“學講計劃”課例探究——記一類不等式問題的“整合”與“創新”

繆葦偉（江蘇省徐州市豐縣中學）

高中階段，不等式的恒成立問題是一種重要題型，學生普遍感覺較難.一方面是題目的類型和形式多樣；另一方面是方法靈活多樣、思維含量較高．涉及函數的圖像與性質、導數及其應用，滲透著換元、化歸、數形結合等思想方法．不等式恒成立問題多與參數的取值范圍問題聯系在一起，往往與函數的單調性、極值、最值等相關．對于不等式恒成立的常用解題方法已是老生常談的問題，本文在這里就不再闡述．但我們知道不等式恒成立問題形式千變萬化，考題亦?？汲Ｐ拢鴮τ谝恍╊}目，學生即使采用常規的方法去解決，仍然會出現不少的新問題．在此類現象的基礎上，作者結合近期我校實行的“學講計劃”這一新課改模式，對復習試卷上出現的不等式問題，及時進行了此類問題的講評.在課堂上除了對此類問題的常規解題方法進行“整合”以外，在其他方面也進行了“創新”，把一節試卷講評課變成了一節探究課，讓學生在“學講計劃”課改模式下不斷領悟和總結，從而促使學生在解決此類問題的能力上得到改善和提高.

一、課堂實錄（摘錄）

教師：我們繼續講評試卷，請看第18題

教師：上述解法是我們這次練習中出現的一類解法，并且比較集中，現在請各小組認真分析上述解法的正確與否，然后請幾位同學把交流討論的結果進行闡述.

學生分組活動：3分鐘后

甲組代表：老師，本題解法好像無誤，我也是這樣做的，仍不明白錯誤何在.

乙組代表：不正確是肯定的了，但是我有點不明白這里面的m的作用；

教師提示：剛才甲組同學說得很好，這里m的作用是什么？還有，本題是解關于誰的不等式？

丙組代表：好，我明白了，不正確，這里m的作用是參數，本題是解關于x的不等式，應該用m來表示不等式的解集；

教師：很好，這位同學總結的好，本題中的m與x并不是雙自變量，是解關于x的不等式，m的作用是參數，但此解法誤認為是不等式恒成立問題，這也是此解法錯誤的根源，正確解法應該是用m來表示不等式的解集.請同學們繼續思考，應該如何給出正確解法呢？

【教師整合一】

提高對不等式恒成立問題的本質認識

在解決此問題的過程中，由于學生對不等式恒成立問題的本質模糊不清，把解不等式與不等式恒成立混為一談，導致了上述的錯解，所以在教學過程中，教師要提高學生對不等式恒成立問題的本質認識．可見，學習數學不僅僅是使用數學公式、數學方法解題，更重要的是對基本數學概念、數學方法、數學模型的深刻理解，從而豐富學生的科學知識，培養學生的分析能力和科學的探究能力，全面地培養學生的科學素養．課堂教學如何培養學生的科學素養，應作為教學設計的重要指導思想之一．

在此基礎上，繼續設置針對性的練習，讓學生鞏固.

教師：既然同學們認識了不等式恒成立問題的本質，下面請思考導學案上例1的變題解法的正確性.

變題：已知函數 f（x）= λx+sinx是區間［－1，1］上的減函數，若 f（x）=t2+ λt+1在 x∈［－1，1］恒成立，求的取值范圍．

投影錯誤解法：因為 f（x）= λx+sinx是區間［－1，1］上的減函數，所以f′（x）=λ+cosx≤0在區間［－1，1］上恒成立．

所以 λ ≤ -1，且［f（x）］max=f（－1）＝ －λ － sin1．

不等式 f（x）≤ t2+ λt+1 對于 x∈［－1，1］恒成立，

所以只需-λ-sin1≤t2+λt+1成立，即不等式（t+1）λ+t2＋1＋sin1≥0對λ≤－1恒成立．

令 m（λ）=（t+1）λ +t2+1+sin1．

學生分組活動：3分鐘后

丁組代表：根據不等式恒成立計算出不等式-λ-sin1≤t2+λt+1是正確的，但在解決不等式-λ-sin1≤t2+λt+1（λ≤-1）時出現了同上題一樣的錯誤，此處情景的描述不是不等式恒成立問題，本題在此處的本質是解關于t的不等式，其中參數λ滿足λ≤-1．

教師總結：這位同學回答得非常好，現在看起來對不等式問題的認識已經掌握，這個解法比較由于比較復雜，現在我把過程投影給同學們參考，課后請同學們自行完善.

正解：因 f（x）= λx+sinx在［-1，1］上是減函數，

所以f′（x）=λ+cosx≤0，在區間［-1，1］上恒成立．

所以 λ ≤ -1，且［f（x）］max=f（-1）=-λ -sin1．

所以只需-λ-sin1≤t2+λt+1，其中λ≤-1．

教師：既然同學們認識了不等式恒成立問題與解含參數的不等式的區別，那么我們下面繼續來研究如何解決不等式恒成立問題，請看導學案例2（2）.

例2 （2）已知，f（x）=x4-4x3+（3+m）x2-12x+12，m∈R，若對于任意實數x，f（x）≥0恒成立，求m的取值范圍．

戊組代表：此題可用導數求解，簡潔明了.

當 x=2 時，g（2）=7．

所以 g（x）得最大值為 g（2）=7，

所以m+3≥7，即m≥4．

綜上可知：的取值范圍是［4，+∞）．

【教師整合二】

轉化為最值問題是解決不等式恒成立的常用方法

不等式恒成立問題通用解法是通過化歸的方式把轉化成函數的最值問題．函數最值的求解是函數學習中的一個難點，而用導數求解，則流程明確、可操作性強、易于把握，是求最值的常用方法之一．

按理說，到這里已經把試卷中的一類典型錯誤評講清晰，完成了，但就恰恰此時，一位學生的發言改變了課堂的預先設計——

學生甲：老師，我們組討論的結果是此法太麻煩，有更簡便的方法：

容易判斷當x=2時，函數y=m（x），y=n（x）同時取得最大值．

又因為 m（2）=4，n（2）=3，

所以當 x=2 時 g（x）=m（x）+n（x）有最大值 7．

所以m+3≥7，即m≥4．

綜上可知：m的取值范圍是［4，+∞）.

學生齊鼓掌——學生已經完全沉浸在喜悅之中，享受著“學講計劃”課堂、享受著數學帶來的樂趣——學生的思路已經盤活，立竿見影，馬上又出現了新的解法：

學生乙：我們組的方法比他們組更簡便，解法如下：

f（x）=x4-4x3+（3+m）x2-12x+12=（x2+3）（x-2）2+（m-4）x2，

當 m<4 時，f（2）=4（m-4）<0 不成立，

當 m ≥ 4 時，f（x）=（x2+3）（x-2）2+（m-4）x2≥ 0 對一切x∈R恒成立．

所以m的取值范圍是［4，+∞）.

此時，課堂已經沸騰了——

我及時根據學生的發言，進行了“二度教學設計”，及時整理思路，調整教學方案，讓學生結合近期的模擬題以及去年的高考題，把不等式恒成立問題的研究方法進行匯總，適度進行了創新，效果甚好.

栽植方式有穴植法和溝植法2種。栽植的深度應與移植前保持一致或者稍微淺一些，對于出葉的花卉不能栽植過深，以免出現爛根情況，移植過后不能澆水過多，應等到新根長出后再進行澆水。還應確保植株的通風效果。在遮陰條件或者天氣較為干燥時，通過植株噴霧或者噴水的方式促進生根。新移植的花卉重新栽植后，會出現一段時間的萎蔫，停止生長，這種情況是一種正常現象，待新的根系長出以后，將會重新生長。折斷時期稱為緩苗期。通常為保證花卉的長勢，以及園林景觀的早日形成，緩苗期越短越好。具體在挖苗時可以通過多帶土的方式有效避免傷根，降低對花卉根系的影響，從而有效縮短緩苗期。

二、不等式恒成立問題的“四大攻略”

攻略一：求導是基本，而不是惟一

課堂上，針對學生的解法，我適時進行了表揚，并對解法進行了總結：求導是基本方法，但并不是惟一方法.求導方法思路清晰，學生易于接受．但是求導、因式分解等計算會讓很多學生望而卻步．所以在解決這類問題時提醒學生：在利用導數解決這類問題較繁瑣時，不妨換換思路，讓學生感受不同的方法在此處的應用．

攻略二：以形輔數，數形結合

我國著名數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般好，隔裂分家萬事非”．“數”與“形”反映了事物兩個方面的屬性.通過“以形輔數、數形結合”即通過抽象思維與形象思維的結合，可以使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優化解題途徑的目的．

則a≤g′（0）=2．

由（1）（2）可知 a≤ 2．

因此，訓練學生要看他們能否將已學過的知識與該問題相遷移，能否找到恰當而熟悉的函數模型表述題意，能否把數學過程分析明白，并結合題意轉化為形象而直觀的圖像，進而使化難為易，這都是值得教師重視的．

攻略三：會當凌絕頂，一覽眾山小

整體意識是一種全面地、總體地考慮問題的思維習慣或自覺意識，它注重問題的整體結構和結構的改造，能從整體上把握思維方向和進程．解題中應用整體意識考慮問題，能增加思維的有效性，達到另辟蹊徑的效果，有助于培養思維的靈活性和創造性．仍然以跟蹤訓練1為例，如果學生具有這種整體意識的話，做如下處理就很順理成章．

綜上所述，實數的取值范圍為a≤2．

此解法中三次使用整體意識，一處在當a≤0時，直接判斷g（x）≥0恒成立；第二處在02時又改變了函數的結構，通過構造新的函數來解決問題.事實上，在解決不等式恒成立問題的過程中，構造新函數也是常見的解決方法．三處整體意識的使用，直接把題目的思維量降了下來．

攻略四：大處著眼，小處著手

局部意識是能通過細節來把握整體情況．所以要想順利解決問題，不僅要熟練掌握基礎知識和靈活運用解題方法，更重要的是掌握一定的技巧，才能達到快速求解的目的，有些數學問題，如果從整體上不便解決，可先研究其局部．

跟蹤練習2：（2011浙江文科 21） 設函數 f（x）=a2lnxx2+ax，a>0.

（1）求 f（x）的單調區間；

（2）求所有的實數 a，使 e-1 ≤ f（x）≤ e2對 x∈［1，e］恒成立．

由于 a>0，所以f（x）的增區間為（0，a），減區間為（a，＋∞）．

（2）由題意得，f（1）＝a－1≥ e－1，即a≥ e．

由（1）知 f（x）在［1，e］內單調遞增，要使 e－ 1 ≤ f（x）≤e2，對 x∈［1，e］恒成立，

函數 f（x）滿足 e－ 1 ≤ f（x）≤ e2對 x∈［1，e］恒成立，則對于區間［1，e］上的局部值也是滿足的．在此題中選擇了f（1）這個局部值，通過f（1）這個局部值可以得到參數a的大致范圍，為后續的問題處理帶來方便．此數學意識中要求學生有較強的觀察能力，根據函數、不等式和區間的特點來選擇合適的局部值．所以在解決數學問題時，要善于找到事物之間的內在聯系，回歸到較為淺顯的知識，就能有一種“柳暗花明又一村”的感覺．

羅增儒教授也曾經說過：新課改所倡導的教學理念經過十年的貫徹，必然會與數學學科有機結合，產生出既區別于其他學科，又區別于傳統數學教學新特色．“學講計劃”的實施也不例外．因此，在“學講計劃”實施過程中，我們要防止一種傾向掩蓋另一種傾向．遺憾的是，探究合作泛濫，傳統的具有啟發性的“講授法”缺位；以學生為主體的思想泛濫，教師的主導作用缺失；表演作秀，重形式輕實質；無效討論、合作的形式化；滿堂發問，師生對話過于頻繁；探索泛化，放任自流等現象在現階段數學教學中較為突出.

“學講計劃”對教師提出了更高的要求．教學過程中需要教師能正確處理好“教”與“學”的雙邊和諧關系，具有誘導學生使其“想學”、指導學生讓其“會學”、輔導學生令其“能學”的技能．實現“學講計劃”是一個長期而又復雜的工程，需要堅持不懈地探索與追求．“學講計劃”要以教師教的轉變促進學生學的轉變．

［1］羅增儒.評課的視角，課例的切磋［J］.中學數學教學參考，2014（1-2）：14.