若干數學習題的知識性錯解與分析

紀宏偉（江蘇省如皋高等師范學校）

知識性錯誤是指學生對某些有關知識理解不清，運用不當造成的失誤，主要類型有：數學概念理解錯誤，公式法則應用錯誤，定理性質應用錯誤，數學方法應用錯誤，在錯誤類型中，這類錯誤占據較大部分比例，可以說是學生丟分的“主源”.前車之覆后車之鑒，將常見、流行的知識性錯解加以整理辨析，分類探源，可以幫助學生找出自己學習中的薄弱環節，使得學習重點突出，復習更加有針對性，方法更加有效.

一、概念理解錯誤

數學概念中的每一個定義、術語、符號乃至習慣用語，都有明確具體的含義.對于數學概念理解不透，內涵、外延把握不準都是導致解題出錯的主要原因.

二、誤用公式、法則

數學公式是解決數學問題的工具，是數學知識點的重要組成部分，數學中的公式、法則都由條件和結論組成.要應用結論，必須首先注意能使結論成立的條件.在數學學習中，記錯了公式，或是記混了公式，或是忽視運算法則的適用范圍，或是只局限于死記一些結論而不注意使結論成立的條件，往往會導致謬誤，因此造成失分也是非常普遍的.

三、性質、定理應用錯誤

數學中的定理、性質是數學邏輯推理的依據，也是解決數學問題的工具，多數題目的設置就是以考查定理、性質的靈活應用為主要目的.由于對性質、定理把握不準、混淆不清，記錯、用錯、理解錯誤而導致各種錯誤屢見不鮮，頻率較高.

例 6 已知 f（x）=ax2-c滿足-4 ≤ f（1）≤ 1，-1 ≤ f（2）≤5，求 f（3）的取值范圍.

評析：有學生這樣處理：由題意1≤c-a≤4①，-1≤4a-c≤5②，f（3）=9a-c.一方面，①+②得0≤3a≤9，所以0≤9a≤27；另一方面①×4+②得3≤3c≤21，所以-7≤-c≤-1，故-7≤9a-c≤26.上述錯誤在于兩次運用不等式的“可加性”性質導致不等式不等價變形，每用一次“可加性”，則范圍就擴大一次，連續兩次連用，使9a-c的變化范圍不精確.正確解答是應用待定系數法，使 f（3）用 f（1），f（2）表示出

四、數學方法應用錯誤

高中階段常用的數學方法有：配方法、換元法.待定系數法等等，這些方法是數學思想的具體體現，是解決問題的手段.對數學方法內涵不明確，或者對實施的步驟作法不熟悉，從而易導致數學方法應用錯誤.

例7 已知 x∈［0，1］時，f（x）=x2+ax+3-a>0恒成立，求實數a的取值范圍.

故 g（x）在［0，1）上單調遞增，故 g（x）在［0，1）上的最小者g（0）=3，

從而a<3，即所求a的取值范圍為（-∞，3）.

正如哲學家波普爾所說“錯誤中往往孕育著比正確更豐富的發現和創造因素”，解題錯誤也是我們學習中的寶貴財富，它暴露了我們的認知缺陷與不足，但同時也給我們提供了“治療”的方向和糾錯的機會.只要我們認真地追根溯源查找錯因，深入反思總結，就可以克服知識弱點、盲點，填平知識缺陷，把知識掌握得更牢靠、全面、深刻，如此，錯誤重演的幾率就可以降到最低了.的課上教師問一句，學生答一句，這種一問一答式讓學生缺乏自主觀察、提取信息、發現問題的機會，也使得知識揉捏過碎；有的教師有些拘泥于事前設計好的教案，面對學生課堂自動生成的有效契機不能靈活調控；有的教師對學生出現的問題引導不到位，常被學生牽著走；有的教師課堂評價語言零碎、隨便，起不到激發鼓勵學生的目的……我們就學學專家教給我們的“秘訣”吧：“兩個解讀（吃透）與教學經驗、智慧有機融合，厚積薄發.吃透教材=學科知識+解讀文本的智慧，吃透學生=學生知識+解讀學生的智慧.智慧是由經驗凝聚而成的.”

課堂教學評比結束后，筆者作為教研員，通過課后點評、與參賽教師、現場聽課教師的三維互動，對全市數學教師進行了“在我們的課堂教學中如何實踐課標新理念”為主題的培訓活動.此次“打造優秀教研團隊，提升教師專業素養，落實新課標理念，提高課堂有效性”的以課代訓活動展現了教師對新課程理念、新課標、新教材的理解和把握，增進了校際之間、教師之間的交流與合作，全面提高了教師適應新課程、實踐新課程、反思新課程的能力，有效地促進了教師專業化水平的提升，真正實現了用思想指導行動，用智慧啟迪課堂.