點，讓自己的思維得到進一步的發展.

結束語：

心理學家認為，培養學生的數學思維品質是發展數學能力的突破口.數學思維的教學應從學生的思維潛在水平開始，通過教學把潛在水平轉化為新的現有水平，在新的現有水平基礎上，又出現新的思維潛在水平，并形成新的思維最近發展區，于是教學又從新的思維潛在水平開始……這樣循環往復不斷轉化，推動數學思維向前發展.

美國教育家杜威說：“教學的藝術，一大部分在于使新問題的困難程度，大到足以激發思想，小到加上新奇因素自然地帶來的疑難，足以使學生得到一些富于啟發性的立足點，從而產生有助于解決問題的建議.”因此，教學中我們不單要傳授知識，而且要特別重視培養學生學會思維，加強學生數學思維能力的培養，同時，在設計練習和解決應用時，也提高教師的數學思維.在課堂里，共同發展師生的數學思維，提升數學課堂的效益.

［1］郅庭瑾《為思維而教》，教育科學出版社，2007年12月

［2］徐曉蘭《經歷有效探究過程，提升數學思維水平》，《網絡科技時代》，2008（6）