挖掘課本習(xí)題 構(gòu)建高效課堂

李家宇（安徽省合肥市長豐縣第一中學(xué)）

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，高中數(shù)學(xué)課程還應(yīng)倡導(dǎo)自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式.這些方式有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過程.同時(shí)，高中數(shù)學(xué)課程設(shè)立“數(shù)學(xué)探究”學(xué)習(xí)活動(dòng)，為學(xué)生形成積極主動(dòng)的、多樣的學(xué)習(xí)方式進(jìn)一步創(chuàng)造有利的條件，以激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，鼓勵(lì)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，養(yǎng)成獨(dú)立思考、積極探索的習(xí)慣.

那么怎樣將自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流等學(xué)習(xí)方式落到實(shí)處，構(gòu)建起高效愉悅的課堂是每個(gè)老師都迫切需要解決的課題，我認(rèn)為深度挖掘課本例題習(xí)題，創(chuàng)新問題情境是解決上述問題的一個(gè)好辦法.

課本中每一個(gè)例題的設(shè)置都有其目的和作用，體現(xiàn)著本節(jié)知識(shí)應(yīng)達(dá)到的能力要求.我們不僅要緊扣課本，認(rèn)識(shí)到認(rèn)真鉆研課本的重要性，突出課本基礎(chǔ)知識(shí)的作用，突出課本例題中數(shù)學(xué)思想方法的挖掘和應(yīng)用，也要重視課本習(xí)題潛在功能的挖掘與利用.指導(dǎo)學(xué)生回歸課本，依“綱”固“本”，挖掘課本潛在功能，對(duì)課本典型問題進(jìn)行引申、推廣、探究，為學(xué)生形成積極主動(dòng)的、多樣的學(xué)習(xí)方式進(jìn)一步創(chuàng)造有利的條件，以激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，鼓勵(lì)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，養(yǎng)成獨(dú)立思考、積極探索的習(xí)慣.這不僅是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求的，也與高考命題的“源于課本，高于課本”的理念是相吻合的.

在使用《普通高中新課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書人教A版選修2-1》時(shí)我進(jìn)行了一些嘗試，感覺取得了很好的效果.

案例一：課本P41面的例2

例2 如圖，在圓x2+y2=4上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作軸x的垂線段PD，D為垂足．當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PD的中點(diǎn)M的軌跡是什么？

分析：點(diǎn)P在圓x2+y2=4上運(yùn)動(dòng)，由點(diǎn)P移動(dòng)引起點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)，則稱點(diǎn)M是點(diǎn)P的伴隨點(diǎn)，因點(diǎn)M為線段PD的中點(diǎn)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)可由點(diǎn)P來表示，從而能求點(diǎn)M的軌跡方程．

解法剖析：①（代入法求伴隨軌跡） 設(shè) M（x，y），P（x1，y1）；

②（點(diǎn)與伴隨點(diǎn)的關(guān)系）因?yàn)镸為線段DP的中點(diǎn)，

【點(diǎn)評(píng)】本例所用到的方法是“代入法求伴隨軌跡”.課本的用意是讓同學(xué)們理解并學(xué)會(huì)用這樣一種方法求一類點(diǎn)的軌跡.如果教師只是就例講例，而不對(duì)課本進(jìn)行深入的挖掘，那就太可惜了.學(xué)生也會(huì)認(rèn)為只是個(gè)普通的例題而已，而失去了學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過程也將蕩然無存了.

我在和同學(xué)們探討完上面的例題后，緊接著給出了課本P50面B組第一題：

教師：這里的圓是確定的，不同的是改變了M的位置，大家可否先猜想一下M的軌跡呢？

學(xué)生：應(yīng)該還是橢圓吧？

教師：為什么呢？

學(xué)生：因?yàn)楹屠?很相似，點(diǎn)P移動(dòng)引起點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M是還點(diǎn)P的伴隨點(diǎn)，只不過關(guān)系式改變了，實(shí)際還是受點(diǎn)P的控制.

教師：可否用相同的方法求解呢？

教師：回答得相當(dāng)不錯(cuò)，請(qǐng)同學(xué)們?cè)囍鲆幌?（待大家得出正確的結(jié)論后，幾何畫板展示拖動(dòng)，是橢圓）

教師：縱觀這兩道題，可有更一般化的題設(shè)和結(jié)論嗎？

學(xué)生：老師，我想可以把圓x2+y2=4換成更一般的圓x2+y2=R2，按照剛才的求法，例2和習(xí)題1應(yīng)該是焦點(diǎn)分別在x軸和y軸上的橢圓.

變式教學(xué)是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的瑰寶.通過以上的探討，使同學(xué)們把握住軌跡問題中有一類是“變化中又有不變性”的問題，并掌握了解決方法.在這個(gè)過程中，同學(xué)們深刻體會(huì)到提出猜想，嚴(yán)格證明，體驗(yàn)感悟，思想共鳴等一系列探究活動(dòng)開展是很好的，因?yàn)樗麄兏菀着鍐栴}的實(shí)質(zhì).

類似的做法我還應(yīng)用到了對(duì)《人教A版選修2-1》P41面的例3上.

在學(xué)過雙曲線后，我又和同學(xué)們一起探討了k值為正數(shù)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程.（為雙曲線）.

在課堂教學(xué)過程中，教師對(duì)課本例題習(xí)題進(jìn)行深度的挖掘，改變題目的條件或結(jié)論，通過自主探究，培養(yǎng)學(xué)生手腦結(jié)合，注重實(shí)踐的習(xí)慣.不僅可以讓學(xué)生主動(dòng)參與知識(shí)的形成過程，了解知識(shí)的來龍去脈，還能促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，有助于激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)，提高學(xué)習(xí)活動(dòng)效率.

高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)該首先強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，否則會(huì)將生動(dòng)活潑的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)淹沒在形式化的海洋里.因此數(shù)學(xué)課應(yīng)該返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì).解析幾何的軌跡問題由于具有較強(qiáng)的綜合性且具有動(dòng)態(tài)的因素，題目多變，解題方式靈活，同學(xué)們對(duì)此很不容易把握.很多老師對(duì)解析幾何的教學(xué)感到頭疼.其實(shí)利用“幾何畫板”輔助一下教學(xué)，讓同學(xué)們直觀感受解析幾何中軌跡問題的實(shí)質(zhì)，不失為一種有效的辦法.我在上完“雙曲線”后對(duì)這種方法進(jìn)行了嘗試.

案例2：《人教A版選修2-1》P49面第7題

如圖，圓O的半徑為定長r，A是圓O內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，P是圓上任意一點(diǎn).線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)P點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是什么？為什么？

教師：猜猜看，點(diǎn)Q的軌跡是什么呢？

學(xué)生：可能是橢圓吧？

教師：“可能”一詞用得相當(dāng)好，因?yàn)檫€沒有證明.還只是猜想.我們來看一看（幾何畫板動(dòng)態(tài)演示），確實(shí)是橢圓，能否證明呢？

學(xué)生：這里OP是定長r，連接QA，則由l是線段AP的垂直平分線可知 OA =QP即 OA +QO =QP +QO =r是一個(gè)定長，焦點(diǎn)是O和A，長軸是r.

教師：很好.想想AP的中點(diǎn)D的軌跡是什么呢？

學(xué)生：還是橢圓么？

教師：我們應(yīng)該從什么角度去思考啊？幾何關(guān)系.大家看，點(diǎn)還是受控制的吧.我們來看一看.（幾何畫板演示，軌跡是一個(gè)圓），怎樣解釋呢？

教師：再看，把A點(diǎn)放在圓外，線段AP改為直線AP，其他條件不變，點(diǎn)Q的軌跡會(huì)是什么情形呢？我們來看一看，大家來找?guī)缀侮P(guān)系.

學(xué)生：雙曲線.（學(xué)生感嘆軌跡的奇特，數(shù)學(xué)真好玩，一點(diǎn)也不枯燥）.

反思：教師首先對(duì)課本進(jìn)行深挖掘利用好課本的例題習(xí)題，選擇合適的探究素材，預(yù)設(shè)和課題具有實(shí)質(zhì)聯(lián)系的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)和數(shù)學(xué)問題作為對(duì)象.借助“幾何畫板”直觀地體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，并且讓學(xué)生感到好玩.

高效的數(shù)學(xué)課堂是一種追求，更是一種境界.需要我們不斷日積月累，需要我們用自身創(chuàng)造、精心設(shè)計(jì)，我們教師要潛心研讀教材，充分挖掘教材中的本質(zhì)，使數(shù)學(xué)教學(xué)與培養(yǎng)學(xué)生健康心理有機(jī)結(jié)合，努力為學(xué)生創(chuàng)建學(xué)習(xí)的樂園，達(dá)到教書育人的目的.