仿射變換在解決初等幾何問題中的應用

叢芳

高等幾何為我們提供了解決初等幾何證問題中的一些方法.這些方法雖然大多不能直接進入中學課堂，但它們能夠幫助我們思考問題，啟發(fā)我們獲得初等證法，有時其證明過程還能幫助我們找到發(fā)現(xiàn)新的命題.如果適當?shù)剡\用仿射幾何知識，在解決問題時，就會使問題簡化，收到事半功倍的效果.

仿射變換的性質(zhì)取決于透視仿射的性質(zhì)，經(jīng)過一切透視仿射變換不改變的性質(zhì)和數(shù)量，稱為仿射不變性和仿射不變量.透視仿射（即平行攝影）將點映成點，將直線映成直線，因此透視仿射具有同素性、結(jié)合性.針對仿射變換的不變性和不變量，我們可以解決初等幾何中的有關仿射性質(zhì)的問題.

仿射變換的主要性質(zhì)應用于有關三角形及橢圓的仿射性質(zhì)方面十分有效.下面從兩個方面闡述它的作用.

1.仿射變換在證明有關三角形的仿射性質(zhì)的命題中的應用

在初等幾何中，涉及三角形的命題十分豐富，如何解決這些命題并非易事.假如轉(zhuǎn)化為特殊的三角形，則會使問題簡化.如何達到簡化的目的？是不是任何問題都可以轉(zhuǎn)化呢？應用仿射變換就必須針對有關仿射性質(zhì)的命題，進而使問題得以解決.

由于任一三角形經(jīng)仿射變換后均可變成正三角形，因此，如果我們要證明一個有關任意三角形的命題，只要這個命題的條件和結(jié)論都是圖形的仿射性質(zhì)，那么，只要證明命題對正三角形成立，便可斷言命題對任一三角形也成立.而正三角形是特殊的三角形，它有很多特殊的性質(zhì)可以利用，證明時會達到事半功倍的效果.有關應用主要體現(xiàn)在以下方面.

（1）解決有關三角形中線的問題

由于中點具有仿射不變性，故可以應用仿射變換而不改變本身的特點.

例1：在△ABC的邊BC的中線上任取一點P，BP，CP交AB，AC于M，N，求證：MN//BC.

分析：因為三角形的中線和直線的平行都是仿射性質(zhì)，所以只要對正三角形證明該命題成立即可.

證明：在正△ABC中，P為BC邊中線上的一點，BP，CP交AB，AC于M，N（如圖1.1），

易證△NBC？艿△MCB

∴MB=NC

∴AM=AN

∴MN//BC

故命題對正三角形成立，因而對任意三角形也成立.

三角形的中線、中點及重心是有關仿射性質(zhì)的特殊線及點，因此，對于有關一般三角形的這些量，可以轉(zhuǎn)化為在正三角形中解決.

（2）解決有關面積問題

命題：任意三角形三條中線分別分成的六個三角形的面積相等.

證明：因為點線結(jié)合性是仿射不變的，所以此題只對正三角形△ABC證明即可.

而由正三角形的性質(zhì)很容易得知，

由其三條中線分成的六個小三角形的面積相等（如圖1.2），因而命題得證.

在仿射變換下，任意兩個三角形面積之比是仿射不變量，運用此定理證明有關面積問題尤為簡捷.

（3）解決有關線段比的問題

由于仿射變換保持簡比不變，故對有關線段比的問題應用也很方便.

命題：三角形兩邊中點連線平行于第三邊且等于第三邊的一半.

證明：因為線段中點、平行性、平行線段長度的比均為仿射不變性和仿射不變量，又由仿射變換保持同素性和結(jié)合性，所以只要證在正三角形的特例情況下命題成立即可.

對于等邊三角形ABC（如圖1.3），

通過以上幾方面的應用（此外證明共點共線問題）可以看出，在三角形中，如果已知條件與仿射變換中的不變性（量）相聯(lián)系，那么可以先對正三角形加以證明.因為任意三角形可以由正三角形通過仿射變換得到，這樣可以把問題化難為易，收到事半功倍的效果.但對題中含有角平分線、垂線、角度等概念問題，不能應用此方法.因為它們不是仿射不變性（量），由此而得到的圖形也不是仿射不變圖形，通過仿射變換后，它們是要改變的.

2.仿射變換在解決有關橢圓的仿射性質(zhì)的問題中的應用

圓和橢圓都是初等幾何中常見的圖形，圓比橢圓特殊，它有很多很好的性質(zhì)，與圓有關的定理舉不勝舉.橢圓則不然，它本身的定義就比圓復雜，而且關于橢圓的性質(zhì)定理很少，解決一個與橢圓有關的問題要比解決一個與圓有關的相應問題困難得多.在初等幾何中，有很多有關橢圓的問題，只能用解析幾何的方法解決，這就給我們解題帶來了不少麻煩.因此我們自然期望有一種方法，使得處理有關橢圓的問題和處理有關圓的問題一樣容易.而由仿射變換性質(zhì)知：橢圓通過適當?shù)姆律渥儞Q可變成圓.因此，只要考慮的有關橢圓的問題是純屬仿射性質(zhì)的問題，則就可以先轉(zhuǎn)化為有關圓的問題解決，再把所得的結(jié)果推廣到橢圓中，即可達到目的.

由于橢圓的仿射對應圖形是圓，因此可以從圓的性質(zhì)推導出橢圓的一些性質(zhì)，由于仿射對應圖形保持結(jié)合性不變，因此圓的切線的仿射對應圖形是橢圓的切線，因此橢圓的仿射對應圖形是圓.

有關橢圓的問題可以簡化為有關圓的問題，其主要應用有如下兩方面.

（1）有關橢圓某部分的面積問題

對于有關求圓的扇形面積是較容易辦到的，但對于橢圓來說，要求其面積很不方便，通過仿射變換將橢圓變成圓再來解決問題就很簡捷.

以上兩例說明：有關求圓的問題是較容易解決的，但對于橢圓來說，并不是很方便，通過仿射變換將橢圓變成圓問題就簡捷許多.

綜上，研究高等幾何的思考方法及解題技巧，對于正確把握初等幾何的解題實質(zhì)和發(fā)展脈絡都大有好處.數(shù)學教師要教好中學數(shù)學，不能只懂中學數(shù)學，而要“站得更高，看得更遠”，應拓寬視野，拓廣思路，這樣才能更好地把握中學數(shù)學內(nèi)容.仿射幾何在解決初等幾何問題中的應用，不局限于與仿射有關的理論的應用，仿射變換的特性（如：正交變換、位似變換、相似變換）的應用也是十分廣泛的.仿射幾何在初等幾何中的應用有待深入探討和研究.

參考文獻：

[1]呂鳳等.高等數(shù)學在初等數(shù)學中的應用1000例.東北師范大學出版社，1995，10：691-723.