橢圓中一個三角形最大面積問題

問題設橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的中心為O，A、B是橢圓上的兩點（A、B、O不共線），求△AOB面積的最大值.

對于這個問題，筆者經過探討，得到了如下兩個有趣的結論.

定理1設橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的中心為O，A、B是橢圓E上的兩點（A、B、O不共線），則當且僅當直線AB與橢圓F：x2a2+y2b2=12相切時，S△AOB取得最大值12ab.

由于kOA=y1x1、kOB=y2x2是關于t的二次方程④的兩根，故由韋達定理知kOA·kOB+b2a2=b2（m2-a2k2）a2（m2-b2）+b2a2=-b2（a2k2+b2-2m2）a2（m2-b2）.因此，當且僅當a2k2+b2-2m2=0時，kOA·kOB=-b2a2.

又由定理1證明中已得結論知，當且僅當a2k2+b2-2m2=0時直線AB與橢圓F相切，故當且僅當kOA·kOB=-b2a2時直線AB與橢圓F相切.

（ⅱ）當直線AB過點（0，±b）時，不妨設過點（0，b），則由直線AB與橢圓F相切的充要條件a2k2+b2-2m2=0可得k=±ba，此時直線AB過點（±a，0），從而OA、OB分別為橢圓E的長、短半軸.

（ⅲ）當直線AB與x軸垂直時，易證（證明從略）：當且僅當直線AB過點（±22a，0）（此時直線AB與橢圓F相切于點（±22a，0））時，kOA·kOB=-b2a2.

綜上可得，當且僅當kOA·kOB=-b2a2（或OA、OB分別為橢圓E的長、短半軸）時直線AB與橢圓F相切，從而由定理1的結論得，當且僅當kOA·kOB=-b2a2（或OA、OB分別為橢圓E的長、短半軸）時S△AOB取得最大值12ab.

最后作一點說明：設A、B是橢圓E上的兩點（A、B、O不共線），若記P：直線AB與橢圓F相切，Q：kOA·kOB=-b2a2（或OA、OB分別為橢圓E的長、短半軸），R：S△AOB取得最大值12ab，則由以上兩個定理的結論可知，將P、Q、R中任一個作為條件，剩余兩個中的一個作為結論，都為一個正確的命題（共有6個結論，若R作為條件時應改為：S△AOB=12ab）.

參考文獻

[1]姜坤崇.相似橢圓的性質又探[J].數學通訊，2011（4）（下半月）.

[2]姜坤崇.對2011年高考山東卷理科22（Ⅰ）題的研究[J].數學教學，2012（2）.

[3]姜坤崇.橢圓的“姊妹橢圓”與“姊妹圓”及其性質[J].中學教研（數學），2011（12）.

問題設橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的中心為O，A、B是橢圓上的兩點（A、B、O不共線），求△AOB面積的最大值.

對于這個問題，筆者經過探討，得到了如下兩個有趣的結論.

定理1設橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的中心為O，A、B是橢圓E上的兩點（A、B、O不共線），則當且僅當直線AB與橢圓F：x2a2+y2b2=12相切時，S△AOB取得最大值12ab.

由于kOA=y1x1、kOB=y2x2是關于t的二次方程④的兩根，故由韋達定理知kOA·kOB+b2a2=b2（m2-a2k2）a2（m2-b2）+b2a2=-b2（a2k2+b2-2m2）a2（m2-b2）.因此，當且僅當a2k2+b2-2m2=0時，kOA·kOB=-b2a2.

又由定理1證明中已得結論知，當且僅當a2k2+b2-2m2=0時直線AB與橢圓F相切，故當且僅當kOA·kOB=-b2a2時直線AB與橢圓F相切.

（ⅱ）當直線AB過點（0，±b）時，不妨設過點（0，b），則由直線AB與橢圓F相切的充要條件a2k2+b2-2m2=0可得k=±ba，此時直線AB過點（±a，0），從而OA、OB分別為橢圓E的長、短半軸.

（ⅲ）當直線AB與x軸垂直時，易證（證明從略）：當且僅當直線AB過點（±22a，0）（此時直線AB與橢圓F相切于點（±22a，0））時，kOA·kOB=-b2a2.

綜上可得，當且僅當kOA·kOB=-b2a2（或OA、OB分別為橢圓E的長、短半軸）時直線AB與橢圓F相切，從而由定理1的結論得，當且僅當kOA·kOB=-b2a2（或OA、OB分別為橢圓E的長、短半軸）時S△AOB取得最大值12ab.

最后作一點說明：設A、B是橢圓E上的兩點（A、B、O不共線），若記P：直線AB與橢圓F相切，Q：kOA·kOB=-b2a2（或OA、OB分別為橢圓E的長、短半軸），R：S△AOB取得最大值12ab，則由以上兩個定理的結論可知，將P、Q、R中任一個作為條件，剩余兩個中的一個作為結論，都為一個正確的命題（共有6個結論，若R作為條件時應改為：S△AOB=12ab）.

參考文獻

[1]姜坤崇.相似橢圓的性質又探[J].數學通訊，2011（4）（下半月）.

[2]姜坤崇.對2011年高考山東卷理科22（Ⅰ）題的研究[J].數學教學，2012（2）.

[3]姜坤崇.橢圓的“姊妹橢圓”與“姊妹圓”及其性質[J].中學教研（數學），2011（12）.

問題設橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的中心為O，A、B是橢圓上的兩點（A、B、O不共線），求△AOB面積的最大值.

對于這個問題，筆者經過探討，得到了如下兩個有趣的結論.

定理1設橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的中心為O，A、B是橢圓E上的兩點（A、B、O不共線），則當且僅當直線AB與橢圓F：x2a2+y2b2=12相切時，S△AOB取得最大值12ab.

由于kOA=y1x1、kOB=y2x2是關于t的二次方程④的兩根，故由韋達定理知kOA·kOB+b2a2=b2（m2-a2k2）a2（m2-b2）+b2a2=-b2（a2k2+b2-2m2）a2（m2-b2）.因此，當且僅當a2k2+b2-2m2=0時，kOA·kOB=-b2a2.

又由定理1證明中已得結論知，當且僅當a2k2+b2-2m2=0時直線AB與橢圓F相切，故當且僅當kOA·kOB=-b2a2時直線AB與橢圓F相切.

（ⅱ）當直線AB過點（0，±b）時，不妨設過點（0，b），則由直線AB與橢圓F相切的充要條件a2k2+b2-2m2=0可得k=±ba，此時直線AB過點（±a，0），從而OA、OB分別為橢圓E的長、短半軸.

（ⅲ）當直線AB與x軸垂直時，易證（證明從略）：當且僅當直線AB過點（±22a，0）（此時直線AB與橢圓F相切于點（±22a，0））時，kOA·kOB=-b2a2.

綜上可得，當且僅當kOA·kOB=-b2a2（或OA、OB分別為橢圓E的長、短半軸）時直線AB與橢圓F相切，從而由定理1的結論得，當且僅當kOA·kOB=-b2a2（或OA、OB分別為橢圓E的長、短半軸）時S△AOB取得最大值12ab.

最后作一點說明：設A、B是橢圓E上的兩點（A、B、O不共線），若記P：直線AB與橢圓F相切，Q：kOA·kOB=-b2a2（或OA、OB分別為橢圓E的長、短半軸），R：S△AOB取得最大值12ab，則由以上兩個定理的結論可知，將P、Q、R中任一個作為條件，剩余兩個中的一個作為結論，都為一個正確的命題（共有6個結論，若R作為條件時應改為：S△AOB=12ab）.

參考文獻

[1]姜坤崇.相似橢圓的性質又探[J].數學通訊，2011（4）（下半月）.

[2]姜坤崇.對2011年高考山東卷理科22（Ⅰ）題的研究[J].數學教學，2012（2）.

[3]姜坤崇.橢圓的“姊妹橢圓”與“姊妹圓”及其性質[J].中學教研（數學），2011（12）.