落霞與孤鶩齊飛，秋水共長天一色

2013年10月筆者所在的學校進行了一次高三數學抽測（內容為導數與函數），然而測試的結果卻不盡人意，有些問題學生為什么“懂而不會、會而不能”，這不得不引起筆者的重視，不得不對以往的教學進行反思.究竟該怎樣引領我們的學生提高高三的復習效率呢？為此，筆者做了深刻的反思.

1解題教學要首選通性通法

筆者曾在文[1]中展示過一個例題（此題也是抽測試卷的一道題），題目如下：

現在想來，這個解法能教給學生嗎？如果教給學生，學生能學到什么？如果不能，那這樣的答案又有什么意義呢？筆者此刻意識到這樣的答案技巧性太強，且被復制的可能性很小，所以這樣的解題不宜灌輸給學生.因為這類解法所帶來的傾向性令人擔憂，這種傾向就是“忽視了通性通法”.10月份數學抽測中，有幾道題得分低的主要原因就是學生未能較好的掌握通性通法，而這一點，數學教師要負有很大的責任，因為有相當一部分教師在教學中有意或無意顯示自己在解題方面的特殊技巧，而對這類問題的通性通法卻不給予重視，學生看后完全是“魔術師帽子里跑出一個兔子”，只能驚訝、欣賞，很難學會，想要再讓他們能活用這些知識，就只能是一種奢望了.因此，筆者認為教師教給學生的解題方法是否好，其標準不是看解題是否簡明，而應該看其解法是否是通性通法，因為只有通性通法才具有普遍的指導意義，否則，學生看到題目時首先考慮的不是通性通法，解題時一旦遇阻就毫無章法，只能亂做一氣，不能從容得分，這也是學生為什么“懂而不會”的主要原因之一.

該題目作為抽測試卷填空題的壓軸題，經調查，筆者熟知的學生中沒有一個采用了上述解答，基本上都采用了如下的一個解題思路：

說明此法（分離參數法）思路清晰，為通性通法，是學生解決問題的指導思想，課堂教學要給予重視.在此問題解決過程中，求導、因式分解等計算讓很多學生望而卻步，這也是此題低分的主要原因之一.

再看一個學生的解答：

此法在上述解法的基礎之上，在通性通法的前提下，采用了一定的解題技巧，并規避了大量的計算.這不得不讓筆者繼續反思：在通性通法的準則下難道“特殊技巧、特殊方法”就不要了嗎？答案是否定的.

2首選通性通法，并不意味著淡化特殊技巧、特殊方法

有關通性通法的文章很多，僅在中國知網輸入“通性通法”四個字，就會搜索出1081篇中等教育的文章.在1081篇文章中都或多或少提及“通性通法”的重要性，遺憾的是對“通性通法”與“特殊技巧、特殊方法”之間關系的描述卻少之又少.筆者認為：在通性通法的前提下，采取適當的“特殊技巧、特殊方法”不僅是可行的，還是值得提倡的.

在現行高三復習中有種現象：迫于高考壓力，對通性通法是拼命的講、拼命的練，筆者參加的各級別的高考研討會也是同一呼聲.同時也認為平時的講、練、評只能應對偏易、中檔試題.而難題，是命題人精心設計的創新題，只有依靠學生天生的悟性去解決.因此，一些教師對成績中等或偏下的學生，給出了“填空題最后兩道題不做，解答題最后兩道題只做第一問”的錦囊妙計…….在這些認識下，日常的教學流程是學生先做，老師先改后評，評的是學生做錯的問題，然后再找相似的問題，甚至是變換一下數據，再讓學生練習，稱之為跟蹤糾錯.對學生做對的問題視而不見，見了也不知道講些什么，更談不上如何講了.長期傻練，學生思維變的呆板、僵化，應變能力弱.此時，通性通法反而成為了學生思維的桎梏，滋生了學生“懂而不會”.再以10月份數學抽測中一題為例：

例2已知函數f（x）=1+xa（1-x）lnx，若對任意x∈（0，1），恒有f（x）<-2，求實數a的取值范圍[2].

在高三數學組組織命題的過程中，例2是筆者堅持加入的試題之一，因為該題蘊含的數學思想具有代表性，且也有普遍的指導意義，文[2]專門介紹了此題.從試卷反饋的信息看，大部分同學對這道題感到棘手，難以解決.通性通法也是落到了實處，學生們幾乎無一例外的都選擇了分離參數法或者求函數f（x）的最大值.若選擇分離參數法，乍一看似乎自然，也很簡單，但實際上由于導數的零點不存在（讀者可以試一下），所以采用這一方法行不通.此時，我們不得不重新審視通性通法：通性通法一方面是解決具有相同性質數學問題通用的基本方法，通性通法的發現發展就是數學的發生發展，通性通法體現本原的數學思想，具有原創性；另一方面，通性通法具有相對性，數學的發展就是在一步步提高通性通法的層次，拓展通性通法的適用范圍和領域，直至發明新的通性通法.因此，文[3]中的觀點“通性通法為解題首選方法，淡化解題技巧”就顯得有些言之過激.

分離參數法是解決不等式恒成立問題的通性通法之一，但是，近年來的相關試題用分離參數法亦非萬能，屢屢難以奏效.分離參數不行，那就分離函數.例2通過f（x）<-2分離出lnx，最終變成2a（1-x）1+x+lnx<0，從而使問題順利解決.事實上，在函數有關問題中，經常會碰到諸如指數函數、對數函數等比較復雜的函數，如果將這些較為復雜的函數（如lnx、ex等）分離出來，則往往能使問題迎刃而解.這種分離函數的技巧是一種較新的技巧，這種技巧在解決有關問題時是經常使用的，也是具有普遍指導意義的，所以這種技巧很實用、很重要，應該引起重視.因此，我們在通性通法（分離參數法）的基礎之上，采用相應的解題技巧得到了新的通性通法（分離函數法），這也是解決學生“會而不能”的重要途徑之一.為了對分離函數的技巧有更深的認識，下面再舉一例.

說明解法1是一種通性通法，這種想法很自然，但判斷g′（x）的符號著實需要好好探討一番，因為無論是x2-1+lnx>0還是x2-1+lnx<0都是不容易求解的，需要學生有一定的觀察能力.解法2通過不等式lnxx

總之，“通性通法”是解決某類問題的基本方法，具有普遍的指導意義，我們在教學中強調“通性通法”為的是有利于學生掌握相關知識內容最本質的東西，有利于學生形成基礎的知識結構和網絡，也易于消除多數學生對數學的恐懼心理，增強學生學好數學的信心.與此同時，在教學中強調“通性通法”，并不意味著淡化“特殊技巧、特殊方法”.隨著時代的發展，數學試題的出現也會日新月異，而現有的“通性通法”并不一定與之完全吻合.所以，在原有的“通性通法”層面尋求新的生長點就會顯得尤為重要.筆者相信，隨著時間的推移，新的“特殊技巧、特殊方法”就會出現，一旦它們被證明具有了普遍的指導意義，我們就可以稱之為新的“通性通法”.還有一點我們要清楚地認識到：“特殊技巧、特殊方法”抓住問題最具“個性”的特質，能夠融會貫通地運用所學知識，且思維具有一定的發散性，能對學生進行創造思維訓練，有利于調動學生學習的興趣和積極性.因此，教學中我們要盡量挖掘解決問題的最本質、最基本的方法，即要提倡和重視“通性通法”；適應個性選擇，倡導積極主動、勇于探索的學習方式，也是新課程的重要理念，教學中也應適度進行求異、發散思維訓練，給學生提供展示個性的舞臺.“通性通法”與“特殊技巧、特殊方法”兼顧，努力使每個學生都獲得相應的發展.只有這樣，學生才能從數學解題中找到成功的快感，才能熱愛數學.這也是消除學生“懂而不會、會而不能”現象的最大內驅力.

參考文獻

[1]曹軍.五大意識助力不等式恒成立[J].中學數學教學參考，2012（10）：7—8.

[2]吳成強.例談一種分離函數技巧的應用[J].中學數學教學參考（上旬）.2013（9）：25—27.

[3]曹軍.“通性通法”應為解題首選方法[J].數學通報，2012（7）：39—40.

作者簡介曹軍，男，1986年出生.中教二級.主要研究中學數學解題研究、課堂教學.最近三年在《中學數學雜志》等期刊發表論文15篇.

2013年10月筆者所在的學校進行了一次高三數學抽測（內容為導數與函數），然而測試的結果卻不盡人意，有些問題學生為什么“懂而不會、會而不能”，這不得不引起筆者的重視，不得不對以往的教學進行反思.究竟該怎樣引領我們的學生提高高三的復習效率呢？為此，筆者做了深刻的反思.

1解題教學要首選通性通法

筆者曾在文[1]中展示過一個例題（此題也是抽測試卷的一道題），題目如下：

現在想來，這個解法能教給學生嗎？如果教給學生，學生能學到什么？如果不能，那這樣的答案又有什么意義呢？筆者此刻意識到這樣的答案技巧性太強，且被復制的可能性很小，所以這樣的解題不宜灌輸給學生.因為這類解法所帶來的傾向性令人擔憂，這種傾向就是“忽視了通性通法”.10月份數學抽測中，有幾道題得分低的主要原因就是學生未能較好的掌握通性通法，而這一點，數學教師要負有很大的責任，因為有相當一部分教師在教學中有意或無意顯示自己在解題方面的特殊技巧，而對這類問題的通性通法卻不給予重視，學生看后完全是“魔術師帽子里跑出一個兔子”，只能驚訝、欣賞，很難學會，想要再讓他們能活用這些知識，就只能是一種奢望了.因此，筆者認為教師教給學生的解題方法是否好，其標準不是看解題是否簡明，而應該看其解法是否是通性通法，因為只有通性通法才具有普遍的指導意義，否則，學生看到題目時首先考慮的不是通性通法，解題時一旦遇阻就毫無章法，只能亂做一氣，不能從容得分，這也是學生為什么“懂而不會”的主要原因之一.

該題目作為抽測試卷填空題的壓軸題，經調查，筆者熟知的學生中沒有一個采用了上述解答，基本上都采用了如下的一個解題思路：

說明此法（分離參數法）思路清晰，為通性通法，是學生解決問題的指導思想，課堂教學要給予重視.在此問題解決過程中，求導、因式分解等計算讓很多學生望而卻步，這也是此題低分的主要原因之一.

再看一個學生的解答：

此法在上述解法的基礎之上，在通性通法的前提下，采用了一定的解題技巧，并規避了大量的計算.這不得不讓筆者繼續反思：在通性通法的準則下難道“特殊技巧、特殊方法”就不要了嗎？答案是否定的.

2首選通性通法，并不意味著淡化特殊技巧、特殊方法

有關通性通法的文章很多，僅在中國知網輸入“通性通法”四個字，就會搜索出1081篇中等教育的文章.在1081篇文章中都或多或少提及“通性通法”的重要性，遺憾的是對“通性通法”與“特殊技巧、特殊方法”之間關系的描述卻少之又少.筆者認為：在通性通法的前提下，采取適當的“特殊技巧、特殊方法”不僅是可行的，還是值得提倡的.

在現行高三復習中有種現象：迫于高考壓力，對通性通法是拼命的講、拼命的練，筆者參加的各級別的高考研討會也是同一呼聲.同時也認為平時的講、練、評只能應對偏易、中檔試題.而難題，是命題人精心設計的創新題，只有依靠學生天生的悟性去解決.因此，一些教師對成績中等或偏下的學生，給出了“填空題最后兩道題不做，解答題最后兩道題只做第一問”的錦囊妙計…….在這些認識下，日常的教學流程是學生先做，老師先改后評，評的是學生做錯的問題，然后再找相似的問題，甚至是變換一下數據，再讓學生練習，稱之為跟蹤糾錯.對學生做對的問題視而不見，見了也不知道講些什么，更談不上如何講了.長期傻練，學生思維變的呆板、僵化，應變能力弱.此時，通性通法反而成為了學生思維的桎梏，滋生了學生“懂而不會”.再以10月份數學抽測中一題為例：

例2已知函數f（x）=1+xa（1-x）lnx，若對任意x∈（0，1），恒有f（x）<-2，求實數a的取值范圍[2].

在高三數學組組織命題的過程中，例2是筆者堅持加入的試題之一，因為該題蘊含的數學思想具有代表性，且也有普遍的指導意義，文[2]專門介紹了此題.從試卷反饋的信息看，大部分同學對這道題感到棘手，難以解決.通性通法也是落到了實處，學生們幾乎無一例外的都選擇了分離參數法或者求函數f（x）的最大值.若選擇分離參數法，乍一看似乎自然，也很簡單，但實際上由于導數的零點不存在（讀者可以試一下），所以采用這一方法行不通.此時，我們不得不重新審視通性通法：通性通法一方面是解決具有相同性質數學問題通用的基本方法，通性通法的發現發展就是數學的發生發展，通性通法體現本原的數學思想，具有原創性；另一方面，通性通法具有相對性，數學的發展就是在一步步提高通性通法的層次，拓展通性通法的適用范圍和領域，直至發明新的通性通法.因此，文[3]中的觀點“通性通法為解題首選方法，淡化解題技巧”就顯得有些言之過激.

分離參數法是解決不等式恒成立問題的通性通法之一，但是，近年來的相關試題用分離參數法亦非萬能，屢屢難以奏效.分離參數不行，那就分離函數.例2通過f（x）<-2分離出lnx，最終變成2a（1-x）1+x+lnx<0，從而使問題順利解決.事實上，在函數有關問題中，經常會碰到諸如指數函數、對數函數等比較復雜的函數，如果將這些較為復雜的函數（如lnx、ex等）分離出來，則往往能使問題迎刃而解.這種分離函數的技巧是一種較新的技巧，這種技巧在解決有關問題時是經常使用的，也是具有普遍指導意義的，所以這種技巧很實用、很重要，應該引起重視.因此，我們在通性通法（分離參數法）的基礎之上，采用相應的解題技巧得到了新的通性通法（分離函數法），這也是解決學生“會而不能”的重要途徑之一.為了對分離函數的技巧有更深的認識，下面再舉一例.

說明解法1是一種通性通法，這種想法很自然，但判斷g′（x）的符號著實需要好好探討一番，因為無論是x2-1+lnx>0還是x2-1+lnx<0都是不容易求解的，需要學生有一定的觀察能力.解法2通過不等式lnxx

總之，“通性通法”是解決某類問題的基本方法，具有普遍的指導意義，我們在教學中強調“通性通法”為的是有利于學生掌握相關知識內容最本質的東西，有利于學生形成基礎的知識結構和網絡，也易于消除多數學生對數學的恐懼心理，增強學生學好數學的信心.與此同時，在教學中強調“通性通法”，并不意味著淡化“特殊技巧、特殊方法”.隨著時代的發展，數學試題的出現也會日新月異，而現有的“通性通法”并不一定與之完全吻合.所以，在原有的“通性通法”層面尋求新的生長點就會顯得尤為重要.筆者相信，隨著時間的推移，新的“特殊技巧、特殊方法”就會出現，一旦它們被證明具有了普遍的指導意義，我們就可以稱之為新的“通性通法”.還有一點我們要清楚地認識到：“特殊技巧、特殊方法”抓住問題最具“個性”的特質，能夠融會貫通地運用所學知識，且思維具有一定的發散性，能對學生進行創造思維訓練，有利于調動學生學習的興趣和積極性.因此，教學中我們要盡量挖掘解決問題的最本質、最基本的方法，即要提倡和重視“通性通法”；適應個性選擇，倡導積極主動、勇于探索的學習方式，也是新課程的重要理念，教學中也應適度進行求異、發散思維訓練，給學生提供展示個性的舞臺.“通性通法”與“特殊技巧、特殊方法”兼顧，努力使每個學生都獲得相應的發展.只有這樣，學生才能從數學解題中找到成功的快感，才能熱愛數學.這也是消除學生“懂而不會、會而不能”現象的最大內驅力.

參考文獻

[1]曹軍.五大意識助力不等式恒成立[J].中學數學教學參考，2012（10）：7—8.

[2]吳成強.例談一種分離函數技巧的應用[J].中學數學教學參考（上旬）.2013（9）：25—27.

[3]曹軍.“通性通法”應為解題首選方法[J].數學通報，2012（7）：39—40.

作者簡介曹軍，男，1986年出生.中教二級.主要研究中學數學解題研究、課堂教學.最近三年在《中學數學雜志》等期刊發表論文15篇.

2013年10月筆者所在的學校進行了一次高三數學抽測（內容為導數與函數），然而測試的結果卻不盡人意，有些問題學生為什么“懂而不會、會而不能”，這不得不引起筆者的重視，不得不對以往的教學進行反思.究竟該怎樣引領我們的學生提高高三的復習效率呢？為此，筆者做了深刻的反思.

1解題教學要首選通性通法

筆者曾在文[1]中展示過一個例題（此題也是抽測試卷的一道題），題目如下：

現在想來，這個解法能教給學生嗎？如果教給學生，學生能學到什么？如果不能，那這樣的答案又有什么意義呢？筆者此刻意識到這樣的答案技巧性太強，且被復制的可能性很小，所以這樣的解題不宜灌輸給學生.因為這類解法所帶來的傾向性令人擔憂，這種傾向就是“忽視了通性通法”.10月份數學抽測中，有幾道題得分低的主要原因就是學生未能較好的掌握通性通法，而這一點，數學教師要負有很大的責任，因為有相當一部分教師在教學中有意或無意顯示自己在解題方面的特殊技巧，而對這類問題的通性通法卻不給予重視，學生看后完全是“魔術師帽子里跑出一個兔子”，只能驚訝、欣賞，很難學會，想要再讓他們能活用這些知識，就只能是一種奢望了.因此，筆者認為教師教給學生的解題方法是否好，其標準不是看解題是否簡明，而應該看其解法是否是通性通法，因為只有通性通法才具有普遍的指導意義，否則，學生看到題目時首先考慮的不是通性通法，解題時一旦遇阻就毫無章法，只能亂做一氣，不能從容得分，這也是學生為什么“懂而不會”的主要原因之一.

該題目作為抽測試卷填空題的壓軸題，經調查，筆者熟知的學生中沒有一個采用了上述解答，基本上都采用了如下的一個解題思路：

說明此法（分離參數法）思路清晰，為通性通法，是學生解決問題的指導思想，課堂教學要給予重視.在此問題解決過程中，求導、因式分解等計算讓很多學生望而卻步，這也是此題低分的主要原因之一.

再看一個學生的解答：

此法在上述解法的基礎之上，在通性通法的前提下，采用了一定的解題技巧，并規避了大量的計算.這不得不讓筆者繼續反思：在通性通法的準則下難道“特殊技巧、特殊方法”就不要了嗎？答案是否定的.

2首選通性通法，并不意味著淡化特殊技巧、特殊方法

有關通性通法的文章很多，僅在中國知網輸入“通性通法”四個字，就會搜索出1081篇中等教育的文章.在1081篇文章中都或多或少提及“通性通法”的重要性，遺憾的是對“通性通法”與“特殊技巧、特殊方法”之間關系的描述卻少之又少.筆者認為：在通性通法的前提下，采取適當的“特殊技巧、特殊方法”不僅是可行的，還是值得提倡的.

在現行高三復習中有種現象：迫于高考壓力，對通性通法是拼命的講、拼命的練，筆者參加的各級別的高考研討會也是同一呼聲.同時也認為平時的講、練、評只能應對偏易、中檔試題.而難題，是命題人精心設計的創新題，只有依靠學生天生的悟性去解決.因此，一些教師對成績中等或偏下的學生，給出了“填空題最后兩道題不做，解答題最后兩道題只做第一問”的錦囊妙計…….在這些認識下，日常的教學流程是學生先做，老師先改后評，評的是學生做錯的問題，然后再找相似的問題，甚至是變換一下數據，再讓學生練習，稱之為跟蹤糾錯.對學生做對的問題視而不見，見了也不知道講些什么，更談不上如何講了.長期傻練，學生思維變的呆板、僵化，應變能力弱.此時，通性通法反而成為了學生思維的桎梏，滋生了學生“懂而不會”.再以10月份數學抽測中一題為例：

例2已知函數f（x）=1+xa（1-x）lnx，若對任意x∈（0，1），恒有f（x）<-2，求實數a的取值范圍[2].

在高三數學組組織命題的過程中，例2是筆者堅持加入的試題之一，因為該題蘊含的數學思想具有代表性，且也有普遍的指導意義，文[2]專門介紹了此題.從試卷反饋的信息看，大部分同學對這道題感到棘手，難以解決.通性通法也是落到了實處，學生們幾乎無一例外的都選擇了分離參數法或者求函數f（x）的最大值.若選擇分離參數法，乍一看似乎自然，也很簡單，但實際上由于導數的零點不存在（讀者可以試一下），所以采用這一方法行不通.此時，我們不得不重新審視通性通法：通性通法一方面是解決具有相同性質數學問題通用的基本方法，通性通法的發現發展就是數學的發生發展，通性通法體現本原的數學思想，具有原創性；另一方面，通性通法具有相對性，數學的發展就是在一步步提高通性通法的層次，拓展通性通法的適用范圍和領域，直至發明新的通性通法.因此，文[3]中的觀點“通性通法為解題首選方法，淡化解題技巧”就顯得有些言之過激.

分離參數法是解決不等式恒成立問題的通性通法之一，但是，近年來的相關試題用分離參數法亦非萬能，屢屢難以奏效.分離參數不行，那就分離函數.例2通過f（x）<-2分離出lnx，最終變成2a（1-x）1+x+lnx<0，從而使問題順利解決.事實上，在函數有關問題中，經常會碰到諸如指數函數、對數函數等比較復雜的函數，如果將這些較為復雜的函數（如lnx、ex等）分離出來，則往往能使問題迎刃而解.這種分離函數的技巧是一種較新的技巧，這種技巧在解決有關問題時是經常使用的，也是具有普遍指導意義的，所以這種技巧很實用、很重要，應該引起重視.因此，我們在通性通法（分離參數法）的基礎之上，采用相應的解題技巧得到了新的通性通法（分離函數法），這也是解決學生“會而不能”的重要途徑之一.為了對分離函數的技巧有更深的認識，下面再舉一例.

說明解法1是一種通性通法，這種想法很自然，但判斷g′（x）的符號著實需要好好探討一番，因為無論是x2-1+lnx>0還是x2-1+lnx<0都是不容易求解的，需要學生有一定的觀察能力.解法2通過不等式lnxx

總之，“通性通法”是解決某類問題的基本方法，具有普遍的指導意義，我們在教學中強調“通性通法”為的是有利于學生掌握相關知識內容最本質的東西，有利于學生形成基礎的知識結構和網絡，也易于消除多數學生對數學的恐懼心理，增強學生學好數學的信心.與此同時，在教學中強調“通性通法”，并不意味著淡化“特殊技巧、特殊方法”.隨著時代的發展，數學試題的出現也會日新月異，而現有的“通性通法”并不一定與之完全吻合.所以，在原有的“通性通法”層面尋求新的生長點就會顯得尤為重要.筆者相信，隨著時間的推移，新的“特殊技巧、特殊方法”就會出現，一旦它們被證明具有了普遍的指導意義，我們就可以稱之為新的“通性通法”.還有一點我們要清楚地認識到：“特殊技巧、特殊方法”抓住問題最具“個性”的特質，能夠融會貫通地運用所學知識，且思維具有一定的發散性，能對學生進行創造思維訓練，有利于調動學生學習的興趣和積極性.因此，教學中我們要盡量挖掘解決問題的最本質、最基本的方法，即要提倡和重視“通性通法”；適應個性選擇，倡導積極主動、勇于探索的學習方式，也是新課程的重要理念，教學中也應適度進行求異、發散思維訓練，給學生提供展示個性的舞臺.“通性通法”與“特殊技巧、特殊方法”兼顧，努力使每個學生都獲得相應的發展.只有這樣，學生才能從數學解題中找到成功的快感，才能熱愛數學.這也是消除學生“懂而不會、會而不能”現象的最大內驅力.

參考文獻

[1]曹軍.五大意識助力不等式恒成立[J].中學數學教學參考，2012（10）：7—8.

[2]吳成強.例談一種分離函數技巧的應用[J].中學數學教學參考（上旬）.2013（9）：25—27.

[3]曹軍.“通性通法”應為解題首選方法[J].數學通報，2012（7）：39—40.

作者簡介曹軍，男，1986年出生.中教二級.主要研究中學數學解題研究、課堂教學.最近三年在《中學數學雜志》等期刊發表論文15篇.